Диплом: Задача Лагранжа

Содержание

Введение.............................2

1. Построение модели......................6

2. Задача Лагранжа. Безусловный и условный экстремумы.....7

3. Задача Лагранжа с одним ограничением.............11

4. Смысл множителей Лагранжа..................15

5. Простейшая модель управления запасами.............18

6. Модель I. Модель Уилсона без ограничений............26

7. Модель II. Модель Уилсона с ограничениями на складские помещения.......33

8. Рацион Робинзона.......................38

9. Взаимные экстремальные задачи................42

10. Модель потребительского выбора..............44

11. Лабораторные задачи.....................47

12. Заключение.........................51

Список использованной литературы..................52

Введение

Научная модель является отображением некоторых интересующих нас явлений

(например, определенных объектов, событий, процессов, систем) и используется

в целях управления и предсказания. Основная функция научной модели

заключается не в том, чтобы описать явления, а в том, чтобы объяснить их.

Модель должна помочь выяснить, каким образом некоторые стороны явления влияют

на другие стороны или же на явления в целом. Если построена достаточно верная

модель, то эти вопросы можно выяснить, производя соответствующие опыты на

модели, не меняя характеристик изучаемого объекта.

Преимущества использования модели для этих целей особенно очевидны, когда

опыты на самом объекте или невозможны, как, например, в астрономии, или очень

дороги, как в сложных промышленных организациях. Но знание моделей этих

далеко не исчерпывается. В самом дели, в некотором смысле научные теории,

объясняющие определенные явления, аналогичны моделям этого явления, потому

наука не могла бы существовать без моделей, как она не могла бы существовать

без теории.

Таким образом, модели играют важнейшую роль в исследовательском процессе и

поэтому неизменно возрастает интерес к их изучению. Существующие модели можно

разделить на три типа: изобразительные (модели геометрического подобия),

модели – аналогии и символические (математические).

Изобразительная модель отображает внешние характеристики системы (как

фотография и ли модель самолета). Она подобна оригиналу. Многие фотографии,

картины и скульптуры являются изобразительными моделями людей, различных

предметов или сцен. Игрушечный автомобиль является изобразительной моделью

“настоящего” автомобиля. Глобус является изобразительной моделью земного

шара. В общем случае всякое отображение представляет собой изобразительную

модель в той мере, в какой его свойства совпадают со свойствами оригинала.

Правда, эти свойства обычно подвергаются метрическому преобразованию, т.е.

берётся определенный масштаб. Например, глобус имеет уменьшенный диаметр по

сравнению с земным шаром, хотя форма и относительные размеры континентов,

морей и т.д. приблизительно правильные. Модель атома, наоборот, имеет

увеличенные размеры, чтобы его можно было разглядеть не вооруженным глазом.

Масштаб в модели вводится для экономии и удобства пользователя. В обычных

условиях гораздо легче работать с моделью здания, атома или производственной

системы, чем с самим объектом. Так, с опытным заводом, который является

уменьшенной моделью полного завода, работать гораздо легче, чем с настоящим

заводом.

Изобразительные модели хорошо приспособлены для отображения статического или

динамического явления в определенный момент времени. Например, фотография или

схема производственных потоков может дать хорошую “картину” работы завода. Но

такие модели не подходят для отображения динамики явлений, например для

отображения рабочих операций, на заводе. Поэтому они не годятся для изучения

изменяющегося процесса, или динамики системы.

Хотя изобразительная модель и подобна оригиналу, она, как и другие типы

моделей, отличается от оригинала и не может отразить всех его свойств. В ней

отображается только свойства оригинала, существенные для задач, решаемых с

помощью данной модели. Этой избирательностью во многом определяется

экономичность использования любой научной модели.

Модель – аналог использует ряд свойств одного явления для отображения свойств

другого явления (например, в некоторых случаях поток воды через трубы можно

принять за аналог “потока” электричества по проводам).

При построении модели различных объектов, событий, процессов или систем не

всегда можно простым изменением масштаба изобразить все интересующие нас

свойства. Например, мы не можем наглядно представить на глобусе

геометрическую структуру Земли. Но мы легко можем представить различные

геометрические формации с помощью разноцветной окраски. При этом мы

производим подмену одного свойства (цвет) другим (геометрическая структура) в

соответствии с некоторыми правилами преобразования. В картографии, например,

такое преобразование является узаконенным, причем правила для преобразования

приводятся в легенде. В легенде на карте приводится также перечень

обозначений: например, сплошная линией обозначается грунтовая дорога, а

пунктирной – шоссейная. Такая модель называется моделью – аналогом, поскольку

в ней совокупность одних свойств представляется с помощью совокупности других

свойств.

Примером простой аналогии является графики. На графиках пользуются

расстоянием для отображения таких свойств, как время, число, проценты, вес, и

многих других. Графики часто удобны для представления количественных

соотношений и дают возможность предсказывать, как изменения одного свойства

сказывается на другом свойстве.

Используя модели – аналоги, мы увеличиваем наши возможности проверять на

модели изменения различных параметров. Обычно проще изменить модель – аналог,

чем изобразительную модель.

Модели – аналоги удобны для отображения динамических процессов или систем.

Можно построить модель, работа которой будет аналогична работе конвейера на

заводе. Или можно отобразить колебания спроса путем соответствующего

изменения некоторой входной величины модели. Однако на изобразительной

модели, например уменьшенной действующей модели цеха, такое изменение

провести трудно.

