Реферат: Симметрия и асимметрия
Прошли тысячелетия, прежде чем человечество в ходе своей
общественно-производственной деятельности осознало необходимость выразить в
определенных понятиях установленные им прежде
всего в природе две тенденции: наличие строгой упорядоченности,
соразмерности, равновесия и их нарушения.
Люди давно обратили внимание на правильность формы кристаллов, геометрическую
строгость строения пчелиных сот, последовательность и повторяемость
расположения ветвей и листьев на
деревьях, лепестков, цветов, семян растений и отобразили эту
упорядоченность в своей практической деятельности, мышлении
и искусстве.
Понятие «симметрия» употреблялось в двух значениях. В одном
смысле симметричное означало нечто пропорциональное; симметрия показывает тот
способ согласования многих частей, с
помощью которого они объединяются в целое. Второй смысл этого
слова — равновесие.
Греческое слово snmmetra означает однородность, соразмерность,
пропорциональность, гармонию.
Познавая качественное многообразие проявлений порядка и
гармонии в природе, мыслители древности, особенно греческие
философы, пришли к выводу о необходимости выразить симметрию
и в количественных отношениях, при помощи геометрических
построений и чисел.
Симметрия форм предметов природы как выражение пропорциональности,
соразмерности, гармонии подавляла древнего человека
своим совершенством, и это было использовано религией, различными
представлениями мистицизма, пытавшимися истолковать наличие симметрии в
объективной действительности для доказательства
всемогущества богов, якобы вносящих порядок и гармонию в первоначальный хаос.
Так, в учении пифагорейцев симметрия, симметричные фигуры и тела (круг и шар)
имели мистическое значение, являлись воплощением совершенства.
Следует обратить внимание и на учение Пифагора о гармонии.
Известно, что если уменьшить длину струны или флейты вдвое,
тон повысится на одну октаву. Уменьшению в отношении 3:2 и
4:3 будут соответствовать интервалы квинта и кварта. То, что важнейшие
гармонические интервалы получаются при помощи отношений чисел 1, 2 и 3, 4,
пифагорейцы использовали для своих мистических выводов о том, что «все есть
число» или «все упорядочивается в соответствии с числами». Сами эти числа 1,
2, 3, 4 составляли
знаменитую «тетраду». Очень древнее изречение гласит: «Что есть
оракул дельфийский? Тетрада! Ибо она есть музыкальная гамма
сирен». Геометрическим образом тетрады является треугольник из
десяти точек, основание которого составляют 4 точки плюс 3,
плюс 2, а одна находится в центре.
В геометрии, механике — всюду, где мы имеем дело с отрезками
прямых, мы встречаемся и с понятиями меры, сравнения и соотношения. Эти
понятия являются отражением реальных отношений
между предметами в объективном мире. Чтобы пояснить это положение, можно
выбрать на данной прямой АВ любую третью точку С.
Таким образом, совершается переход от единства к двойственности,
и мысль этим самым приводит к понятию пропорции. Следует
подчеркнуть, что соотношение есть количественное сравнение двух
однородных величин, или число, выражающее это сравнение. Про-
порция есть результат согласования или равноценности двух или нескольких
соотношений. Следовательно, необходимо наличие
не менее трех величин (в рассматриваемом случае прямая и два
ее отрезка) для определения пропорции. Деление данного отрезка
прямой АВ путем выбора третьей точки С, находящейся между
А и В, дает возможность построить шесть различных возможных
соотношений:
a:b ; a:c ; b:a ; b:c ; c:a ; c:b
при условии отметки соответствующей длины отрезков прямой бук-
вами «а», «b», «с» и применения к данной длине любой системы
мер. Проанализировав возможные случаи деления отрезка АВ на
две части, мы приходим к выводу, что отрезок можно делить на:
1) две симметрические части a=b; 2) a:b = c:a
Так как c = a + b, то
a/b = (a + b)/a ;
( (a + b)/a очевидно, превосходит единицу); дело обстоит так же и в отношении
а/b; значит, «а» превосходит «b» и точка «С» стоит ближе к В, чем
к A.
