Диплом: Когомологии де Рама |
Диплом: Когомологии де Рама
Министерство образования Российской Федерации.
Саратовский Государственный Университет
имени Н.Г.Чернышевского.
кафедра геометрии.
Когомологии де Рама.
Дипломная работа
Студентки 5 курса механико-математического факультета, группы № 522,
****************************************************************
Научный руководитель:
*************
Зав. кафедрой:
*****************
Саратов, 2004
Оглавление.
Введение................................3
1. Цепи и интегрирование........................4
1.1 р-мерные симплексы и их свойства..............4
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы....7
1.3 Интегралы по р-мерным цепям................11
1.4 Теорема Стокса.....................13
2. Нульмерные и n-мерные когомологии...............15
2.1 Вычисление когомологий на компактном многообразии...16
2.2 Вычисление когомологий с компактным носителем.....19
Литература..........................24
Введение.
Теория гомологий и когомологий топологических пространств играет важную роль
в алгебраической топологии. Для дифференциальных многообразий имеется два
варианта теории гомологий и когомологий, а именно гомологии и когомологии с
произвольным носителем и компактным носителем. В качестве когомологий
многообразия берутся когомологии комплекса дифференциальных форм с
произвольными и компактными носителями, а в качестве гомологий берутся
гомологии комплекса конечных дифференциальных цепей и комплекса бесконечных
дифференциальных цепей. Кроме того, вычисляются нульмерные и n-мерные
когомологии обоих типов для n-мерных многообразий.
Данная дипломная работа состоит из двух разделов. Первый раздел состоит из
четырех пунктов, второй – из двух.
В пункте 1.1 рассматриваются определение р-мерного симплекса и его свойства.
В пункте 1.2 определяется сингулярный р-симплекс на дифференцируемом
многообразии, дифференцируемые р-цепи и бесконечные дифференцируемые р-цепи и
их границы. В пункте 1.3 рассматриваются р-мерные группы гомологий и
когомологий, для конечных и бесконечных цепей, а также – интеграл от р-формы
по р-цепям. В пункте 1.4 приводится теорема Стокса.
Раздел два посвящен вычислению когомологий. В пункте 2.1 вычисляются
когомологии на компактном многообразии, в пункте 2.2 – когомологии с
компактным носителем на многообразии.
Раздел 1. Цепи и интегрирование. 1.1 р-мерные симплексы и их свойства.
Определение: p-мерным симплексом
в р-мерном пространстве
будем называть объект, определенный неравенствами
, .
Рассмотрим примеры р-мерного симплекса.
р=1, тогда получаем - то есть отрезок [0,1]
р=2, тогда , и x1+ x2=1, то есть, получаем треугольник
р=3, тогда , и x1+ x2 +x3=1, то есть, получаем тетраэдр.
Для удобства введем в симплексе
так называемые барицентрические координаты, которые определяются следующими
формулами
, тогда
Определение. Отображение симплекса в определяется формулой
,
где - барицентрические координаты в .
По определению , то
формула (1.1) действительно определяет отображение
. Это отображение очевидным образом продолжается до дифференцируемого
отображения симплекса
в пространстве в
пространство .
Рассмотрим образы симплекса в симплексе при данном отображении:
Симплекс задается неравенствами
, и y0+ y1=1.
Тогда при отображении получаем следующее:
Таким образом, получаем следующее отображение
Сравним отображения
и при условии
. Если -
барицентрические координаты в
, то
Так как , то можно переписать это в виде:
С другой стороны получаем
Отсюда получаем, что при условии
1.2 Дифференцируемые р-цепи на многообразии и их границы.
Пусть М – n-мерное многообразие класса со счетной базой.
В дальнейшем будем считать дифференцируемое отображение – дифференцируемым
отображением класса
.
Определение. Дифференцируемым сингулярным р-симплексом на М
называется отображение
, которое может быть продолжено до дифференцируемого отображения некоторой
окрестности симплекса
в в многообразие М.
Дифференцируемой р-цепью называется конечная линейная комбинация
(с вещественными коэффициентами) сингулярных р-симплексов.
Бесконечной дифференцируемой р-цепью называется бесконечная сумма
сингулярных р-симплексов, то есть такое отображение
множества дифференцируемых сингулярных р-симплексов в вещественную прямую, что
множество (где
- множество тех s, для которых
) локально конечно. Другими словами, дифференцируемой р-цепью называется
комбинация , где
, причем - локально
конечно, что значит
- окрестность x, такая, что U имеет непустое пересечение с
конечным числом .
Лемма:1.1 На компактном многообразии бесконечная сингулярная
цепь является конечной.
Доказательство:
Пусть М – компактное пространство, то есть хаусдорфово пространство,
любое открытое покрытие которого содержит конечное подпокрытие. Тогда
- окрестность x, такая, что
имеет непустое пересечение с конечным числом
. Так как М – компактное, то существует конечное число окрестностей
, которые покрывают все пространство М. Перебрав все окрестности, каждая из
которых имеет непустое пересечение с конечным числом
, получим , что на компактном многообразии бесконечная сингулярная цепь имеет не
более конечного числа ненулевых коэффициентов, то определение бесконечной
дифференцируемой р-цепи совпадает с определением дифференцируемой р-цепи.
Лемма доказана.
Множество всех р-цепей образует векторное пространство относительно сложения
цепей и умножения на скаляр. Определим эти операции. Суммой р-цепей будем
называть линейную комбинацию сингулярных р-симплексов, коэффициенты которой
получены из суммы коэффициентов при соответствующих р-симплексах (при
умножении на скаляр – соответствующие коэффициенты умножаются на скаляр).
Множество всех р-цепей будем обозначать
(множество бесконечных р-цепей
). Если f – дифференцируемое отображение М1 в М
2 , то есть получаем
Полагая для симплексов
и продолжая отображение по линейности получим линейное отображение
. Для бесконечных цепей на f накладываются дополнительные условия.
Отображение f называется собственным, если
компактно для любого компактного
.
Пусть – собственное отображение и – цепь на , то есть , где . Положим , где
, (1.2)
причем , если
ни для какого s. Покажем, что сумма (1.2) конечна. Так как
– симплекс на , то
– сингулярный симплекс на
, тогда . Учитывая
возможность того, что
такие, что , и
приводя подобные члены, получаем, что сумма (1.2) конечна. Множество симплексов
t, для которых ,
локально конечно. Поэтому формула (1.2) определяет бесконечную р-цепь на
.
Пусть s – р-симплекс, тогда
- (р-1) – симплекс. Определим границу симплекса s формулой
. То есть граница р- симплекса определяется (р-1)-симплексами, а знак указывает
направление обхода границы.
В качестве примера рассмотрим 2-симплекс:
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|