|
|
| Контрольная: Контрольная по теории вероятности |
Контрольная: Контрольная по теории вероятности
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ВОРОНЕЖСКИЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕХНОЛОГИЙ
Факультет заочного и послевузовского обучения
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА №1
По дисциплине: "Теория вероятностей и элементы математической статистики"
Воронеж 2004 г.
Вариант – 9.
Задача № 1.
№№ 1-20. Техническое устройство, состоящее из трех узлов, работало в
течение некоторого времени t. За это время первый узел оказывается неисправным
с вероятностью р1, второй – с вероятностью р2, третий – с
вероятностью р3. Найти вероятность того, что за время работы: а) все
узлы оставались исправными; б) все узлы вышли из строя; в) только один узел
стал неисправным; г) хотя бы один узел стал неисправным (см. исходные данные в
таблице).
p1=0,4 p2=0,6 p3=0,9
Решение:
Пусть событие А означает, что первый узел оказался неисправным, В
оказался неисправным второй узел и С – оказался неисправным третий узел,
тогда  - первый
узел был исправен в промежуток времени t, 
- был исправен второй узел, 
- был исправен третий узел.
а) Пусть событие D означает, что все узлы оставались исправными, тогда 
. Поэтому , учитывая независимость событий 
,  и 
, по теореме умножения вероятностей имеем:
б) Пусть событие Е – все узлы вышли из строя, тогда:
в) Пусть событие F – только один узел стал неисправным, тогда:
События 
несовместные. Поэтому, применяя теорему сложения вероятностей несовместимых
событий, получим:
г) Пусть событие D1 – хотя бы один узел стал неисправным, тогда:
 .
Задача № 2
№39. По линии связи могут быть переданы символы А, В, С. Вероятность передачи
символа А равна 0,5; символа В – 0,3; символа С – 0,2. Вероятности искажения
при передаче символов А, В, С равны соответственно 0,01; 0,03; 0,07.
Установлено, что сигнал из двух символов принят без искажения. Чему равна
вероятность, что передавался сигнал АВ?
Решение:
Пусть событие А – передача символа А, событие В – передача символа В, событие С
– передача символа С, событие 
- искажение при передаче символа А, событие 
и  - искажения при
передаче символов В и С соответственно.
По условию вероятности этих событий равны:
 ,   ,  ,  , 
Если события  , 
и  - искажения при
передаче символов, то события 
,  и 
- отсутствие искажений при передаче. Их вероятности:
Обозначим через D событие, состоящее в том, что были переданы два символа без
искажений.
Можно выдвинуть следующие гипотезы:
Н1 – переданы символы АА,
Н2 – символы АВ,
Н3 – символы ВА,
Н4 – символы АС,
Н5 – символы СА,
Н6 – символы ВВ,
Н7 – символы ВС,
Н8 – символы СВ,
Н9 – символы СС.
Вероятности этих гипотез:
Условные вероятности события D если имела место одна из гипотез будут:
По формуле Бейеса вычислим условную вероятность  с учетом появления события Р:
Задача № 3
№№ 41-60. Найти вероятность того, что в п независимых испытаниях событие
появится: а) ровно k раз; б) не менее k раз; в) не более k раз; г) хотя бы один
раз, если в каждом испытании вероятность появления этого события равна р (см.
исходные данные в таблице).
Решение:
Так как число испытаний невелико, то для вычисления искомой вероятности
воспользуемся формулой Бернулли:
 , где
число сочетаний из п элементов по k, q=1-p. В рассматриваемом случае:
а) вероятность появления события ровно 4 раза в 5 испытаниях:
б) вероятность появления события не менее 4 раз в 5 испытаниях:
в) вероятность появления события не более 4 раз в 5 испытаниях:
г) вероятность появления события хотя бы один раз в 5 испытаниях:
Задача № 4
№№ 61-80. Дана плотность распределения f(x) случайной величины Х. Найти
параметр а, функцию распределения случайной величины, математическое ожидание
М[Х], дисперсию D[X], вероятность выполнения неравенства х1<x<
x2, построить график функции распределения F(x).
Решение:
Для определения параметра а воспользуемся основным свойством плотности
распределения:
 , так как при 
плотность распределения равна нулю, то интеграл примет вид: 
или  , откуда
 ; 
Функция распределения связана с функцией плотности соотношением:
Откуда получим: 
Математическое ожидание  и дисперсию  определим по формулам:
Вероятность выполнения неравенства <x< определим по
формуле: Р( <x< )=
F( ) – F( )=
Задача №5
№№ 81-100. Найти вероятность попадания в заданный интервал 
нормально распределенной случайной величины, если известны ее математическое
ожидание а и среднее квадратическое отклонение 
(см. исходные данные в таблице).
Решение:
Для определения искомой вероятности воспользуемся формулой:
Здесь  - функция
Ломпаса, значения которой определяются по таблице. Учитывая, что функция
Ф(х) нечетная, получим:
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
