Билеты: Билеты по геометрии за 11 класс

Билет №16

1. Конус (формулировки и примеры)

2. Признак параллельности прямой и плоскости

1.рассмотрим окружность L с центром О и прямую ОР , перпендикулярную к

плоскости этой окружности. Каждую точку окружности соединим с отрезом в т. Р

Поверхность, образованная этими отрезками называется конической

поверхностью

а сами отрезки – образующими конической поверхности. Тело,

конусом .Коническая по-верх называется боковой поверхностью

конуса, а круг - снованием конуса . Т.Р называется вершиной

конуса , а образующие конической поверхности – образующими конуса. Все

образующие равны друг другу . ОР , прохо-дящая через центр основания и вершину

, называется Осью конуса . Ось конуса ⊥ к плоскости

основания. От-резок ОР называется высотой конуса.

Конус можно получить и вращением прямоуголь-ным треугольником вокруг одного из

его катетов. При этом боковая поверхность образуется с помо-щью гипотенузы.

Рассмотрим сечения конуса. Если секущая ось проходит через ось , то сечение

пред-ставляет собой треугольник , и называется осевым сечением. Если

секущая плоскость ⊥ к оси ОР конуса, о сечене пред-ставляет собой круг

с центром в т.О1 , расположенным на оси конуса. R1

этого круга равен РО1/РО r , где r- радиус основания

конуса , что легко усмотреть из подобия △РОМ∾△РО1М

1

Билет №7

1. Угол между скрещивающимися прямыми

2. Площадь боковой поверхности цилиндра.

1. Пусть АВ и СD – скрещивающиеся прямые . Возьмем произвольную

т. М1 пространства и проведем через нее прямые А1В

1 и С1D1 , соответственно параллельн АВ и СD

Если ∠ между прямыми А1В1 и С1D1

=φ, то будем говорить , что ∠ между скрещивающимися прямыми АВ и

СD=φ. Докажем теперь, что ∠ между прямыми не зависит от выбора т. М

1 . Действительно , возьмем любую т. М2 и проведем прямые А

2В2и С2D2 соответственно парал. АВ и СD

Т.к А1В1∥ А2D2 , С1

D1∥ C2D2 , то стороны углов с вершинами

в т.М1и М2 попарно сонаправлены ( ∠А1М

1С1 и ∠А2М2С2 , ∠А

1М1D1 и∠А2М2D2

) потому эти ∠ равны , ⇒ что ∠ между А2В2

и С2D2 так же =φ. В качестве т М можно взять любую

точку на одной из скрещивающихся прямых . Например на СD отметить т М и через

нее провести А'B' параллельные АВ .Угол между прямыми A'B'и CD= φ

2. Терема: S боковой поверхности цилиндра равна произведению

длинны окружности основания на высоту

Разрежем боковую поверхность по образующей АВ и развернем т.о , что все

образующие оказались в одной плоскости α . В результате в пл α

получится прямоугольник АВВ'А' . Стороны АВ и А'В' –два края разреза боковой

поверхности цилиндра по образующей АВ . Это прямоугольник называется

разверткой боковой поверхности цилиндра . основание АА' прямоугольника

является разверткой окружности основания цилиндра , поэтому АА'=2πr ,

AB-h, где г- радиус цилиндра , h- его высота . за S бок цилиндра

принято считать S её развертки . Т.к S прямоугольника АВВ'А'= АА'•ВА =

2πr•h то, для вычисления S бок цилиндра радиуса к и высоты h формула

S бок=2πrh

Билет № 15

1. Цилиндр (формулировки и примеры)

2. Признак параллельных прямых.

1. Рассмотрим две параллельные плоскости α и β и окружность L

с центром О радиуса r , расположенную в пл α. Отрезки прямых заключенных

между плоскостями образуют цилиндрическую поверхность. Сами отрезки

называются образующими цилиндрической поверхности По построению концов

образующих расположенных в пл β заполним окружность

L1. Тело ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя кругами

с границами L и L1 , называется цилиндром. Цилиндрическая

поверхность называется боковой поверхностью цилиндра, а круги -

основаниями цилиндра . Образующие цилиндрической поверхности называются

образующими цилиндра , прямая ОО1- осью цилиндра.

