Общая теория относительности и способы ее подтверждения

"ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ОТНОСИТЕЛЬНОСТИ

И СПОСОБЫ

ЕЁ ПОДТВЕРЖДЕНИЯ"

Немного истории

Общая теория относительности (ОТО) — современная теория тяготения,

связывающая его с кривизной четырехмерного пространства-времени.

В своем, так сказать, классическом варианте теория тяготения была создана

Ньютоном еще в XVII веке и до сих нор верно служит человечеству. Она

вполне достаточна для многих, если не для большинства, задач современной

астрономии, астрофизики, космонавтики. Между тем ее принципиальный

внутренний недостаток был ясен еще самому Ньютону. Это теория с

дальнодействием: в ней гравитационное действие одного тела на другое

передается мгновенно, без запаздывания. Ньютоновская гравитация так же

соотносится с общей теорией относительности, как закон Кулона с

максвелловской электродинамикой. Максвеллу удалось изгнать дальнодействие

из электродинамики. В гравитации это сделал Эйнштейн.

Начать рассказ следует с замечательной работы Эйнштейна 1905 года, в

которой была сформулирована специальная теория относительности и которая

завершила в идейном отношении развитие классической электродинамики. У

этой работы несомненно были предшественники, среди которых нельзя не

упомянуть работы Лоренца и Пуанкаре. В их статьях уже содержались многие

элементы специальной теории относительности. Однако ясное понимание,

цельная картина физики больших скоростей появились лишь в упомянутой

работе Эйнштейна. Не случайно, несмотря на наличие прекрасных современных

учебников, ее до сих нор можно рекомендовать для первого знакомства с

предметом не только студентам, но и старшеклассникам.

Что же касается ОТО. то все ее основополагающие элементы были созданы

Эйнштейном.

Впрочем, предчувствие того, что физика может быть связана с кривизной

пространства, можно найти в трудах замечательных ученых прошлого века

Гаусса, Римана, Гельмгольца, Клиффорда. Гаусс, который пришел к идеям

неевклидовой геометрии несколько ранее Лобачевского и Бойаи, но так и не

опубликовал своих исследований в этой области, не только считал, что

«геометрию приходится ставить в один ряд не с арифметикой, существующей

чисто a priori, а скорее с механикой». Он пытался проверить

экспериментально, путем точных (для того времени) измерений геометрию

нашего пространства. Его идея вдохновила Римана, полагавшего, что наше

пространство действительно искривлено (а на малых расстояниях даже

дискретно). Жесткие ограничения на кривизну пространства были получены из

астрономических данных Гельмгольцем. Клиффорд считал материю рябью на

искривленном пространстве.

Однако все эти блестящие догадки и прозрения были явно преждевременны.

Создание современной теории тяготения было немыслимым без специальной

теории относительности, без глубокого понимания структуры классической

электродинамики, без осознания единства пространства-времени. Как уже

отмечалось, ОТО была создана в основном усилиями одного человека. Путь

Эйнштейна к построению этой теории был долгим и мучительным. Если его

работа 1905 года «К электродинамике движущихся сред» появилась как бы

сразу в законченном виде, оставляя вне поля зрения читателя длительные

размышления, тяжелый труд автора, то с ОТО дело обстояло совершенно

иначе. Эйнштейн начал работать над ней с 1907 года. Его путь к ОТО

продолжался несколько лет. Это был путь проб и ошибок, который хотя бы

отчасти можно проследить по публикациям Эйнштейна в эти годы.

Окончательно задача была решена им в двух работах, доложенных на

заседаниях Прусской Академии наук в Берлине 18 и 25 ноября 1915 года. В

них были сформулированы уравнения гравитационного поля в пустоте и при

наличии источников.

В последнем этапе создания ОТО принял участие Гильберт. Вообще значение

математики (и математиков) для ОТО очень велико. Ее аппарат, тензорный

анализ, или абсолютное дифференциальное исчисление, был развит Риччи и

Леви-Чивита. Друг Эйнштейна, математик Гроссман познакомил его с этой

техникой.

