Курсовая: Определители и системы линейных уравнений

1. Определители второго и третьего порядков и их свойства

1.1. Понятие матрицы и определителя второго порядка

Прямоугольную таблицу из чисел,

содержащую произвольное число т строк и произвольное число и столбцов, называют

матрицей. Для обозначения матрицы используют либо сдвоенные вертикальные

черточки, либо круглые скобки. Например:

1 7 9.2 1 7 9.2

28 20 18 28 20 18

-6 11 2 -6 11 2

Если число строк матрицы совпадает с числом ее столбцов, то матрица называется

квадратной. Числа, входящие в состав матрицы, называют ее элементами.

Рассмотрим квадратную матрицу, состоящую из четырех элементов:

(3.1)

Определителем второго порядка, соответствующим матрице (3.1), называется число,

равное

-

и обозначаемое символом

Итак, по определению

= - (3.2)

Элементы, составляющие матрицу данного определителя, обычно называют

элементами этого определителя.

Справедливо следующее утверждение: для того чтобы определитель второго

соответственно его столбцов) были пропорциональны.

Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что каждая из

пропорций /

= /

и /

= /

эквивалентна равенству

=

, а последнее равенство в силу (3.2) эквивалентно обращению в нуль определителя.

1.2. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными

Покажем, как применяются определители второго порядка для исследования и

отыскания решений системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными

+ = , + = (3.3)

(коэффициенты ,

, ,

и свободные члены ,

считаются при этом заданными). Напомним, что пара чисел

, называется

решением системы (3.3), если подстановка этих чисел на место

и в данную систему

обращает оба уравнения (3.3) в тождества.

Умножая первое уравнение системы (3.3) на -

, а второе — на - и

затем складывая полученные при этом равенства, получим

( - ) = - (3.4)

Аналогично путем умножения уравнений (3.3) на - и соответственно получим:

( - ) = - (3.5)

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12