Это соотношение a:b = c:a или AC/CB = AB/AC
может быть выражено следующим образом: длина АВ была разделе-
на на две неравные части таким образом, что большая из ее частей
относится к меньшей, как длина всего отрезка АВ относится
к его большей части:
3) a/b = b/c равноценно a/b = b/(a + b).
В этом случае «b» больше «а»; точка С ближе к А, чем к В, но отношения те же,
что и во втором случае,
Рассмотрим равенство
a/b = c/a = (a + b)/a,
при котором отрезок АС длиннее отрезка СВ. Это общее простейшее
деление отрезка прямой АВ, являющееся логическим выражением
принципа наименьшего действия. Между точками А и В имеется
лишь одна точка C, поставленная таким образом, чтобы длина отрез-
ков АВ, СВ и АС соответствовала принципу простейшего деления;
следовательно, существует только одно числовое выражение, соответствующее
отношению a/b. Эту же задачу можно решить путем гео-
метрического построения, известного как деление прямой на две
неравные части таким образом, чтобы соотношение меньшей и боль-
шей частей равнялось соотношению большей части и суммы длин
обеих частей, а это и соответствует формуле
a/b = (a + b)/a,
которую называют «божественная пропорция», «золотое сечение» т.д.
Изучение объективной реальности и задачи практики привели к возникновению
наряду с понятием симметрия и понятия асимметрии, которое нашло одно из своих
первых количественных выражений в так назыываемом золотом делении, или
золотой пропорции.
Пифагор выразил «золотою пропорцию» соотношением:
А:Н = R:B,
где Н и R суть гармоническая и арифметическая средние между
величинами А и В.
R = (A + B)/2; H = 2AB/ (A + B).
Кеплер первый обращает вни-
мание на значение этой пропорции в ботанике и называет ее
sectio divina — «божественное сечение»; Леонардо да Винчи назы-
вает эту пропорцию «золотое сечение».
Проведем некоторые преобразования вышеприведенной формулы.
Прежде всего разделим на «b» оба элемента второго члена этого
равенства и обозначим
a/b = x; тогда a/b = (a/b + 1)/(a/b),
или x2 = x + 1
Отсюда
x2 - x – 1= 0
Корнями этого уравнения являются
х = 1± Ö5/2 = 1,61803398 .
45
2
Это число обладает характернейшими особенностями. Обозначим это число буквой Ф.
Ф = (Ö5 + 1)/2 = 1,618.; 1/Ф = (Ö5 – 1) /2 = 0,618.;
Ф2 = -(Ö5 + 3)/2 = 2,618.
Оказывается, что геометрическая прогрессия, в основании которой
лежит Ф, обладает следующей особенностью: любой член этого
ряда равен сумме двух предшествующих ему членов. Ряд 1, Ф, Ф2,
Ф3, ..., Фn является одновременно и мультипликативным, и аддитив-
ным, т. е. одновременно причастен природе геометрической прогрес-
сии и арифметического ряда. Следует обратить внимание на то, что
формула.
Ф = (Ö5 + 1)/2
выражает простейшее асимметрическое деление прямой АВ. С этой
точки зрения данное отношение является «логической» инвариан-
той, проистекающей из счислений отношений и групп. Пеано,
Бертран Рассел и Кутюра показали, что исходя из принципа тождественности
можно вывести из этих отношений и групп принципы чистой математики.
Любопытно, что древние архитекторы уже пользовались приемом
асимметричного деления. Так, например, стороны пирамиды Фараона
Джосера относятся друг к другу, как 2: /5, а ее высота относится к большей
стороне, как 1: 2.
Интересно, что на сохранившемся до наших дней изображении
древнеегипетского зодчего Хисеры (жил свыше 4,5 тыс. лет тому
назад) имеются две палки — очевидно, эталоны меры. Их длины
относятся, как 1: 1/5, т. е. как меньшая сторона прямоугольного
треугольника к гипотенузе.
Архитектор И. Шевелев рассматривая пропорции древнерусской
архитектуры (церковь Покрова на Нерли и храм Вознесения в
Коломенском) привел убедительные данные, свидетельствующие о
том, что русские архитекторы также пользовались пропорциями,
связанными с «золотым сечением».
