Билеты: Конструктивная математика

Министерство образования РФ

СФ ПГУ

Дисциплина “Информатика и математика”

РЕФЕРАТ

«Конструктивная математика»

Студентка:

Группа:

Преподаватель:

Северодвинск

2003

Содержание:

3 - 4 стр.

II.Основная часть.

1. Характерные черты конструктивной математики. 4 -11 стр.

2. Конструктивная семантика как совокупность способов

понимания суждений в конструктивной математике. 11-15 стр.

3. Структура конструктивной математики.

1).Конструктивное действительное число. 15 стр.

2).Конструктивный объект.

16 -17 стр.

3).Конструктивное метрическое пространство. 17-18 стр.

III.Заключение.Роль «конструирования» в математике. 18-19 стр.

IV. Список литературы.

20 стр.

I.ВСТУПЛЕНИЕ

ИСТОРИЯ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ

Конструктивная математика, конструктивное направление в математике, -математика,

строящаяся в соответствии с тем или иным конструктивным математическим

мировоззрением, обыкновенно стремящимся связывать утверждения о существовании

математических объектов с возможностью их построения и отвергающим в силу этого

ряд установок традиционной теоретико – множественной математики, приводящих к

появлению чистых теорем существования (в частности, абстракцию актуальной

бесконечности и универсальный характер исключенного третьего закона

). Конструктивизм в математике проявлялся на протяжении всей ее истории, хотя,

по- видимому, только К.Гаусс впервые отчетливо выразил принципиальное для

конструктивной математики различие становящейся (потенциальной) и актуальной

математической бесконечности и возразил против употребления последней.

Дальнейшие критические шаги в этом направлении были сделаны Л.Кронекером, А.

Пуанкаре и особенно Л Брауэром. В критике Л. Брауэра, совпавшей по времени с

кризисом оснований математики конца ХIX-начала XX в. в., энергично отвергалась

как вера в экзистенциональный характер бесконечных множеств, так и убеждение в

допустимости неограниченной экстраполяции классических логических принципов, в

особенности закона исключенного третьего. В качестве альтернативы теоретико-

множественному подходу Л.Брауэр, а затем и его последователи, разработали

оригинальную программу построения математики, известную ныне под названием

интуиционизм. Интуиционистскую математику Л.Брауэра можно считать первой

систематической попыткой построения математики на конструктивной основе.

Параллельно успехам интуиционистов в созданной Д.Гильбертом с целью обоснования

теоретико – множественной математики доказательств теории был четко

выявлен ряд первоначальных понятий, послуживших впоследствии отправной точкой

отличных от интуиционизма конструктивных течений. Значительная часть

соответствующих работ (при этом обнаружился достаточно широкий спектр

толкования различными исследователями терминов «конструктивный», «эффективный»

и т. д.) опиралась на успехи, достигнутые (опять – таки под влиянием идей Д.

Гильберта) в изучении математического понятия алгоритма .Один из

наиболее последовательных и законченных подходов к построению конструктивной

математики на этой основе доставляется основанной А.А.Марковой советской школой

конструктивной математики, формирование основных понятий которой относится к

50-м г.г. ХХ в. Сам термин «конструктивная математика» часто употребляется в

узком смысле слова для наименования математики, строящейся советским

конструктивным направлением.

II.ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.

1. ХАРАКТЕРНЫЕ ЧЕРТЫ КОНСТРУКТИВНОЙ МАТЕМАТИКИ.

Конструктивная математика коротко может быть охарактеризована следующими

основными чертами:

· предметом изучения являются конструктивные процессы возникающие в

результате их выполнения конструктивные объекты;

· рассмотрение конструктивных процессов и объектов производится в

рамках абстракции потенциальной осуществимости с полным

исключением идеи актуальной бесконечности;

· интуитивное понятие эффективности связывается с точным

понятием алгоритма;

· используется специальная, учитывающая специфику конструктивных

процессов и объектов конструктивная логика.

Понятия конструктивного процесса и объекта являются первоначальными;

представления о них имеют своим источником практическую материальную

деятельность человека. Примерами конструктивных процессов могут служить сборка

часов на конвейере, полная или частичная разборка их в ремонтной мастерской,

набор текстов (с корректурами ) в типографии, формирование и расформирование

железнодорожных составов и пр. Характерной чертой конструктивных процессов

является протекающее по отдельным шагам оперирование в рамках некоторых четко

указанных правил с элементарными, заведомо отличимыми друг от друга объектами,

считающимися неразложимыми в ходе этих процессов. Возникающее в результате

фигуры, составленные из исходных элементарных объектов, и считаются

конструктивными объектами. Конструктивная математика не имеет

необходимости углубляться в общее понятие конструктивного процесса и объекта,

поскольку для ее нужд оказывается вполне достаточным один специальный вид

конструктивных объектов – слова в том или ином алфавите.

Построение слов (это понятие также представляется первоначальным) происходит

на следующей основе.

Вначале фиксируется некоторый алфавит, то есть список неразложимых, уверенно

отличимых друг от друга элементарных знаков (букв). Каждая буква алфавита может

копироваться; возникающие в результате последовательных актов такого

копирования прямолинейные цепочки знаков считаются словами в исходном

алфавите. К словам в данном алфавите удобно отнести также и пустое слово

, то есть цепочку, не содержащую ни одного знака. Например, цепочки «аввссд» и

«книга» являются словами в русском алфавите. При обращении со словами

конструктивная математика – и в этом проявляется ее абстрактный характер –

использует абстракции отождествления и потенциальной осуществимости.

