на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

Содержание.

Глава I

Введение. 2 §1. Актуальность темы. 2 §2. Обзор работ. 6 Глава II Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. 8 §1. Обоснование необходимости обобщения понятия решения. 8 §2. Определения решения. 10 Глава III Исследование устойчивости для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. 23 §1. Определение устойчивости. Метод функций Ляпунова. 23 §2. Некоторые сведения теории дифференциальных уравнений с импульсным воздействием. 27 §3. Связь рассматриваемых теорий. 31 Заключение. 34 Литература. 35

Глава I

Введение. §1. Актуальность темы. Актуальность данной темы в значительной степени обусловлена многочисленными приложениями теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Ряд процессов в механике, электротехнике и в других областях характеризуются тем, что правые части дифференциальных уравнений, которые описывают их динамику, претерпевают разрывы в зависимости от текущего состояния процесса. Стандартный пример такой динамической системы – механическая система с сухим трением, когда сила сопротивления может принимать одно из двух двух противоположных по знаку значений в зависимости от направления движения. Рассмотрим эту систему подробнее. Механическая система с сухим трением. Как показано в [3] можно установить зависимость между работой, затраченной на преодоление сил трения и скоростью движения. Эта зависимость получается совершенно различной для случая движения груза массы m в жидкости и трения о какую-либо твердую поверхность. В первом случае (случай “жидкого трения”) работа существенно зависит от скорости и при уменьшении скорости уменьшается и может быть сделана как угодно малой. Во втором случае (случай “сухого трения”), наоборот, работа мало зависит от скорости, и как бы медленно ни двигали груз, необходимо затратить на его перемещение некоторую конечную и вполне определенную работу, т.е. сила трения даже при сколь угодно малой скорости имеет конечную величину. Кроме этого, учитывая, что сила трения всегда направлена в сторону, противоположную скорости, и, значит при переходе через нуль сила трения меняет знак на обратный, в случае “жидкого трения” получаем, что сила трения без скачка проходит через нуль и меняет при этом знак:
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
В случае же “сухого трения” при скорости, стремящейся к нулю, сила трения с двух сторон стремится к разным конечным пределам (в частности противоположным по знаку, но одинаковым по абсолютной величине), т.е. при нуле претерпевает разрыв:
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Т.о. математические модели механических систем с кулоновым трением, полученные в рамках механики систем абсолютно твердых тел, представляют собой дифференциальные уравнения, правые части которых являются функциями, разрывными относительно обобщенных скоростей (сила трения изменяется скачкообразно при изменении направления движения). Ситуация, подобная вышеописанной, особенно часто возникает в системах автоматического управления: стремление повысить быстродействие системы, минимизировать энергетические затраты на управление, ограничить область возможных изменений регулируемых параметров и т.п. приводит к управляющим воздействиям в виде разрывных функций. В частности, такими системами автоматического управления являются системы с переменной стуктурой и со скользящими режимами. Системы с переменной структурой и со скользящим режимом. Исследование этих систем в большинстве случаев осуществляется на основе развитого в работе [3] метода фазового пространства. Согласно этому методу, состояние динамической системы Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью –го порядка в любой момент времени полностью определяется значениями Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью координат. Значения этих координат задают некоторую точку в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью –мерном пространстве, по осям которого отложены координаты системы. Т.