на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Доклад: Метод Симпсона

Доклад: Метод Симпсона

Кафедра «Высшей математики» Реферат: Численное интегрирование по методу Симпсона Выполнил: Матвеев Ф.И. Проверила: Бурлова Л.В. Улан-Удэ.2002 Содержание. 1.Численные методы интегрирования 2.Вывод формулы Симпсона 3.Геометрическая иллюстрация 4.Выбор шага интегрирования 5.Примеры 1. Численные методы интегрирования Задача численного интегрирования заключается в вычислении интеграла Доклад: Метод Симпсона посредством ряда значений подынтегральной функции Доклад: Метод Симпсона . Задачи численного интегрирования приходится решать для функций, заданных таблично, функцией, интегралы от которых не берутся в элементарных функциях, и т.д. Рассмотрим только функции одной переменной. Вместо функции, которую требуется проинтегрировать, проинтегрируем интерполяционный многочлен. Методы, основанные на замене подынтегральной функции интерполяционным многочленом, позволяют по параметрам многочлена оценить точность результата или же по заданной точности подобрать эти параметры. Численные методы условно можно сгруппировать по способу аппроксимации подынтегральной функции. Методы Ньютона-Котеса основаны на аппроксимации функции Доклад: Метод Симпсона полиномом степени Доклад: Метод Симпсона . Алгоритм этого класса отличается только степенью полинома. Как правило, узлы аппроксимирующего полинома – равноотносящие. Методы сплайн-интегрирования базируются на аппроксимации функции Доклад: Метод Симпсона сплайном-кусочным полиномом. В методах наивысшей алгебраической точности (метод Гаусса) используются специально выбранные неравноотносящие узлы, обеспечивающие минимальную погрешность интегрирования при заданном (выбранном) количестве узлов. Методы Монте-Карло используются чаще всего при вычислении кратных интегралов, узлы выбираются случайным образом, ответ носит вероятностный характер.
Доклад: Метод Симпсона
Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона суммарная погрешность Доклад: Метод Симпсона погрешность усечения погрешность округления Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона Независимо от выбранного метода в процессе численного интегрирования необходимо вычислить приближенное значение интеграла и оценить погрешность. Погрешность уменьшается при увеличении n-количества разбиений отрезка Доклад: Метод Симпсона . Однако при этом возрастает погрешность округления за счет суммирования значений интегралов, вычисленных на частичных отрезках. Погрешность усечения зависит от свойств подынтегральной функции и длины Доклад: Метод Симпсона частичного отрезка. 2. Вывод формулы Симпсона Если для каждой пары отрезков Доклад: Метод Симпсона построить многочлен второй степени, затем проинтегрировать его и воспользоваться свойством аддитивности интеграла, то получим формулу Симпсона. Доклад: Метод Симпсона Рассмотрим подынтегральную функцию Доклад: Метод Симпсона на отрезке Доклад: Метод Симпсона . Заменим эту подынтегральную функцию интерполяционным многочленом Лагранжа второй степени, совпадающим с Доклад: Метод Симпсона в точках Доклад: Метод Симпсона : Доклад: Метод Симпсона Проинтегрируем Доклад: Метод Симпсона : Формула: Доклад: Метод Симпсона и называется формулой Симпсона. Полученное для интеграла Доклад: Метод Симпсона значение совпадает с площадью криволинейной трапеции, ограниченной осью Доклад: Метод Симпсона , прямыми Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона и параболой, проходящей через точки Доклад: Метод Симпсона Оценим теперь погрешность интегрирования по формуле Симпсона. Будем считать, что у Доклад: Метод Симпсона на отрезке Доклад: Метод Симпсона существуют непрерывные производные Доклад: Метод Симпсона . Составим разность Доклад: Метод Симпсона К каждому из этих двух интегралов уже можно применить теорему о среднем, поскольку Доклад: Метод Симпсона непрерывна на Доклад: Метод Симпсона и функция Доклад: Метод Симпсона неотрицательна на первом интервале интегрирования и неположительна на втором ( то есть не меняет знака на каждом из этих интервалов). Поэтому: Доклад: Метод Симпсона (мы воспользовались теоремой о среднем, поскольку Доклад: Метод Симпсона - непрерывная функция; Доклад: Метод Симпсона ). Дифференцируя Доклад: Метод Симпсона дважды и применяя затем теорему о среднем, получим для Доклад: Метод Симпсона другое выражение: Доклад: Метод Симпсона , где Доклад: Метод Симпсона Из обеих оценок для Доклад: Метод Симпсона следует, что формула Симпсона является точной для многочленов степени не выше третьей. Запишем формулу Симпсона, напрмер, в виде: Доклад: Метод Симпсона ,Доклад: Метод Симпсона . Если отрезок Доклад: Метод Симпсона интегрирования слишком велик, то его разбивают на Доклад: Метод Симпсона равных частей (полагая Доклад: Метод Симпсона ), после чего к каждой паре соседних отрезков Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона ,...,Доклад: Метод Симпсона применяют формулу Симпсона, именно: Запишем формулу Симпсона в общем виде: Доклад: Метод Симпсона (1) Доклад: Метод Симпсона (2) Погрешность формулы Симпсона - метода четвертого порядка: Доклад: Метод Симпсона , Доклад: Метод Симпсона (3) Так как метод Симпсона позволяет получить высокую точность, если Доклад: Метод Симпсона не слишком велика. В противном случае метод второго порядка может дать большую точность. Например, для функции Доклад: Метод Симпсона форма трапеции при Доклад: Метод Симпсона для Доклад: Метод Симпсона дает точный результат Доклад: Метод Симпсона , тогда как по формуле Симпсона получаем Доклад: Метод Симпсона 3. Геометрическая иллюстрация
Доклад: Метод Симпсона
Доклад: Метод Симпсона На отрезке Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона длиной 2h строится парабола, проходящая через три точки Доклад: Метод Симпсона ,Доклад: Метод Симпсона . Площадь под параболой, заключенная между осью OX и прямымиДоклад: Метод Симпсона , принимают равной интегралуДоклад: Метод Симпсона . Особенностью применения формулы Симпсона является тот факт, что число разбиений отрезка интегрирования - четное. Если же количество отрезков разбиения - нечетное, то для первых трех отрезков следует применить формулу, использующую параболу третьей степени, проходящую через четыре первые точки, для аппроксимации подынтегральной функции. Доклад: Метод Симпсона (4) Это формула Симпсона «трех восьмых». Для произвольного отрезка интегрирования Доклад: Метод Симпсона формула (4) может быть «продолжена»; при этом число частичных отрезков должно быть кратно трем (Доклад: Метод Симпсона точек). Доклад: Метод Симпсона Доклад: Метод Симпсона , m=2,3,... (5) Доклад: Метод Симпсона - целая часть Можно получить формулы Ньютона-Котеса старших порядков : Доклад: Метод Симпсона (6) Доклад: Метод Симпсона - количество отрезков разбиения; Доклад: Метод Симпсона - степень используемого полинома; Доклад: Метод Симпсона - производная Доклад: Метод Симпсона -го порядка в точке Доклад: Метод Симпсона ; Доклад: Метод Симпсона - шаг разбиения. В таблице 1 выписаны коэффициенты Доклад: Метод Симпсона . Каждая строка соответствует одному набору Доклад: Метод Симпсона промежутков Доклад: Метод Симпсона узлами для построения многочлена k-ой степени. Чтобы воспользоваться этой схемой для большего количества наборов (например, при k=2 и n=6), нужно «продолжить» коэффициенты, а затем сложить их. Таблица 1:
kC0A0a1a2a3a4a5a6
2

Доклад: Метод Симпсона

141
141
141
142241å

Страницы: 1, 2, 3


© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.