Другим преимуществом модели – аналога по сравнению с изобразительной моделью

является большая универсальность этой модели. Так, незначительно изменение

модели, можно отобразить различные процессы одного класса.

Символическая модель использует символы для отображения свойств изучаемой

системы (с помощью математического уравнения или системы уравнений). Элементы

модели и их взаимосвязь задаются с помощью символов (обычно математического

или логического характера).

Во многих случаях построения моделей – аналогов затруднительно, поскольку

изучение динамики явления отнимает много времени. Например, чтобы изучить с

помощью аналоговой модели влияния колебания спроса на производственный

процесс, нужно проделать на модели много опытов. Если же системы можно

представить с помощью математического выражения, то влияние изменить какого-

нибудь параметра можно установить с помощью математической дедукции за

несколько шагов. Поэтому мы рассматриваем в основном символические модели.

1. Построение модели

Для постановки задачи необходима анализ системы, исследование её особенностей

и возможных методов управления системой. Схема, построения в результате

такого анализа, является либо изобразительной, либо аналоговой моделью. Таким

образом, первый этап построения модели выполняется в процессе постановки

задачи. После такого анализа системы уточняется перечень различных вариантов

в решения, которые надо оценить. Затем определяются меры общей эффективности

этих вариантов. Следовательно, следующий этап заключается в построении такой

модели, в которой эффективность системы можно выразить в функции переменных,

определяющих систему. Некоторые из этих переменных в реальной системе можно

менять, другие переменные менять нельзя. Те переменные, которые можно

изменить, назовем “управляемыми”. Различные варианты решения задачи

необходимо выразить с помощью управляемых переменных.

Построение математической (символической) модели системы можно начать с

перечисления всех элементов системы, которые влияют на эффективность работы

системы. Если в качестве меры общей эффективности используется “общие

ожидаемые издержки”, то можно начать с исследования изобразительной или

аналоговой модели, полученной на стадии постановки задачи. Можно выделить

операции и материалы, которым сопоставляется некоторые затраты. При этом

получим, например, следующий исходный список:

1. Производственные затраты:

а) закупочная цена сырья;

б) издержки перевозки сырья;

в) стоимость приемки сырья;

г) стоимость хранения сырья;

д) стоимость планирования производства;

е) стоимость наладочных работ в цехе;

ж) стоимость процесса обработки;

з) стоимость хранения запасов в процессе производства;

и) стоимость завершения производства и передачи готовых изделий на склад;

к) стоимость анализа результатов работы группой планирования;

л) стоимость хранения готовых изделий.

2. Затраты на сбыт.

3. Накладные расходы.

2. Задача Лагранжа

Безусловный и условный экстремумы

Важное место в математиком аппарате экономики занимают оптимальные задачи –

задачи, которых ищется наилучшее в определенном смысле решение. В

экономической практике требуется использовать имеющиеся ресурс наиболее

выгодным образом. В экономической теории одним из отправных пунктов является

постулат о том, что каждый экономический субъект, имея определенную свободу

выбора своего поведения, отыскивает наилучший со своей точки зрения вариант.

И оптимизационные задачи служат средством описания поведения экономических

субъектов, инструментом исследования закономерностей этого поведения.

Многие задачи оптимизации формулируются следующим образом. Решение, которое

должен принять субъект, описывается набором чисел х1 ,х2 ,.,хn (или точкой

Х=(х1 ,х2 ,.,хn) n-мерного пространства). Достоинства того или иного решения

определяются значениями функция f(X) = f(х1, х2 ,.,хn) — целевой функции

. Наилучшее решение — это такая точка Х, в которой функция f(Х) принимает

наибольшее значение. Задача нахождения такой точки описывается следующим

образом:

f(X) ® max.

Если функция f(X) характеризует отрицательные стороны решения (ущерб, убытки

и т. п.), то ищется точка Х, в которой значение f(X) минимально:

f(X) ® min.

Минимум и максимум объединяются понятием экстремума. Для определенности мы

будем говорить только о задачах максимизации. Поиск минимума не требует

специального рассмотрения, поскольку заменой целевой функции f(X) на -f(Х)

всегда можно “превратить недостатки в достоинства” и свести минимизацию к

максимизации.

Из каких вариантов должен быть выбран наилучший? Иными словами, среди каких

точек пространства нужно искать оптимум. Ответ на этот вопрос связан с таким

элементом оптимизационной задачи, как множество допустимых решений. В

некоторых задачах допустимыми являются любые комбинации чисел х1, х2,.,хn то

есть множество допустимых решений - это все рассматриваемое пространство.

В других задачах следует принимать во внимание различные ограничения,

означающие, что не все точки пространства доступны при выборе. В

содержательных постановках задач это может быть связано, например, с

ограниченностью располагаемого количества ресурсов.

Ограничения могут быть представлены в форме равенств вида

g(X) = О

или неравенства

g(X) ³ О.

Если условия имеют несколько другую форму, скажем, g1(Х) = g2(X) или g(X)

£ A, то их можно привести к стандартному виду, перенеся в функции и

константы в одну из частей равенства или неравенства.

Экстремум, отыскиваемый во всем пространстве, без каких-либо ограничивающих

условий, носит название безусловного. Если целевая функция непрерывно

дифференцируема, то, необходимое условие безусловного экстремума функции

состоит в равенстве нулю всех ее частных производных:

Если же заданы ограничения, то экстремум ищется лишь среди точек, которые

удовлетворяют всем ограничениям задачи, так как только такие точки являются

допустимыми. В этом случае экстремум носит название условного.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5