на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Министерство общего и профессионального образования

Сочинский государственный университет туризма

и курортного дела

Педагогический институт

Математический факультет

Кафедра общей математики

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

Ряды Фурье и их приложения

В математической физике.

Выполнила: студентка 5-го курса

подпись дневной формы обучения

Специальность 010100

„Математика”

Касперовой Н.С.

Студенческий билет № 95471

Научный руководитель: доцент, канд.

подпись техн. наук

Позин П.А.

Сочи, 2000 г.

Содержание:

1. Введение.

2. Понятие ряда Фурье.

2.1. Определение коэффициентов ряда Фурье.

2.2. Интегралы от периодических функций.

3. Признаки сходимости рядов Фурье.

3.1. Примеры разложения функций в ряды Фурье.

4. Замечание о разложении периодической функции в ряд Фурье

5. Ряды Фурье для четных и нечетных функций.

6. Ряды Фурье для функций с периодом 2 l.

7. Разложение в ряд Фурье непериодической функции.

Введение.

Жан Батист Жозеф Фурье - французский математик, член Парижской Академии

Наук (1817).

Первые труды Фурье относятся к алгебре. Уже в лекциях 1796 он изложил

теорему о числе действительных корней алгебраического уравнения, лежащих между

данными границами (опубл. 1820), названную его именем; полное решение о числе

действительных корней алгебраического уравнения было получено в 1829 Ж.Ш.Ф.

Штурмом. В 1818 Фурье исследовал вопрос об условиях применимости разработанного

Ньютоном метода численного решения уравнений, не зная об аналогичных

результатах, полученных в 1768 французским математиком Ж.Р. Мурайлем. Итогом

работ Фурье по численным методам решения уравнений является «Анализ

определённых уравнений», изданный посмертно в 1831.

Основной областью занятий Фурье была математическая физика. В 1807 и 1811

он представил Парижской Академии Наук свои первые открытия по теории

распространении тепла в твёрдом теле, а в 1822 опубликовал известную работу

«Аналитическая теория теплоты», сыгравшую большую роль в последующей истории

математики. Это – математическая теория теплопроводности. В силу общности

метода эта книга стала источником всех современных методов математической

физики. В этой работе Фурье вывел дифференциальное уравнение теплопроводности

и развил идеи, в самых общих чертах намеченные ранее Д. Бернулли, разработал

для решения уравнения теплопроводности при тех или иных заданных граничных

условиях метод разделения переменных (метод Фурье), который он применял к ряду

частных случаев (куб, цилиндр и др.). В основе этого метода лежит представление

функций тригонометрическими рядами Фурье.

Ряды Фурье теперь стали хорошо разработанным средством в теории уравнений в

частных производных при решении граничных задач.

1. Понятие ряда Фурье. (стр. 94, Уваренков)

Ряды Фурье играют большую роль в математической физике, теории упругости,

электротехнике и особенно их частный случай – тригонометрические ряды Фурье.

Тригонометрическим рядом называют ряд вида

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

или, символической записи:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ( 1 )

где ω, a0, a1, ., an, ., b0, b1, .,bn, .- постоянные числа (ω>0) .

К изучению таких рядов исторически привели некоторые задачи физики,

например задача о колебаниях струны (XVIII в.), задача о закономерностях в

явлениях теплопроводности и др. В приложениях рассмотрение тригонометрических

рядов, прежде всего связано с задачей представления данного

движения, описанного уравнением у = ƒ(χ), вДиплом: Ряды Фурье и их приложения

виде суммы простейших гармонических колебаний, часто взятых в бесконечно

большом числе, т. е. в качестве суммы ряда вида (1).

Таким образом, мы приходим к следующей задаче: выяснить существует ли для

данной функции ƒ(x) на заданном промежутке такой ряд (1),который сходился

бы на этом промежутке к данной функции. Если это возможно, то говорят, что на

этом промежутке функция ƒ(x) разлагается в тригонометрический ряд.