И все же ОТО — это физическая теория, в основе которой лежит ясный

физический принцип, твердо установленный экспериментальный факт.

Принцип эквивалентности и геометризация тяготения

Факт этот но существу был установлен еще Галилеем. Он хорошо известен

каждому успевающему старшекласснику: все тела движутся в поле тяжести (в

отсутствие сопротивления среды) с одним и тем же ускорением, траектории

всех тел с заданной скоростью искривлены в гравитационном поле одинаково.

Благодаря этому, в свободно падающем лифте никакой эксперимент не может

обнаружить гравитационное поле. Иными словами, в системе отсчёта,

свободно движущейся в гравитационном поле, в малой области пространства-

времени гравитации нет. Последнее утверждение — это одна из формулировок

принципа эквивалентности.

| |

|Рис.1. Сферический треугольник |

Данное свойство поля тяготения отнюдь не тривиально. Достаточно

вспомнить, что в случае электромагнитного поля ситуация совершенно иная.

Существуют, например, подзаряженные, нейтральные тела, которые

электромагнитного поля вообще не чувствуют. Так вот, гравитационно-

нейтральных тел нет, не существует ни линеек, ни часов, которые не

чувствовали бы гравитационного поля. Эталоны привычного евклидова

пространства меняются в поле тяготения.

Геометрия нашего пространства оказывается неевклидовой.

Некоторое представление о свойствах такого пространства можно получить на

простейшем примере сферы, поверхности обычного глобуса. Рассмотрим на ней

сферический треугольник — фигуру, ограниченную дугами большого радиуса.

(Дуга большого радиуса, соединяющая две точки на сфере, — это кратчайшее

расстояние между ними: она естественный аналог прямой на плоскости.)

Выберем в качестве этих дуг участки меридианов, отличающихся на 90o

долготы, и экватора (рис. 1). Сумма углов этого сферического треугольника

отнюдь не равна сумме углов ?,треугольника на плоскости:

Заметим, что превышение суммы углов данного треугольника над может быть

выражено через его площадь S и радиус сферы R:

Можно доказать, что это соотношение справедливо для любого сферического

треугольника. Заметим также, что обычный случай треугольника на плоскости

тоже вытекает из этого равенства: плоскость может рассматриваться как

сфера с R>?

Перепишем формулу (2) иначе:

Отсюда видно, что радиус сферы можно определить, оставаясь на ней, не

обращаясь к трехмерному пространству, в которое она погружена. Для этого

достаточно измерить площадь сферического треугольника и сумму его углов.

Иными словами, K (или R) является внутренней характеристикой сферы.

Величину K принято называть гауссовой кривизной, она естественным образом

обобщается на произвольную гладкую поверхность:

Здесь углы и площадь относятся к малому треугольнику на поверхности,

ограниченному линиями кратчайших расстояний на ней, а кривизна, вообще

говоря, меняется от точки к точке, является величиной локальной. И в

общем случае, так же как и для сферы, K служит внутренней характеристикой

поверхности, не зависящей от ее погружения в трехмерное пространство.

Гауссова кривизна не меняется при изгибании поверхности без ее разрыва и

растяжения. Так, например, конус или цилиндр можно разогнуть в плоскость,

и поэтому для них, так же как для плоскости, K = 0.

На соотношения (3), (4) полезно взглянуть несколько иначе. Вернемся к

рисунку 1. Возьмем на полюсе вектор, направленный вдоль одного из

меридианов, и перенесем его вдоль этого меридиана, не меняя угла между

ними (в данном случае нулевого), на экватор. Далее, перенесем его вдоль

экватора, снова не меняя угла между ними (на сей раз ?/2), на второй

меридиан. И наконец, таким же образом вернемся вдоль второго меридиана на

полюс. Легко видеть, что, в отличие от такого же переноса по замкнутому

контуру на плоскости, вектор окажется в конечном счете повернутым

относительно своего исходного направления на ?/2, или на

Этот результат, поворот вектора при его переносе вдоль замкнутого контура

на угол, пропорциональный охваченной площади, естественным образом

обобщается не только на произвольную двумерную поверхность, но и на

многомерные неевклидовы пространства. Однако в общем случае n-мерного

пространства кривизна не сводится к одной скалярной величине K(x). Это

более сложный геометрический объект, имеющий n2(n2 - 1)/12 компонентов.