о., каждому новому состоянию системы соответствуют все новые и новые точки пространства и изменению состояний системы можно соподчинить движение некоторой точки, которая называется изображающей точкой, а пространство – фазовым пространством. При движении системы ее координаты изменяются. И изображающая точка описывает некоторую кривую (выражающую для данного движения зависимость скорости от координат), которая называется фазовой траекторией. По виду этих траекторий можно судить о свойствах рассматриваемой динамической системы, и, более того, изменять их, деформируя фазовые траектории при соответствующем выборе управляющих воздействий. Движение изображающей точки характеризуется вектором фазовой скорости, который направлен по касательной к траектории в сторону движения. Определение систем с переменной структурой дано в работе [13]. Под системами с переменной структурой авторы понимают системы, в которых связи между функциональными элементами меняются тем или иным образом, в отличие от систем с фиксированной структурой, в которых совокупность функциональных элементов и характер связей между ними остаются неизменными. Одним из режимов работы таких систем является скользящий режим, характеризуемый бесконечной частотой переключения функции управления. Скользящий режим возникает, если в окрестности поверхности, на которой функция управления претерпевает разрывы, фазовые траектории направлены навстречу друг другу Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью После попадания на поверхность разрыва изображающая точка не может в течение любого даже сколь угодно малого, но конечного интервала времени двигаться по любой из траекторий, примыкающих к этой поверхности (при любом смещении всегда возникает движение, возвращающее изображающую точку на поверхность разрыва). В [7] рассматривается еще случай, когда решение наоборот не может попасть на соответствующий участок поверхности разрыва (при возрастании времени):
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
Скользящие режимы обладают рядом привлекательных свойств с т.з. построения систем автоматического управления (часто скользящие режимы специально вводят в системы). Одна из особенностей, связанная с независимостью их от характеристик управляемого объекта и возможностью наделить их желаемыми свойствами, и обуславливает широкое применение скользящих движений. Т.о., существование теории релейных систем, систем переменной структуры, реализация законов оптимального управления, механики, электротехники приводят к необходимости изучения общей теории диф. уравн. с разрывными правыми частями, для которых в общем случае неприемлемы методы классической теории дифференциальных уравнений. §2. Обзор работ по теории дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями. Различным вопросам этой теории посвящены отдельные параграфы и главы в книгах [3,4,7,9], а также большое число журнальных статей. Систематическое изложение этой теории имеется в статьях А.Ф. Филиппова. В [16] Филиппов рассмотрел диф. уравн. с однозначными разрывными правыми частями, ввел понятие решения и доказал основные теоремы качественной теории. Различные направления исследования релейных диф. уравн. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , т.е. таких уравнений, у которых правая часть не является ненпрерывной по x функций рассмотрены в статье [5]. Теория систем автоматического управления, описываемых дифференциальными уравнениями с разрывными правыми частями рассматривается в книгах [13, 14, 15]. В работе С.В. Емельянова [13] излагается один из разделов теории автоматичесеого управления – теория систем с переменной структурой, принадлежащих к классу нелинейных систем автоматического регулирования, в которых широко используются скользящие режимы. Скользящие режимы релейных систем изучались Ю.И Неймарком [10], Ю.И. Алимовым [2] и др. Но появление систем с переменной структурой породило интерес к теории скользящих режимов не только в релейных системах общего вида [14, 15]. Содержание последних книг составляют проблемы, связанные с исследованием систем с разрывными управляющими воздействиями, в [14] приводится математический аппарат для исследования разрывных динамических систем, которые не рассматриваются в классической теории диф. уравнений. Обзор и основные направления теории диф. уравнений с разрвными правыми частями приводятся в книге [17], которая явилась основной при написании дипломной работы. Во всех вышеперечисленных работах теория разрывных систем основывается на теории дифференциальных включений. Нами было сделано предположение, что эти системы можно свести к системам дифференциальных уравнений с импульсным воздействием, теория которых изложена в [12]. Для этого потребуется дать определения решения, устойчивости решения разрывной системы в смысле системы с импульсным воздействием, сформулировать теорему об устойчивости нулевого решения. Глава II Определения решения дифференциального уравнения с разрывной правой частью. Здесь из лагаются различные определения решений дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями, устанавливается связь таких уравнений с дифференциальными включениями, указываются условия их применимости. §1. Обоснование необходимости обобщения понятия решения дифференциального уравнения.

