Курсовая: Типовой расчет

Свойства определителей.

1. Определитель не изменяется, если его строчку заменить столбцом и

наоборот.

2. При перестановки дух строк и ли двух столбцов определитель меняет знак.

3. Если определитель имеет две одинаковые строки ( столбца ) то он равен 0.

4. Обшей множитель какой либо строки ( столбца ) можно вынести за знак

определителя.

Следствие из свойств 3 и 4 – что если все элементы некоторой строки ( столбца

) пропорциональны соответствующим элементам параллельной строки ( столбца ),

то определитель равен 0.

5. Если элемент какой либо строки ( столбца ) определителя есть сумма

слагаемых, то определитель может быть разложен на сумму двух определителей.

6. определитель не изменяется если к элементам параллельной строки (

столбца ) прибавить соответствующие элементы параллельной строки ( столбца )

умноженное та любое число.

Минором некоторого элемента

определителя -ного

порядка называется определитель

- его порядка полученного из исходного путем вычеркивания строки и столбца на

пресечении которых находится выбранный элемент

Алгебраическим дополнением элемента

определителя называется его минор, взятый с знаком [+] если сумма

число четное, со знаком [-], если сумма

нечетное число.

7. Определитель равен сумме произведений элементов некоторой строчи (

строки ) на соответствующие им алгебраические дополнения.

8. Сумма произведений элемента какого либо столбца ( строки )

определителя алгебраическое дополнение соответствующих параллельного столбца

( строки ) равна 0.

Матрицы и действия над ними.

§ Матрицей - прямоугольные таблицы, состоящие из

строк и столбцов

одинаковой длины.

§ Две матрицы A и B называются равными, если равны их

соответствующие элементы.

§ Матрица содержащее одинаковое количество строк и столбцов

называется квадратной.

§ Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной

диагонали равны, то она называется диагональной.

§ Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали

равен 1, то она называется единичной.

§ Матрица все элементы которой равны 0 называется нулевой.

§ Матрица содержащая одну строчку или один столбец, называется

векторной или вектор-строка или вектор-столбец.

§ Матрицы полученная из данной заменой каждой ее строки столбцом с

тем же номером называется транспонированной к данной.

Действия над матрицами.

Сложение.

Суммой двух матриц будет матрица

такая что каждый ее элемент

будет равен сумме соответствующих элементов матриц

и . ( Аналогично

определяется и разность матриц. )

Умножение на число

Произведение матрицы

на число называется

матрицей , такая

что ее каждый ее элемент умножен на число

.

Произведение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случаев, когда число столбцов

первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Элемент

-ой строки и -

го столбца матрицы произведением с равен сумме произведений

элементов i-ой строки матрицы А на соответствующее элементы

-го столбца матрицы В

Обратная матрица называется обратной матрицы , если выполняется условие:

Матрица называется невырожденной, если ее определитель отличен от 0.

Теорема: Всякая невырожденная матрица имеет обратную.

Элементарные преобразования матрицы

§ Перестановка двух параллельных рядов матрицы.

§ Умножения всех элементов ряда матрицы на число отличное от 0.

§ Прибавление ко всем элементам ряда матрицы соответствующих

элементов параллельного ряда, умноженных на одно и тоже число.

§ Две матрицы А и В называются эквивалентными, если одна

из них получается из другой с помощью элементарных преобразований.

Решение систем методом Крамара

Если

, то система линейных уравнений не вырожденная и имеет единственное решение.

Решение систем уравнений матричным способом.

§ Решить систему линейных уравнений – это значит выяснить совместна

она или нет.

§ Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы

одно решение, и несовместная, если она не имеет ни одного решения.

§ Две системы называются эквивалентными ( равносильными ), если они

имеют одно и тоже решение.

§ Эквивалентная система получается путем элементарных преобразований

системы, выполняются лишь над строками матрицы.

§ Система линейных уравнений называется однородной, если все ее

свободные члены равны 0 и имеет нулевое решение.

1. План решения систем линейных уравнений матричным способом.

2. Дана система линейных уравнений.

3. Записываем систему в матричном виде.

4. Выписываем матрицы А, В, Х.

5. Решаем систему в виде .

6. Вычисляем определитель матрицы А ().

7. Если , то матрица невырожденная, и имеет решение.

8. Ищем обратную матрицу.

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Метод Гуса состоит в подследственном исключении неизвестных.

Процесс решения состоит из двух этапов:

I. На первом этапе система приводится к ступенчатому в частности,

треугольному виду.

II. На втором этапе идет последовательное определение неизвестных.