Его называют тензором кривизны, или тензором Римана, а сами эти

пространства — римановыми. В четырехмерном римановом пространстве-времени

общей теории относительности тензор кривизны имеет 20 компонентов.

Классические опыты по проверке ОТО

В начале предыдущего раздела уже отмечалось, что гравитационное поле

влияет на движение не только массивных тел, но и света. В частности,

фотон, распространяясь в поле Земли вверх, совершает работу против силы

тяжести и поэтому теряет энергию. Как известно, энергия фотона

пропорциональна его частоте, которая, естественно, тоже падает. Этот

эффект — красное смещение — был предсказан Эйнштейном еще в 1907 году.

Нетрудно оценить его величину. Работа против силы тяжести, очевидно,

пропорциональна gh, где g — ускорение свободного падения, а h — высота

подъема. Произведение gh имеет размерность квадрата скорости. Поэтому

результат для относительного смещения частоты выглядит из соображений

размерности так:

где c = 3 . 1010 см/с — скорость света. При g?103 см/с2, h~103 см

относительное смещение ничтожно мало ~10-15. Неудивительно, что

экспериментально красное смещение удалось наблюдать лишь спустя полвека,

с появлением техники, использующей эффект Мёссбауэра. Это сделали Паунд и

Ребка.

Еще один эффект, предсказанный Эйнштейном на заре ОТО, — отклонение луча

света в поле Солнца. Его величину нетрудно оценить следующим образом.

Если характерное, прицельное, расстояние луча от Солнца равно ? , то

радиальное ускорение составляет GM/?2 где G — ньютоновская

гравитационная постоянная, а M — масса Солнца. За характерное время

пролета ?/cрадиальная компонента скорости фотона изменится на GM/(?c)

и угол отклонения составит соответственно

Удобно ввести часто используемую в ОТО характеристику массивного тела,

так называемый гравитационный радиус:

Наивное использование полуклассических соображений действительно приводит

к ответу

Именно этот результат был получен Эйнштейном в одном из первоначальных

вариантов ОТО. Первая мировая война воспрепятствовала проверке,

неблагоприятной для теории. Окончательный, правильный результат ОТО вдвое

больше:

Гравитационный радиус Солнца rg?3 км, а прицельный параметр естественно

сделать как можно ближе к обычному радиусу Солнца, который составляет 7 .

105 км. Таким образом, для луча света, проходящего вблизи поверхности

Солнца, угол отклонения равен 1,75". Измерения, проведенные группой

Эддингтона во время солнечного затмения 1919 года, подтвердили последнее

предсказание. Это был подлинный триумф молодой общей теории

относительности.

И наконец, к числу классических тестов ОТО относится также вращение

перигелия орбиты Меркурия. Замкнутые эллиптические орбиты — это специфика

нерелятивистского движения в притягивающем потенциале 1/r. Неудивительно,

что в ОТО орбиты планет незамкнуты. Малый эффект такого рода удобно

описывать как вращение перигелия эллиптической орбиты. Задолго до

появления ОТО астрономы знали, что перигелий орбиты Меркурия

поворачивается за столетие примерно на 6000" . Поворот этот в основном

объяснялся гравитационными возмущениями движения Меркурия со стороны

других планет Солнечной системы. Оставался, однако, неустранимый остаток

— около 40" в столетие. В 1915 году Эйнштейн объяснил это расхождение в

рамках ОТО.

Из простых соображений размерности можно ожидать, что поворот перигелия

за один оборот составляет

где R — радиус орбиты. Аккуратный расчет в рамках ОТО для орбиты, близкой

к круговой, дает

При радиусе орбиты Меркурия R?0.6.108 км это дает 43" в столетие, снимая

Страницы: 1, 2