Первая из них позволяет, отвлекая от различий копий и оригинала, говорить о

различных копиях данной буквы и о ней самой, как об отдельной букве. Например,

говорят, что в слово «аввссд» три раза входит буква «в» русского алфавита,

тогда как в действительности при написании данного слова воспроизводились три

различных конкретных копии исходной буквы. Это соглашение естественным образом

распространяется на одинаковые по написанию (равные графически) слова.

Например, о двух конкретных словах: слове «книга» и слове «книга» говорят как

об одном слове. В допущении абстракции отождествления проявляется

предполагаемая конструктивной математикой первоначальная способность человека к

«чтению» слов, то есть к многократному и устойчивому опознанию знаковых цепочек

как одинаковых или различных. На это обстоятельство как минимальную предпосылку

любой научной деятельности указывал Д.Гильберт. Абстракция потенциальной

осуществимости позволяет пренебрегать в рассуждениях о написании слов реальными

ограничениями в пространстве, времени и материале. Таким образом, о

воображаемых очень длинных словах начинают рассуждать как о реально

существующих, в частности считается возможным к любому данному слову приписать

справа (или слева) любое другое слово. Отсюда вытекает и возможность

рассмотрения сколько угодно больших натуральных чисел, а также сложения любых

двух натуральных чисел, поскольку натуральными числами можно, например, считать

слова вида О, OI, OII и т.д. в алфавите OI. Вместе с тем абстракция

потенциальной осуществимости не позволяет рассматривать как своего рода

завершенные объекты «бесконечные» слова и совокупность «всех» слов в данном

алфавите (в частности, не рассматривается как завершенный объект и натуральный

ряд). Такого рода рассмотрения требуют привлечения более сильной абстракции –

абстракции актуальной бесконечности, которая отвергается конструктивной

математикой.

Принятие абстракции потенциальной осуществимости приводит к тому, что наряду с

элементарными, целиком обозримыми конструктивными процессами (например,

написанием коротких слов) рассматриваются воображаемые, не подлежащие реальному

воспроизведению конструктивные процессы. Такие процессы задаются своими

предписаниями; сами эти предписания по существу и становятся предметом

исследования. Задающее конструктивный процесс предписание (для простоты речь

идет о процессах, оперирующих со словами) должно быть общепонятным и совершенно

однозначно определять шаг за шагом последовательное построение слов, причем

шаги должны быть элементарными, то есть не предполагать ничего, кроме умения

читать, писать (и стирать) слова. Шаги эти, таким образом, сводятся к написанию

и графическому сравнению некоторых слов, а также к замене вхождений одних слов

в другие третьими словами. Окончание процесса определяется самим предписанием и

может зависеть от результатов, полученных на шагах, предшествующих

заключительному, причем принятие решения о заключительном характере должно

носить описанный только что элементарный характер. Возможна ситуация, когда

никакой шаг не оказывается заключительным, то есть после каждого совершенного

шага данное предписание требует совершить следующий шаг. Такому предписанию не

соответствует никакой потенциально выполнимый конструктивный процесс, однако

здесь оказывается удобной условная терминология, согласно которой

соответствующее предписание определяет неограниченно продолжаемый

(потенциально бесконечный) процесс. Для оправдания этой терминологии можно было

бы также расширить исходные представления о конструктивных процессах ,

рассматривая наряду с потенциально реализуемыми процессами более абстрактные

образования – процессы, отождествляемые с их предписаниями. В связи с

появлением неограниченно продолжаемых конструктивных процессов возникает вопрос

о средствах, при помощи которых можно убедиться в обрабатываемости задаваемого

данным предписанием конструктивного процесса. Конструктивная математика

принимает здесь важный принцип, называемый принципом конструктивного подбора и

позволяющий устанавливать такие факты методом от противного, то есть приводя к

нелепости предположение о неограниченной продолжаемости соответствующего

конструктивного процесса. Примеры предписаний: (1) написать I; (2) к

произвольному слову в алфавите OI приписать справа I; (3) п.1: написать I и

перейти к п.2; п.2: стереть I (то есть заменить эту букву пустым словом ) и

перейти к п.1; (4) п.1: к произвольному слову в алфавите OI приписать справа I

и перейти к п.2; п.2: если обрабатываемое в данный момент слово совпадает с

OII, то закончить процесс, в противном случае вернуться к п.1; (5) п.1:

написать О и перейти к п.2; п.2: к обрабатываемому в данный момент слову

приписать справа I и перейти к п.3; п.3: если получилось совершенное

натуральное число, то закончить процесс, в противном случае приписать к

обрабатываемому в данный момент слову справа I и перейти к п.2.Предписание

«написать I » задает конструктивный процесс, оканчивающийся за один шаг

написанием однобуквенного слова I. Процесс выполнения (3) неограниченно

продолжаем. В настоящее время неизвестно, заканчивается ли конструктивный

процесс, задаваемый (5) в (5) для краткости использовались теории чисел.

Несколько особый характер имеют предписания (2) и (4) : их выполнение может

начаться с любого слова в указанном алфавите, при этом конструктивный процесс,

определяемый(2), всегда заканчивается, в то время как в случае предписания (4)

он неограниченно продолжается при некоторых исходных словах. Предписания

указанных типов принято называть алгоритмами (в данном контексте речь

идет об алгоритмах, оперирующих со словами).

К необходимости рассмотрения алгоритмов приводит конструктивная трактовка

экзистенциональных утверждений. Утверждение о существовании конструктивного

объекта с данным свойством, то есть утверждение вида $ х А (х), в

соответствии с представлениями о конструктивных объектах как результат

конструктивных процессов считается в конструктивной математике установленным в

том случае, когда указан потенциально выполнимый конструктивный объект,

заканчивающийся построением искомого объекта. Соответственно установление

Страницы: 1, 2