Цилиндр может быть получен вращением прямоугольника вокруг одной из его

сторон. Сечение цилиндра , проходящее через ось , представляет собой

прямоугольник , две стороны которого образующие , а 2 другие –диаметры

оснований цилиндра , такое сечение называется осевым. Если секущая плоскость

⊥ к оси цилиндра , то сечение является кругом. Цилиндры так же

могут быть и наклонными или иметь в своем основании параболу .

Параллельность прямых а и b обозначается так: а||b. Докажем теорему о

параллельных прямых.

Т е о р е м а. Через любдю точку пространства, не лежащую на данной

прямой, проходит прямая, параллелькая данной, и притом только одна.

Д-во. Рассмотрим прямую a и т М, не

лежащую на этой прямой. Через прямую a и т М проходит

пл, и притом только одна . Обозначим эту плоскость буквой α. Прямая,

проходящая через точку М параллельно прямой а, должна лежать в

одной плоскости с т М и прямой а, т. е. должна лежать в плоскости

α. Ho в плоскости α, как известно из курса планиметрии, через т М

проходит прямая, параллельная прямой а, и притом только одна. Эта прямая

обозначена буквой b. Итак, b — единственная прямая, проходящая

через т М параллельно пря­мой а. Теорема доказана.

Билет № 17

1. Сфера, шар( формулировки, примеры)

2. Признак параллельности плоскостей.

Определение. Сферой называется поверхность, состоящая из всех точен.

пространства, расположенных на данном расстоянии or данной точки

Данная точка называется центром сферы (т О), а данное расстояние

— радиусом сферы. Радиус сфе­ры часто обозначают буквой R

Люб-ой отрезок, соединяющий центр и какую-нибудь точку сферы, также называется

радиусом сферы.Отрезок, соединяю­щий две точки сферы и проходящий через ее

центр, называет­ся диаметром сферы. Очеви-дно, диаметр сферы равен 2R

Отметим, что сфера может быть полу-чена вращением полуокружности вокруг ее

диаметра Тело, ограни-ченное сферой, называется шаром. Центр, радиус и

диаметр сферы называются также центром, радиусом и диаметром

шара. Очевидно, шар радиуса R с центром О содержит все точки

пространства, кот. Расположены от точки О на расстоянии, не превышающем

H (вклю-чая и точку О), и не содержит других точек.

2.Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости

Д-во. Рассмотрим две плоскости α и β. В плоскости α лежат

пересека-ющиеся в точке М прямые a и b, а в плоскости β — прямые a

1 и b\, причем a||a1 и b||b1.

Докажвм, что a||b. Прежде всего отметим, что по признаку параллельности прямой и

плоскости a||β и b||β. Допустим, что плоскости α и β не

параллельны. Тогда они пересекаются по некоторой прямой с. Мы получили,

что плоскость a проходит через прямую а, па-раллельную плоскости β,

и пересекает плоскость по прямой с. Отсюда следует, что a||с.

Но плоскость a проходит также через прямую b, параллель­ную плоскости

β. Поэтому b||c. Т.о, через т М проходят две прямые a и b

, параллельные прямой с. Но это невозможно, т.к по теореме о

параллельных прямых через точку М проходит только одна прямая,

параллельная прямой с. Значит, наше допущение неверно и α|| β.

Теорема доказана.

Билет № 14

1. Пирамида(формулировка , примеры)

2. Существование прямой, параллельной данной прямой и проходящей

через данную точку.

1. Рассмотрим многоугольник А1А2.Аn и точку Р не

лежащую в плоскости этого многоугольника . Соединив т. Р отрезками с вершинами

многоугольника, получим n треугольников РА1А1, РА2

А3.,РаnА1.

