на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Курсовая: Множина комплексних чисел

Курсовая: Множина комплексних чисел

Чернігівський державний педагогічний університет імені Т.Г.Шевченка

фізико-математичний факультет

Курсова робота на тему:

Множина комплексних чисел

Підготувала студентка 45 групи

Петрова Наталія Олександрівна

Чернігів 2003

План

1. Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

2. Поняття комплексного числа.

3. Дії над комплексними числами.

4. Геометричне зображення комплексного числа.

5. Модуль і аргумент комплексного числа.

6. Тригонометрична форма комплексного числа.

7. Застосування комплексних чисел.

Виникнення та розвиток поняття комплексного числа.

“Помимо и даже против воли того или другого математика, мнимые числа снова и

снова появляются на выкладках, и лишь постепенно по мере того как

обнаруживается польза от их употребления, они получают более и более широкое

распространение”

Ф. Клейн.

Древнегреческие математики считали “настоящими” только натуральные числа.

Постепенно складывалось представление о бесконечности множества натуральных

чисел.

В III веке Архимед разработал систему обозначения вплоть до такого громадного

как Курсовая: Множина комплексних чисел . Наряду с

натуральными числами применяли дроби - числа, составленные из целого числа

долей единицы. В практических расчетах дроби применялись за две тысячи лет до

н. э. в древнем Египте и древнем Вавилоне. Долгое время полагали, что результат

измерения всегда выражается или в виде натурального числа, или в виде отношения

таких чисел, то есть дроби. Древнегреческий философ и математик Пифагор учил,

что “. элементы чисел являются элементами всех вещей и весь мир в целом

является гармонией и числом. Сильнейший удар по этому взгляду был нанесен

открытием, сделанным одним из пифагорейцев. Он доказал, что диагональ квадрата

несоизмерима со стороной. Отсюда следует, что натуральных чисел и дробей

недостаточно, для того чтобы выразить длину диагонали квадрата со стороной 1.

Есть основание утверждать, что именно с этого открытия начинается эра

теоретической математики: открыть существование несоизмеримых величин с помощью

опыта, не прибегая к абстрактному рассуждению, было невозможно.

Следующим важным этапом в развитии понятия о числе было введение отрицательных

чисел - это было сделано китайскими математиками за два века до н. э.

Отрицательные числа применяли в III веке древнегреческий математик Диофант,

знавший уже правила действия над ними, а в VII веке эти числа уже подробно

изучили индийские ученые, которые сравнивали такие числа с долгом. С помощью

отрицательных чисел можно было единым образом описывать изменения величин. Уже

в VIII веке было установлено, что квадратный корень из положительного числа

имеет два значения - положительное и отрицательное, а из отрицательных чисел

квадратный корень извлекать нельзя: нет такого числа Курсовая: Множина комплексних чисел

, чтобы Курсовая: Множина комплексних чисел .

В XVI веке в связи с изучением кубических уравнений оказалось необходимым

извлекать квадратные корни из отрицательных чисел. В формуле для решения

кубических уравнений вида Курсовая: Множина комплексних чисел

кубические и квадратные корни: Курсовая: Множина комплексних чисел

.Курсовая: Множина комплексних чисел

Эта формула безотказно действует в случае, когда уравнение имеет один

действительный корень (Курсовая: Множина комплексних чисел

), а если оно имеет три действительных корня (Курсовая: Множина комплексних чисел

), то под знаком квадратного корня оказывалось отрицательное число. Получалось,

что путь к этим корням ведет через невозможную операцию извлечения квадратного

корня из отрицательного числа. Вслед за тем, как были решены уравнения 4-й

степени, математики усиленно искали формулу для решения уравнения 5-й степени.

Но Руффини (Италия) на рубеже XVIII и XIX веков доказал, что буквенное

уравнение пятой степени Курсовая: Множина комплексних чисел

нельзя решить алгебраически; точнее: нельзя выразить его корень через буквенные

величины a, b, c, d, e с помощью шести алгебраических действий (сложение,

вычитание, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня).

В 1830 году Галуа (Франция) доказал, что никакое общее уравнение, степень

которого больше чем 4, нельзя решить алгебраически. Тем не менее всякое

уравнение n-й степени имеет (если рассматривать и комплексные числа) n корней

(среди которых могут быть и равные). В этом математики были убеждены еще в

XVII веке (основываясь на разборе многочисленных частных случаев), но лишь на

рубеже XVIII и XIX веков упомянутая теорема была доказана Гауссом.

