на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Курсовая: Уравнения с параметрами

Курсовая: Уравнения с параметрами

ПЛАН

Введение

Глава 1.

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

§2. Основные виды уравнений с параметрами.

Глава 2.

§1. Разработка факультативных занятий по теме.

Заключение.

ВВЕДЕНИЕ

Главной целью факультативных занятий по математике являются расширение

и углубление знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие

их математических способностей. Процесс обучения строится как

совместная исследовательская деятельность учащихся.

Большую роль в развитии математического мышления учащихся на

факультативных занятиях играет изучение темы "Уравнения с

параметрами". Вместе с тем изучение этой темы в школьной программе

не уделено достаточного внимания. Интерес к теме объясняется тем, что

уравнения с параметрами предлагаются как на школьных выпускных

экзаменах, так и на вступительных экзаменах в вузы.

Целью курсовой работы является ознакомление учащихся с теоретическими

основами решения уравнений с параметрами, основными их видами и

рекомендациями к решению.

ГЛАВА 1

§1. Теоретические основы решения уравнений с параметрами.

Рассмотрим уравнение

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F)

с неизвестными х, у, ..., z и с параметрами α,β, ...,

γ ;при всякой допустимой системе значений параметров α0

,β0, ..., γ0 уравнение (F) обращается в

уравнение

F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0 (F0)

с неизвестными х, у,..., z, не содержащее параметров. Уравнение (Fo

) имеет некоторое вполне определенное множество (быть, может, пустое) решений.

Аналогично рассматриваются системы уравнений, содержащих параметры.

Допустимыми системами значений параметров считаются системы, допустимые для

каждого уравнения в отдельности.

Определение. Решить уравнение (или систему), содержащее

параметры, это значит, для каждой допустимой системы значений параметров найти

множество всех решений данного уравнения (системы).

Понятие эквивалентности применительно к уравнению, содержащим параметры,

устанавливается следующим образом.

Определение. Два уравнения (системы)

F(х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (F),

Ф (х, у, ..., z; α,β, ..., γ) =0 (Ф)

с неизвестным х, у,..., z и с параметрами α,β, ..., γ

называются эквивалентными, если для обоих уравнений (систем) множество

допустимых систем значений параметров одно и то же и при всякой допустимой

системе значений, параметров оба уравнения (системы уравнений) эквивалентны.

Итак, эквивалентные уравнения при всякой допустимой системе значений

параметров имеют одно и то же множество решений.

Преобразование уравнения, изменяющее множество допустимых систем значений

параметров, приводит к уравнению, не эквивалентному данному уравнению.

Предположим, что каждое из неизвестных, содержащихся в уравнении

F(x, у,,z; α,β, ..., γ)=0 (F)

задано в виде некоторой функции от параметров: х = х(α,β, ...,

γ);

у = у(α,β, ..., γ);..

z=z (α,β, ..., γ). (Х)

Говорят, что система функций (Х), заданных совместно, удовлетворяет

уравнению (F), если при подстановке этих функций вместо неизвестных

х, у,..., z в уравнение (F) левая его часть обращается в нуль тождественно

при всех допустимых значениях параметров:

F (x(α,β, ..., γ), y(α,β, ..., γ),.,z

(α,β, ..., γ)≡0.

При всякой допустимой системе численных значений параметров α =

α0,β=β0, ..., γ= γ0

соответствующие значения функций (Х) образуют решение уравнения

F(х, у, ..., z; α0,β0, ..., γ0) =0

§2. Основные виды уравнений с параметрами .

Линейные и квадратные уравнения.

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как

уравнение с параметрами : ах = b, где х

неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или

контрольным значением параметра является то, при котором обращается в

нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи,

когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0.

1. Если а ≠ 0 , то при любой паре параметров а и b оно

имеет единственное решение х = Курсовая: Уравнения с параметрами

.

2. Если а = 0, то уравнение принимает вид: 0 х = b.

В этом случае значение b = 0 является особым значением

параметра b.

2.1. При b ≠ 0 уравнение решений не имеет.

2.2. При b = 0 уравнение примет вид : 0 х = 0. Решением

данного уравнения является любое действительное число.