Многоугольник, составленный из n –угольника А1А2.Аn и n

тре-угольников , называется пирамидой. Многоугольник А1А

2.Аn назы-вается основанием, а треугольники-

боковыми гранями пирами-ды. Т.Р называется вершиной пирамиды , а

отрезки РА1,РА2, ., РАn – её боковыми ребрами .

Пирамиду с основанием А1А2,.Аn и вершиной Р обозначают

так: РА1А2.Аn –и называют n –угольной пирамидой.

Треугольная пирамида называется тетраэдр. Перпендикуляр , прове-денный из

вершины пирамиды к плоскости основания , называют высотой пирамиды

(РН) Площадью полной поверхности пирамиды называют сумму площадей её

граней , а площадью боковой поверх-ности – сумму площадей её боковых

граней

Билет № 9

1. Угол между плоскостями (формулировка, примеры)

2. Сложение векторов. Свойства сложения.

2. Возьмем 2 произвольных вектора a и b .Отложим от какой-нибудь т А

вектор АВ равный а. Затем от т В отложим ВС=b . Вектор АС называется

суммой векторов а и b : АС=a+b.

Это правило сложения векторов называется правилом треугольника. (по

этому же правилу складываются и коллинеарные векторы , хотя при их сложении

треугольника не получается) Сумма a+b не зависит от выбора т А, от которой

при сложении откладывается вектор а. (если например заменить т А на т А

1 то вектор АС заменится равным ему вектором А1С1

Привило треугольника можно сформулировать и в другой форме: для любых точек

А,В,и С имеет место равенство АВ+ВС=АС. Для сложения 2-ух неколлинеарных

векторов можно пользоваться так же правилом параллелограмма. Для любых

векторов а, b и с справедливы равенства: a+b=b+a (перемести-тельный з-н.

);(a+b)+с=а+(b+с)(сочетательный з-н). Два нулевых вектора называются

противоположными, если их длины равны нулю и они противоположно

направлены.Вектором проти-оположным нулевому вектору , считается нулевой

вектор. Вектр АВ является проти-воположным вектру ВА

Билет № 10

1. Двугранный угол. Линейный угол двугранного угла.( формулировки ,

примеры)

2. Умножение вектора на число . Св-ва произведения вектора на число.

1. Двугранным углом называют фигуру , образованную прямой а и 2-мя

полуплоскостями с общей границей а, не принадлежащими одной плоскости.

Полуплоскости, образующие двугранный угол , называются его гранями.

У двугранного угла 2 грани, отсюда и название. Прямая а – общая граница

полуплоскостей- называется ребром двугранного угла. Для измерения

двугранного угла отметим на ребре какую-нибудь т. и в каждой грани из этой

точки проведем перпендикуляр к ребру. Образованный этими лучами угол

называется линейный угол двугранного угла. (Ð АОВ ) ОА^CD CD^ОВ, то

плоскость АОВ ^ к прямой СD. Двугранный угол имеет бесконечное множество

линейных углов и они равны друг другу. Рассмотрим 2 линейных ÐАОВ и ÐА

1О1В1 . Лучи ОА и О1А1 лежат в

одной грани ^к ОО1, поэтому они сонаправлены. Точно так же

сонаправлены ОВ и О1В1=> Ð А1О1В1

=ÐАОВ. Градусной мерой двугранного угла называется градусная мера его

линейного угла . Он может быть прямым , острым, тупым ( 90°,

<90°, >90°)

2. Произведение ненулвого вектора а на число k называется такой вектор

b , длинна которого равно |k|·|a| , причем вектор a и b

сонаправлены при k≥ 0 и противоположно направлены при k<0.

Произведением ненулевого вектора на любое число нулевой вектор.

Произведение вектора а на число k обозначается так : ak. Для любого числа k и

вектора а векторы а и ka коллинеарны. Из этого определения следует , что

произведение любого вектора на число 0 есть нулевой вектор. Для любых векторов

а и b и любых чмсел k, l справедливы равенства:

(kl)a= k(al) (сочетательный з-н)

k(a+b)=ka+kb(Ι-ый распределительный з-н)

Страницы: 1, 2