Пропорция «золотого сечения» дает возможность архитекторам
находить наиболее удачные, красивые, гармоничные сечения целого
и частей, единство разнообразного; в конечном счете они пользуются сочетанием
принципов симметрии и асимметрии,
Если в период Возрождения внимание ученых и преподавателей
искусства было приковано к «золотому сечению», то впоследствии
оно постепенно падало, и только в 1855 г. немецкий ученый Цейзинг
вновь ввел его в обиход в своем труде
«Эстетические исследования». В нем он писал, что для того, чтобы
целое, разделенное на две неравные части, казалось прекрасным
с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно
быть то же отношение, что и между большей частью и целым,
Применение «золотого сечения» есть лишь частный случай общего закона
периодической повторяемости одной и той же пропорции
в совокупности, в деталях целого,
Рассмотрение вопроса о «золотом сечении» приводит к выводу,
что здесь мы имеем дело с отображением средствами математики
(при помощи понятий симметрии и асимметрии) существующей
в природе пропорциональности.
Все вышеизложенное позволяет утверждать, что взгляды Пифагора и его школы
содержали наряду с мистикой и идеализмом
и некоторые плодотворные математические и естественнонаучные
идеи. Впоследствии учение пифагорейцев получило развитие в философии
крупнейшего представителя античного идеализма Платона.
Мир, утверждал Платон, состоит из правильных многоугольников,
обладающих идеальной симметрией. Физические тела — это идеальные
математические сущности, составленные из треугольников,
упорядоченные демиургом.
Отдельные интересные суждения о симметрии и гармонии мы
встречаем в работах многих философов и естествоиспытателей
(прежде всего Леонардо да Винчи, Лейбница, Декарта, Спенсера,
Гегеля и других). В значительной
степени прав немецкий ученый Венцлав Бодо, когда пишет, что
«философия, за исключением некоторых высказываний, не пыталась
дать объяснение этой интересной стороне природы. На протяжении
веков спорили о причинности, детерминизме и других вопросах,
не видя взаимосвязи их с проблематикой симметрии или не стремясь
к этому. Симметрия, по-видимому, прибавлялась только как искусственная
роскошь к довольно узкому готовому миру вещей с их
свойствами и силовыми взаимодействиями, их движениями и изменениями».
Об определении категорий симметрии и асимметрии
В настоящее время в науке преобладают
определения указанных категорий на основе перечисления их важнейших
признаков. Например, симметрия определяется как совокупность
свойств: порядка, однородности, соразмерности, пропорциональности,
гармоничности и т. д. Асимметрия же обычно определяется
как отсутствие признаков симметрии, как беспорядок, несоразмерность,
неоднородность и т. д. Все признаки симметрии в такого рода
ее определениях, естественно, рассматриваются как равноправные,
одинаково существенные, и в отдельных конкретных случаях при
установлении симметрии какого-либо явления можно пользоваться
любым из них. Так, в одних случаях симметрия — это однородность,
а в других — соразмерность и т. д. Очевидно, что по мере развития
нашего познания к определению симметрии можно прибавлять все новые и новые
признаки. Поэтому определения симметрии такого
рода всегда неполны.
То же можно сказать и о существующих определениях асимметрии. Очевидно, что в
определениях понятий, сформулированных
по принципу перечисления свойств объектов, ими отражаемых,
отсутствует связь между перечисленными свойствами объектов.
Такие свойства симметрии, как, например, однородность и соразмерность, друг
из друга не следуют. Сказанное, однако, не означает бесполезности
вышеуказанных определений симметрии и асимметрии. Наоборот, они весьма
полезны и необходимы. Без них
нельзя дать и более общее определение категорий симметрии
и асимметрии. На основе подобных эмпирических определений
симметрии и асимметрии развиваются определения более общего
характера, сущность которых — в соотнесении частных признаков
симметрии и асимметрии к определенным всеобщим свойствам движущейся материи.
«В симметрии,— пишет А. В. Шубников,—
отражается та сторона явлений, которая соответствует покою, а в
дисимметрии (по нашей терминологии в асимметрии) та их
сторона, которая отвечает движению»
Таким образом, все свойства симметрии рассматриваются как
проявления состояний покоя, а все свойства асимметрии — как
Страницы: 1, 2, 3
|