Курсовая: Уравнения с параметрами
ПЛАН
Введение
Глава 1.
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
§2. Основные виды уравнений с параметрами.
Глава 2.
§1. Разработка факультативных занятий по теме.
Заключение.
ВВЕДЕНИЕ
Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение
и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие
их математических способностей. Процесс обучения строится как
совместная исследовательская деятельность учащихся.
Большую роль в развитии математического мышления учащихся на
факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с
параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе
не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что
уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных
экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.
Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими
основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и
рекомендациями к решению.
ГЛАВА 1
§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.
Рассмотрим уравнение
F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F)
с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,
γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α0
,β0, ..., γ0 уравнение (F) обращается в
уравнение
F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0 (F0)
с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo
) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.
Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры.
Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для
каждого уравнения в отдельности.
Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее
параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти
множество всех решений данного уравнения (системы).
Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры,
устанавливается следующим образом.
Определение. Два уравнения (системы)
F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F),
Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (Ф)
с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ
называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество
допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой
системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.
Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений
параметров имеют одно и то же множество решений.
Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений
параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.
Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении
F(x, у,,z; α,β, ..., γ)=0 (F)
задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ...,
γ);
у = у(α,β, ..., γ);..
z=z (α,β, ..., γ). (Х)
Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет
уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных
х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно
при всех допустимых значениях параметров:
F (x(α,β, ..., γ), y(α,β, ..., γ),.,z
(α,β, ..., γ)≡0.
При всякой допустимой системе численных значений параметров α =
α0,β=β0, ..., γ= γ0
соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения
F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0
§2. Основные виды уравнений с параметрами .
Линейные и квадратные уравнения.
Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как
уравнение с параметрами : ах = b, где х –
неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или
контрольным значением параметра является то, при котором обращается в
нуль коэффициент при неизвестном.
При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,
когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.
Особым значением параметра а является значение а = 0.
1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно
имеет единственное решение х =
.
2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b.
В этом случае значение b = 0 является особым значением
параметра b.
2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.
2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением
данного уравнения является любое действительное число.
П р и м е р . Решим уравнение
2а(а — 2) х=а — 2. (2)
Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых
коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются
а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих
частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях
параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом,
целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на
подмножества
A1={0}, А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}
и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение
(2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях
параметра:
1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2
Рассмотрим эти случаи.
1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.
2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого
уравнения является любое действительное число.
3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х=
откуда х= .
0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2,
то х — любое действительное число;
3) если а≠0, а
≠2 , то х=
П р и м е р . Решим уравнение
(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (3)
Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в
том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠
1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,
целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся
из него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а
≠1.
Рассмотрим эти случаи.
1) При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого
уравнения находим х= - .
2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при
которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.
Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то
при переходе значения D через точку ао дискриминант
может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при
а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао
меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере
при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>а
о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о
качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых
обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным
значениям.
Составим дискриминант уравнения (3):
=(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем = 5а+4.
Из уравнения =0 находим а= — второе контрольное значение параметра а. При
этом если а < , то D <0; если a≥ , , то D≥0.
a ≠ 1
Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а<
и в случае, когда { a≥
, a ≠ 1 }.
Если а< , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же
{ a≥ , a ≠ 1 }, то находим
Ответ: 1) если а< , то корней нет ; 2) если а= 1, то х = - ;
3) a ≥ , то
a ≠ 1
Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.
Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное
уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий
знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным
им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые
обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта
задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется
находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е.
решать соответствующие уравнения относительно параметра.
П р и м ер . Решим уравнение
(4)
Страницы: 1, 2, 3, 4
|