: Элементарные конформные отображения
ЕЛЕЦ
ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ.
КУРСОВАЯ РАБОТА
ПО МАТЕМАТИЧЕСКОМУ АНАЛИЗУ
Тема: «Элементарные конфортные отображения»
Выполнила: студентка группы М-31
физико-математического факультета
Е.Г. Петренко
Научный руководитель:
О.А. Саввина
1998 г.
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Краткая справка. Пусть имеются два множества комплексных точек
и . Если задан закон
, ставящий в соответствие каждому
точку (или точки) ,
то говорят, что на множестве
задана функция комплексной переменной со значениями в множестве
. Обозначают это следующим образом:
. (Часто говорят также, что
отображает множество
в множество .)
Задание функции
эквивалентно заданию двух действительных функций
и тогда , где
, . Как и в обычном
анализе, в теории функций комплексной переменной очень важную роль играют
элементарные функции. Рассмотрим некоторые из них.
1.
- линейная функция. Определена при всех
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
. Функция и обратная
ей - однозначны.
Функция
поворачивает плоскость
на угол, равный ,
растягивает (сжимает) ее в
раз и после этого осуществляет параллельный сдвиг на величину
. Непрерывна на всей комплексной плоскости.
2. . Определена на
всей комплексной плоскости, причем
, . Однозначна,
непрерывна всюду, за исключением точки
. Отображает полную комплексную плоскость
на полную комплексную плоскость
, причем точки, лежащие на единичной окружности, переходят в точки этой же
окружности. Точки, лежащие внутри окружности единичного радиуса, переходят в
точки, лежащие вне ее, и наоборот.
3. -
показательная функция. По определению
, т.е. ,
, . Из определения
вытекают формулы Эйлера:
; ; ;
Определена на всей комплексной плоскости и непрерывна на ней.
периодична с периодом
. Отображает каждую полосу, параллельную оси
, шириной
в плоскости в полную
комплексную плоскость
. Из свойств отметим
простейшие: ,
4. -
логарифмическая функция (натуральный логарифм). По определению:
. Выражение
называется главным значением
, так что .
Определен для всех комплексных чисел, кроме
. -
бесконечно-значная функция, обратная к
. ,
5.
- общая показательная функция. По определению,
. Определена для всех
, ее главное значение
, бесконечно-значна.
6. Тригонометрические функции ;;; По определению, ; ;
Страницы: 1, 2
|