Ряд (1) сходится в некоторой точке х0, в силу периодичности функций Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(n=1,2,..), он окажется сходящимся и во всех точках вида Диплом: Ряды Фурье и их приложения

(m- любое целое число), и тем самым его сумма S(x) будет (в области сходимости

ряда) периодической функцией: если Sn(x) – n-я частичная сумма этого ряда, то

имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения

а потому и Диплом: Ряды Фурье и их приложения Диплом: Ряды Фурье и их приложения

, т. е. S(x0+T)=S(x0). Поэтому, говоря о разложении некоторой функции ƒ(x)

в ряд вида (1), будем предполагать ƒ(x) периодической функцией.

2. Определение коэффициентов ряда по формулам Фурье.

Пусть периодическая функция ƒ(х) с периодом 2π такая, что она

представляется тригонометрическим рядом, сходящимся к данной функции в

интервале (-π, π), т. е. является суммой этого ряда:

ƒ(x)=Диплом: Ряды Фурье и их приложения . (2)

Предположим, что интеграл от функции, стоящей в левой части этого

равенства, равняется сумме интегралов от членов этого ряда. Это будет

выполняться, если предположить, что числовой ряд, составленный из коэффициентов

данного тригонометрического ряда, абсолютно сходится, т. е.. сходится

положительный числовой ряд

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (3)

Ряд (1) мажорируем и его можно почленно интегрировать в промежутке

(-π, π). Проинтегрируем обе части равенства (2):

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

.

Вычислим отдельно каждый интеграл, встречающийся в правой части:

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения ,

Диплом: Ряды Фурье и их приложения .

Таким образом, Диплом: Ряды Фурье и их приложения , откуда

Диплом: Ряды Фурье и их приложения . (4)

Оценка коэффициентов Фурье. (Бугров)

Теорема 1. Пусть функция ƒ(x) периода 2π

имеет непрерывную производную ƒ(s)(x) порядка

s, удовлетворяющей на всей действительной оси неравенству:

│ ƒ(s)(x)│≤ Ms; (5)

тогда коэффициенты Фурье функции ƒ удовлетворяют неравенству

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (6)

Доказательство. Интегрируя по частям и учитывая, что

ƒ(-π) = ƒ(π), имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Поэтому

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Интегрируя правую часть (7) последовательно, учитывая, что производные

ƒ΄, ., ƒ(s-1) непрерывны и принимают

одинаковые значения в точках t = -π и t =

π, а также оценку (5), получим первую оценку (6).

Вторая оценка (6) получается подобным образом.

Теорема 2. Для коэффициентов Фурье ƒ(x) имеет место неравенство

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (8)

Доказательство. Имеем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (9)

Вводя в данном случае замену переменной Диплом: Ряды Фурье и их приложения

и учитывая, что ƒ(x) – периодическая функция, получим

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Складывая (9) и (10), получаем

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Отсюда

Диплом: Ряды Фурье и их приложения

Аналогичным образом проводим доказательство для bk.

Следствие. Если функция ƒ(x) непрерывна, то её

коэффициенты Фурье стремятся к нулю: ak → 0

, bk → 0, k → ∞.

Пространство функций со скалярным произведением.

Функция ƒ(x) называется кусочно-непрерывной на отрезке [a,

b], если она непрерывна на этом отрезке, за исключением, может быть,

конечного числа точек, где она имеет разрывы первого рода. Такие точки можно

складывать и умножать на действительные числа и получать как результат снова

кусочно-непрерывные на отрезке [a, b] функции.

Скалярным произведением двух кусочно-непрерывных на [a,

b] (a < b) функций ƒ и φ будем

называть интеграл

Диплом: Ряды Фурье и их приложения (11)

Очевидно для любых кусочно-непрерывных на [a, b]

функций ƒ , φ , ψ выполняются свойства:

1)

(ƒ , φ ) =( φ, ƒ );

2)

(ƒ , ƒ ) и из равенства (ƒ , ƒ ) = 0 следует, что ƒ(x)

=0 на [a, b], исключая, быть может, конечное число точек

x;

3)

(α ƒ + β φ , ψ) = α (ƒ , ψ) + β (

φ , ψ),

где α, β – произвольные действительные числа.

Множество всех кусочно-непрерывных функций, определенных на отрезке [a,

b], для которых введено скалярное произведение по формуле (11), мы

будем обозначать, Диплом: Ряды Фурье и их приложения и называть

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.