на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Курсовая: Метод математической индукции

Курсовая: Метод математической индукции

Брянский Городской Лицей №1

Исследовательская работа на тему:

Метод Математической Индукции

Выполнил

Мелешко Константин

ученик 10 физико-математического

Брянского Городского Лицея №1

Проверил

Тюкачева Ольга Ивановна

-2003-

Содержание исследовательской работы

Содержание_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 2

Введение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 3

Основная часть

Полная и неполная индукция_ _ _ _ _ _ _ _ _3-4

Принцип математической индукции_ _ _ _ _4-5

Метод математической индукции_ _ _ _ _ _ 6

Решение Методом Математической Индукции

К задачам на суммирование_ _ _ _ _ _ _ _ _ 7

К задачам на доказательство неравенств_ _8

К задачам на делимость _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _11

К задачам на доказательство тождеств _ _ _12

К другим задачам _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 13

Заключение_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 16

Список использованной литературы _ _ _ _17

Введение

Слово индукция по-русски означает наведение, а

индуктивными называют выводы, сделанные на основе наблюдений, опытов,

т.е. полученные путем заключения от частного к общему.

Роль индуктивных выводов в экспериментальных науках очень велика. Они дают те

положения, из которых потом путем дедукции делаются дальнейшие умозаключения.

И хотя теоретическая механика основывается на трех законах движения Ньютона,

сами эти законы явились результатом глубокого продумывания опытных данных, в

частности законов Кеплера движения планет, выведенных им при обработке

многолетних наблюдений датского астронома Тихо Браге. Наблюдение, индукция

оказываются полезными и в дальнейшем для уточнения сделанных предположений.

После опытов Майкельсона по измерению скорости света в движущейся среде

оказалось необходимым уточнить законы физики, создать теорию относительности.

В математике роль индукции в значительной степени состоит в том, что она

лежит в основе выбираемой аксиоматики. После того как длительная практика

показала, что прямой путь всегда короче кривого или ломанного, естественно

было сформулировать аксиому: для любых трех точек А, В и С выполняется

неравенство

Курсовая: Метод математической индукции .

Лежащее в основе арифметики понятие «следовать за» тоже появилось при

наблюдениях за строем солдат, кораблей и другими упорядоченными множествами.

Не следует, однако, думать, что этим исчерпывается роль индукции в

математике. Разумеется, мы не должны экспериментально проверять теоремы,

логически выведенные из аксиом: если при выводе не было сделано логических

ошибок, то они постольку верны, поскольку истинны принятые нами аксиомы. Но

из данной системы аксиом можно вывести очень много утверждений. И отбор тех

утверждений, которые надо доказывать, вновь подсказывается индукцией. Именно

она позволяет отделить полезные теоремы от бесполезных, указывает, какие

теоремы могут оказаться верными, и даже помогает наметить путь

доказательства.

Суть Математической Индукции

Покажем на примере использование Метода Математической И

ндукции и в конце сделаем обобщающий вывод.

Курсовая: Метод математической индукции Курсовая: Метод математической индукции

Пусть требуется установить, что каждое натуральное чётное число n в

пределах 4 < n < 20 представимо в виде суммы двух простых чисел. Для

этого возьмём все такие числа и выпишем соответствующие разложения:

4=2+2; 6=3+3; 8=5+3; 10=7+3; 12=7+5;

14=7+7; 16=11+5; 18=13+5; 20=13+7.

Эти девять равенств показывают, что каждое из интересующих нас чисел

действительно представляется в виде суммы двух простых слагаемых.

Таким образом, полная индукция заключается в том, что общее утверждение

доказывается по отдельности в каждом из конечного числа возможных случаев.

Иногда общий результат удаётся предугадать после рассмотрения не всех, а

достаточно большого числа частных случаев (так называемая неполная индукция).

Результат, полученный неполной индукцией, остается, однако, лишь гипотезой,

пока он не доказан точным математическим рассуждением, охватывающим все

частные случаи. Иными словами, неполная индукция в математике не считается

законным методом строгого доказательства, но является мощным методом открытия

новых истин.

Пусть, например, требуется найти сумму первых n последовательных нечётных

чисел. Рассмотрим частные случаи:

1=1=12

1+3=4=22

1+3+5=9=32

1+3+5+7=16=42

1+3+5+7+9=25=52

После рассмотрения этих нескольких частных случаев напрашивается следующий

общий вывод:

1+3+5+.+(2n-1)=n2

т.е. сумма n первых последовательных нечётных чисел равна n2

Разумеется, сделанное наблюдение ещё не может служить доказательством

справедливости при-

ведённой формулы.