Итальянский алгебраист Дж. Кардано в 1545 г. предложил ввести числа новой

природы. Он показал, что система уравнений Курсовая: Множина комплексних чисел

, не имеющая решений во множестве действительных чисел, имеет решения вида Курсовая: Множина комплексних чисел

, Курсовая: Множина комплексних чисел , нужно только

условиться действовать над такими выражениями по правилам обычной алгебры и

считать что Курсовая: Множина комплексних чисел .

Кардано называл такие величины “чисто отрицательными” и даже “

софистически отрицательными”, считал их бесполезными и старался их не

употреблять. В самом деле, с помощью таких чисел нельзя выразить ни результат

измерения какой-нибудь величины, ни изменение какой-нибудь величины. Но уже в

1572 году вышла книга итальянского алгебраиста Р. Бомбелли, в которой были

установлены первые правила арифметических операций над такими числами, вплоть

до извлечения из них кубических корней. Название “мнимые числа” ввел в

1637 году французский математик и философ Р. Декарт, а в 1777 году один из

крупнейших математиков XVIII века - Л. Эйлер предложил использовать первую

букву французского слова imaginaire (мнимый) для обозначения числа Курсовая: Множина комплексних чисел

(мнимой единицы). Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу

. Термин “комплексные числа” так же был введен Гауссом в 1831 году.

Слово комплекс (от латинского complexus) означает связь, сочетание,

совокупность понятий, предметов, явлений и т. д. Образующих единое целое.

В течение XVII века продолжалось обсуждение арифметической природы мнимых

чисел, возможности дать им геометрическое обоснование.

Постепенно развивалась техника операций над мнимыми числами. На рубеже XVII и

XVIII веков была построена общая теория корней n-ых степеней сначала из

отрицательных, а за тем из любых комплексных чисел, основанная на следующей

формуле английского математика А. Муавра (1707): Курсовая: Множина комплексних чисел Курсовая: Множина комплексних чисел

. С помощью этой формулы можно было так же вывести формулы для косинусов и

синусов кратных дуг. Л. Эйлер вывел в 1748 году замечательную формулу : Курсовая: Множина комплексних чисел

, которая связывала воедино показательную функцию с тригонометрической. С

помощью формулы Л. Эйлера можно было возводить число e в любую

комплексную степень. Любопытно, например, что Курсовая: Множина комплексних чисел

. Можно находить sin и cos от комплексных чисел, вычислять логарифмы таких

чисел, то есть строить теорию функций комплексного переменного.

В конце XVIII века французский математик Ж. Лагранж смог сказать, что

математический анализ уже не затрудняют мнимые величины. С помощью мнимых

чисел научились выражать решения линейных дифференциальных уравнений с

постоянными коэффициентами. Такие уравнения встречаются, например, в теории

колебаний материальной точки в сопротивляющейся среде. Еще раньше швейцарский

математик Я. Бернулли применял комплексные числа для решения интегралов.

Хотя в течение XVIII века с помощью комплексных чисел были решены многие

вопросы, в том числе и прикладные задачи, связанные с картографией,

гидродинамикой и т. д., однако еще не было строго логического обоснования

теории этих чисел. По этому французский ученый П. Лаплас считал, что

результаты, полученные с помощью мнимых чисел, - только наведение,

приобретающее характер настоящих истин лишь после подтверждения прямыми

доказательствами.

“Никто ведь не сомневается в точности результатов, получаемых при вычислениях

с мнимыми количествами, хотя они представляют собой только алгебраические

формы иероглифы нелепых количеств” Л. Карно.

В конце XVIII века, в начале XIX века было получено геометрическое истолкование

комплексных чисел. Датчанин К. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс

независимо друг от друга предложили изобразить комплексное число Курсовая: Множина комплексних чисел

точкой Курсовая: Множина комплексних чисел на

координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не

самой точкой M, а вектором Курсовая: Множина комплексних чисел

, идущим в эту точку из начала координат. При таком истолковании сложение и

вычитание комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами. Вектор Курсовая: Множина комплексних чисел

можно задавать не только его координатами a и b, но так же длиной r и углом

 который он образует с положительным направлением

оси абсцисс. При этом Курсовая: Множина комплексних чисел

, Курсовая: Множина комплексних чисел и число z

принимает вид Курсовая: Множина комплексних чисел ,

который называется тригонометрической формой комплексного числа. Число r

называют модулем комплексного числа z и обозначают Курсовая: Множина комплексних чисел

. Число Курсовая: Множина комплексних чисел называют

аргументом z и обозначают ArgZ. Заметим, что если Курсовая: Множина комплексних чисел

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.