на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Диплом: Когомологии де Рама

Диплом: Когомологии де Рама

Министерство образования Российской Федерации. Саратовский Государственный Университет имени Н.Г.Чернышевского. кафедра геометрии. Когомологии де Рама. Дипломная работа Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522, **************************************************************** Научный руководитель: ************* Зав. кафедрой: ***************** Саратов, 2004 Оглавление. Введение................................3 1. Цепи и интегрирование........................4 1.1 р-мерные симплексы и их свойства..............4 1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы....7 1.3 Интегралы по р-мерным цепям................11 1.4 Теорема Стокса.....................13 2. Нульмерные и n-мерные когомологии...............15 2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии...16 2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.....19 Литература..........................24

Введение.

Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные когомологии обоих типов для n-мерных многообразий. Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из четырех пунктов, второй – из двух. В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства. В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса. Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с компактным носителем на многообразии.

Раздел 1. Цепи и интегрирование.

1.1 р-мерные симплексы и их свойства.

Определение: p-мерным симплексом Диплом: Когомологии де Рама в р-мерном пространстве Диплом: Когомологии де Рама будем называть объект, определенный неравенствами Диплом: Когомологии де Рама , Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим примеры р-мерного симплекса. р=1, тогда получаем Диплом: Когомологии де Рама - то есть отрезок [0,1] Диплом: Когомологии де Рама р=2, тогда Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник Диплом: Когомологии де Рама р=3, тогда Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр. Диплом: Когомологии де Рама Для удобства введем в симплексе Диплом: Когомологии де Рама так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими формулами Диплом: Когомологии де Рама , тогда Диплом: Когомологии де Рама Определение. Отображение Диплом: Когомологии де Рама симплекса Диплом: Когомологии де Рама в Диплом: Когомологии де Рама определяется формулой

(1.1)

Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама - барицентрические координаты в Диплом: Когомологии де Рама . По определению Диплом: Когомологии де Рама , то формула (1.1) действительно определяет отображение Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама . Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого отображения симплекса Диплом: Когомологии де Рама в пространстве Диплом: Когомологии де Рама в пространство Диплом: Когомологии де Рама . Рассмотрим образы симплекса Диплом: Когомологии де Рама в симплексе Диплом: Когомологии де Рама при данном отображении: Симплекс Диплом: Когомологии де Рама задается неравенствами Диплом: Когомологии де Рама ,Диплом: Когомологии де Рама и y0+ y1=1. Тогда при отображении Диплом: Когомологии де Рама получаем следующее: Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Таким образом, получаем следующее отображение Диплом: Когомологии де Рама Сравним отображения Диплом: Когомологии де Рама и Диплом: Когомологии де Рама при условии Диплом: Когомологии де Рама . Если Диплом: Когомологии де Рама - барицентрические координаты в Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама Так как Диплом: Когомологии де Рама , то можно переписать это в виде: Диплом: Когомологии де Рама С другой стороны получаем Диплом: Когомологии де Рама Диплом: Когомологии де Рама Отсюда получаем, что Диплом: Когомологии де Рама при условии Диплом: Когомологии де Рама

1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.

Пусть М – n-мерное многообразие класса Диплом: Когомологии де Рама со счетной базой. В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение – дифференцируемым отображением класса Диплом: Когомологии де Рама . Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М называется отображение Диплом: Когомологии де Рама , которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой окрестности симплекса Диплом: Когомологии де Рама в Диплом: Когомологии де Рама в многообразие М. Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация (с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов. Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение Диплом: Когомологии де Рама множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что множествоДиплом: Когомологии де Рама (где Диплом: Когомологии де Рама - множество тех s, для которых Диплом: Когомологии де Рама ) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется комбинация Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама , причем Диплом: Когомологии де Рама - локально конечно, что значит Диплом: Когомологии де Рама - окрестность x, такая, что U имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама . Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь является конечной. Доказательство: Пусть М – компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство, любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда Диплом: Когомологии де Рама - окрестность x, такая, что Диплом: Когомологии де Рама имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама . Так как М – компактное, то существует конечное число окрестностей Диплом: Когомологии де Рама , которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из которых имеет непустое пересечение с конечным числом Диплом: Когомологии де Рама , получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи. Лемма доказана. Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при умножении на скаляр – соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр). Множество всех р-цепей будем обозначать Диплом: Когомологии де Рама (множество бесконечных р-цепей Диплом: Когомологии де Рама ). Если f – дифференцируемое отображение М1 в М 2 , то есть получаем Диплом: Когомологии де Рама Полагая для симплексов Диплом: Когомологии де Рама и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение Диплом: Когомологии де Рама . Для бесконечных цепей на f накладываются дополнительные условия. Отображение f называется собственным, если Диплом: Когомологии де Рама компактно для любого компактного Диплом: Когомологии де Рама . Пусть Диплом: Когомологии де Рама – собственное отображение и Диплом: Когомологии де Рама – цепь на Диплом: Когомологии де Рама , то есть Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама . Положим Диплом: Когомологии де Рама , где Диплом: Когомологии де Рама , (1.2) причем Диплом: Когомологии де Рама , если Диплом: Когомологии де Рама ни для какого s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как Диплом: Когомологии де Рама – симплекс на Диплом: Когомологии де Рама , то Диплом: Когомологии де Рама – сингулярный симплекс на Диплом: Когомологии де Рама , тогда Диплом: Когомологии де Рама . Учитывая возможность того, что Диплом: Когомологии де Рама такие, что Диплом: Когомологии де Рама , и приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов t, для которых Диплом: Когомологии де Рама , локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на Диплом: Когомологии де Рама . Пусть s – р-симплекс, тогда Диплом: Когомологии де Рама - (р-1) – симплекс. Определим границу симплекса s формулой Диплом: Когомологии де Рама . То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает направление обхода границы. В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
+

Диплом: Когомологии де Рама

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.