Полная индукция имеет в математике лишь ограниченное применение. Многие

интересные математические утверждения охватывают бесконечное число частных

случаев, а провести проверку для бесконечного числа случаев мы не в

состоянии. Неполная же индукция часто приводит к ошибочным результатам.

Во многих случаях выход из такого рода затруднений заключается в обращении к

особому методу рассуждений, называемому методом математической индукции. Он

заключается в следующем.

Пусть нужно доказать справедливость некоторого утверждения для любого

натурального числа n (например нужно доказать, что сумма первых n нечётных

чисел равна n2). Непосредственная проверка этого утверждения для

каждого значения n невозможна, поскольку множество натуральных чисел

бесконечно. Чтобы доказать это утверждение, проверяют сначала его

справедливость для n=1. Затем доказывают, что при любом натуральном значении k

из справедливости рассматриваемого утверждения при n=k вытекает его

справедливость и при n=k+1.

Тогда утверждение считается доказанным для всех n. В самом деле, утверждение

справедливо при n=1. Но тогда оно справедливо и для следующего числа n=1+1=2.

Из справедливости утверждения для n=2 вытекает его справедливость для n=2+

+1=3. Отсюда следует справедливость утверждения для n=4 и т.д. Ясно, что, в

конце концов, мы дойдём до любого натурального числа n. Значит, утверждение

верно для любого n.

Обобщая сказанное, сформулируем следующий общий принцип.

Принцип математической индукции.

Если предложение А(n), зависящее от натурального числа n, истинно для n=1

и из того, что оно истинно для n=k (где k-любое натуральное число), следует,

что оно истинно и для следующего числа n=k+1, то предположение А(n) истинно для

любого натурального числа n.

Курсовая: Метод математической индукции

В ряде случаев бывает нужно доказать справедливость некоторого утверждения не

для всех натуральных чисел, а лишь для n > p, где

p-фиксированное натуральное число. В этом случае принцип

математической индукции формулируется следующим образом.

Курсовая: Метод математической индукции Курсовая: Метод математической индукции

Если предложение А(n) истинно при n=p и если А(k)ÞА(k+1) для любого

k>p, то предложение А(n) истинно для любого n>p.

Доказательство по методу математической индукции проводиться следующим

образом. Сначала доказываемое утверждение проверяется для n=1, т.е.

устанавливается истинность высказывания А(1). Эту часть доказательства

называют базисом индукции. Затем следует часть доказательства, называемая

индукционным шагом. В этой части доказывают справедливость утверждения для

n=k+1 в предположении справедливости утверждения для n=k (предположение

индукции), т.е. доказывают, что А(k)ÞA(k+1).

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Применение метода математической индукции в задачах на суммирование

Пример:

Доказать, что

1+x2+x3+x4+..+xn=Курсовая: Метод математической индукции , где xКурсовая: Метод математической индукции 1

Решение.

Курсовая: Метод математической индукции , следовательно, при n=1 формула верна.

Пусть k- любое натуральное число и пусть формула верна при n=k, т.е.

Курсовая: Метод математической индукции

Докажем тогда

Курсовая: Метод математической индукции

В самом деле ,

Курсовая: Метод математической индукции

.

Значит, по принципу математической индукции формула верна для любого

натурального n.

Примеры применения метода математической индукции к доказательству неравенств.

Доказать, что при любом натуральном n>1

Курсовая: Метод математической индукции .

Решение.

Обозначим левую часть неравенства через Курсовая: Метод математической индукции .

Курсовая: Метод математической индукции , следовательно, при n=2 неравенство справедливо.

Пусть Курсовая: Метод математической индукции при некотором k. Докажем, что тогда и Курсовая: Метод математической индукции . Имеем Курсовая: Метод математической индукции , Курсовая: Метод математической индукции .

Сравнивая Курсовая: Метод математической индукции и Курсовая: Метод математической индукции , имеем Курсовая: Метод математической индукции , т.е. Курсовая: Метод математической индукции .

При любом натуральном k правая часть последнего равенства положительна. Поэтому Курсовая: Метод математической индукции

. Но Курсовая: Метод математической индукции , значит, и Курсовая: Метод математической индукции

.

Пример 2. Найти ошибку в рассуждении.

Утверждение. При любом натуральном n справедливо неравенство Курсовая: Метод математической индукции .

Страницы: 1, 2



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.