П р и м е р . Решим уравнение

2а(а — 2) х=а — 2. (2)

Р е ш е н и е. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых

коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются

а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих

частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях

параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом,

целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на

подмножества

A1={0}, А2={2} и Аз= {а≠0, а≠2}

и решить уравнение (2) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение

(2) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях

параметра:

1) а=0 ; 2) а=2 ; 3) а≠0, а≠2

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (2) принимает вид 0 х= — 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (2) принимает вид 0 х=0. Корнем этого

уравнения является любое действительное число.

3) При а≠0, а≠2 из уравнения (2) получаем, х= Курсовая: Уравнения с параметрами

откуда х= Курсовая: Уравнения с параметрами .

0 т в е т: 1) если а=0, то корней нет; 2) если а=2,

то х — любое действительное число;

3) если а≠0, а

≠2 , то х= Курсовая: Уравнения с параметрами

П р и м е р . Решим уравнение

(а — 1) х2+2 (2а+1) х+(4а+3) =0; (3)

Р е ш е н и е. В данном случае контрольным является значение a=1. Дело в

том, что при a=1 уравнение (3) является линейным, а при а≠

1 оно квадратное (в этом и состоит качественное изменение уравнения). Значит,

целесообразно рассмотреть уравнение (3) как семейство уравнений, получающихся

из него при следующих значениях параметра: 1) а=l; 2) а

≠1.

Рассмотрим эти случаи.

1) При a=1 уравнение (3) примет вид бх+7=0. Из этого

уравнения находим х= - Курсовая: Уравнения с параметрами .

2) Из множества значений параметра а≠ 1 выделим те значения, при

которых дискриминант уравнения (3) обращается в 0.

Дело в том, что если дискриминант D=0 при а=ао, то

при переходе значения D через точку ао дискриминант

может изменить знак (например, при а<ао D< 0, а при

а>ао D>0). Вместе с этим при переходе через точку ао

меняется и число действительных корней квадратного уравнения (в нашем примере

при а<ао корней нет, так как D< 0, а при а>а

о D>0 уравнение имеет два корня). Значит, можно говорить о

качественном изменении уравнения. Поэтому значения параметра, при которых

обращается в 0 дискриминант квадратного уравнения, также относят к контрольным

значениям.

Составим дискриминант уравнения (3):

Курсовая: Уравнения с параметрами =(2а+ l)2 — (а — 1) (4а+3). После упрощений получаем Курсовая: Уравнения с параметрами = 5а+4.

Из уравнения Курсовая: Уравнения с параметрами =0 находим а= Курсовая: Уравнения с параметрами второе контрольное значение параметра а. При

Курсовая: Уравнения с параметрами этом если а < Курсовая: Уравнения с параметрами , то D <0; если aКурсовая: Уравнения с параметрами , , то D≥0.

a ≠ 1

Таким образом, осталось решить уравнение (3) в случае, когда а< Курсовая: Уравнения с параметрами

и в случае, когда { aКурсовая: Уравнения с параметрами

, a ≠ 1 }.

Если а< Курсовая: Уравнения с параметрами , то уравнение (3) не имеет действительных корней; если же

{ aКурсовая: Уравнения с параметрами , a ≠ 1 }, то находим Курсовая: Уравнения с параметрами

Ответ: 1) если а< Курсовая: Уравнения с параметрами , то корней нет ; 2) если а= 1, то х = -Курсовая: Уравнения с параметрами ;

Курсовая: Уравнения с параметрами 3) aКурсовая: Уравнения с параметрами , то Курсовая: Уравнения с параметрами

a ≠ 1

Дробно-рациональные уравнения с параметрами, сводящиеся к линейным.

Процесс решения дробных уравнений протекает по обычной схеме: дробное

уравнение заменяется целым путем умножения обеих частей уравнения на общий

знаменатель левой и правой его частей. После чего учащиеся решают известным

им способом целое уравнение, исключая посторонние корни, т. е. числа, которые

обращают общий знаменатель в нуль. В случае уравнений с параметрами эта

задача более сложная. Здесь, чтобы исключить посторонние корни, требуется

находить значение параметра, обращающее общий знаменатель в нуль, т. е.

решать соответствующие уравнения относительно параметра.

П р и м ер . Решим уравнение

Курсовая: Уравнения с параметрами (4)

Страницы: 1, 2, 3, 4



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.