Определение1. Решением дифференциального уравнения

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью

с непрерывной правой частью называется функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , которая всюду на данном интервале имеет производную и удовлетворяет этому уравнению.

Для дифференциальных уравнений с разрывными правыми частями такое определение непригодно, как показывают следующие примеры. Пример 1. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью =-1 и решение выражается формулой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ;

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :

Исходя из требования непрерывности решения при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : x(0)=Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Поэтому решение выражается формулой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью производной Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не существует. Пример 2. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью При Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 3, решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , решение Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью : Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью x При возрастании Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью каждое решение доходит до прямой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0. Поле направлений не позволяет решению сойти с прямой Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0 ни вверх, ни вниз. Если же продолжить решение по этой прямой, то получаемая функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью не удовлетворяет уравнению в обычном смысле, т.к. для нееДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , а правая часть уравнения при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью равна 1-sign 0=1Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью 0. Кроме этого, уравнение с непрерывной правой частью равносильно интегральному уравнению Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью В случае, когда f(t,x) разрывна по t и непрерывна по x (пример 1), решением уравнения можно назвать функции, удовлетворяющие интегральному уравнению. В этом случае, решения с одной стороны от S подходят к S, а с другой стороны сходят с S (траектории “прошивают” поверхность):
Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью
S Решение x(t) попадающее при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на поверхность разрыва S, продолжается однозначно на значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и близкие к Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ; пересекая S решение удовлетворяет уравнению всюду, кроме точки пересечения, в которой решение не имеет производной (в первом примере S – это прямая t=0). В другом случае, когда с обеих сторон поверхности разрыва S решения приближаются к S (траектории “стыкуются” – скользящий режим), это определение решения непригодно, т.к. ничего не говорит о том, как продолжится решение, попавшее на S (пример 2). Необходимо поэтому было дать такое определение решения, которое охватило бы эти два основных случая и формулировалось бы независимо от расположения линий и поверхностей разрыва. §2. Определения решения. Рассмотрим уравнение или систему в векторной записи Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (1) с кусочно-непрерывной функцией f в области G;Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , M – множество (меры нуль) точек разрыва функции f. Большинство известных определений решения уравнения (1) могут быть изложены следующим образом. Для каждой точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью области G указывается множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в n-мерном пространстве. Если в точке (t,x) функция f непрерывна, то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки, совпадающей со значением функции f в этой точке. Если же Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -точка разрыва функции f, то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью задается тем или иным способом.

Определение2. Решением уравнения (1) называется решение дифференциального включения

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , (2)

т.е. абсолютно непрерывная вектор-функция x(t), определенная на интервале или отрезке I, для которого почти всюду на I

Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью .

Другими словами, решение дифференциального уравнения (1) определяется как функция, у которой производная Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью может принимать любые значения из некоторого множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Иногда (2) называют диф. уравнением с многозначной правой частью. Функцию Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называют многозначной функцией, подчеркивая, что значениеДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество. Если для всех (t, x) множествоДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из единственной точки, то (2) – обычное диф. уравнение. Функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называется однозначной в точке Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , если множество FДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из единственной точки. Одним из наиболее популярных определений решения разрывной системы является определение А.Ф. Филиппова. А. Выпуклое доопределение. Применимо, в частности, к системам с малым запаздыванием того или иного рода, а также к некоторым системам с сухим трением. Для каждой точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью пусть Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - наименьшее выпуклое замкнутое множество, содержащее все предельные значения вектор-функцииДиплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Решением уравнения (1) называется решение включения (2) с только что построенным Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Т.к. Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью - множество меры нуль, то при почти всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью мера сечения множества Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью равна нулю. При таких Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью определено для всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . В точках непрерывности функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью состоит из одной точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и решение удовлетворяет уравнению (1) в обычном смысле. Если же точка Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит на границах сечений двух или нескольких областей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , ., Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью есть отрезок, выпуклый многоугольник или многогранник с вершинами Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , где Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Все точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью = 1, . , Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью содержатся в Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , но не обязательно, чтобы все они являлись вершинами. Определение 3. Вектор-функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , определенная на интервале Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью называется решением уравнения (1), если она абсолютно непрерывна и если при почти всех Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью для любого Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью вектор Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью принадлежит наименьшему выпуклому замкнутому множеству (Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -мерного пространства), содержащему все значения вектор-функции Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , когда Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью пробегает почти всю Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью -окрестность точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в пространстве X (при фиксированном Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью ), т.е. всю окрестность, кроме множества мера нуль. Такое определение дает однозначное продолжение решения по поверхности разрыва. Рассмотрим случай, когда функция Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью разрывна на гладкой поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , задаваемой уравнением Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Поверхность S делит свою окрестность в пространстве на области Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . Пусть при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и приближении Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью к Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью из областей Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью функция имеет предельные значения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Тогда множество Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , о котором говорится в доопределении А, есть отрезок, соединяющий концы векторов Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью и Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , проведенных из точки Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью . aЕсли этот отрезок при Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью лежит по одну сторону от плоскости Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , касательной к поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в точке, то решения при этих Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью переходят с одной стороны поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью на другую: Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью Рис. 1. aЕсли этот отрезок пересекается с плоскостью Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , то точка пересечения является концом вектора Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью , определяющего скорость движения Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью (3) по поверхности Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью в пространстве Диплом: Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью :

S

x

Страницы: 1, 2, 3


© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.