Курсовая: Вычисление определённых интегралов по правилу прямоугольников

Содержание.

1. Введение. Постановка задачи..............2стр.

2. Вывод формулы...................3стр.

3. Дополнительный член в формуле прямоугольников....5стр.

4. Примеры.......................7стр.

5. Заключение......................9стр.

6. Список литературы...................10стр.

Постановка задачи.

Задача вычисления интегралов возникает во многих областях прикладной математики.

В большинстве случаев встречаются определённые интегралы от функций,

первообразные которых не выражаются через элементарные функции. Кроме того, в

приложениях приходится иметь дело с определёнными интегралами, сами

подынтегральные функции не являются элементарными.

Распространенными

являются также случаи, когда подынтегральная функция задается графиком или

таблицей экспериментально полученных значений. В таких ситуациях используют

различные методы численного интегрирования, которые основаны на том, что

интеграл представляется в виде предела интегральной суммы (суммы площадей), и

позволяют определить эту сумму с приемлемой точностью. Пусть требуется

вычислить интеграл

при условии, что a и b конечны и f(x) является

непрерывной функцией на всем интервале (a, b). Значение интеграла

I представляет собой площадь, ограниченную кривой f(x),осью x

и прямыми x=a, x=b. Вычисление I проводится путем

разбиения интервала от a до b на множество меньших интервалов,

приближенным нахождением площади каждой полоски, получающейся при таком

разбиении, и дальнейшем суммировании площадей этих полосок.

Вывод формулы прямоугольников.

Прежде, чем перейти к формуле прямоугольников, сделаем следующее замечание:

З а м е ч а н и е. Пусть функция f(x) непрерывна на сегменте [a, b], а

- некоторые точки

сегмента [a, b]. Тогда на этом сегменте найдётся точка

такая, что среднее арифметическое

.

В самом деле, обозначим через m и M точные грани функции

f(x) на сегменте [a, b]. Тогда для любого номера k

справедливы неравенства

. Просуммировав эти неравенства по всем номерам

и поделив результат на n, получим

Так как непрерывная функция принимает любое промежуточное значение, заключённое

между m и M, то на сегменте [a, b] найдётся точка

такая, что

.

Первые формулы для приближенного вычисления определённых интегралов проще всего

получаются из геометрических соображений. Истолковывая определенный интеграл

как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой

, мы и ставим перед собой задачу об определении этой площади.

Прежде всего, вторично используя эту мысль, которая привела к самому понятию об

определенном интеграле, можно разбить всю фигуру (рис. 1) на полоски, скажем,

одной и той же ширины

, а затем каждую полоску приближенно заменить прямоугольником, за высоту

которого принята какая-либо из ее ординат. Это приводит нас к формуле

(1)

где

, а R – дополнительный член. Здесь искомая площадь криволинейной фигуры

заменяется площадью некоторой состоящей из прямоугольников ступенчатой фигуры

(или – если угодно – определенный интеграл заменяется интегральной суммой). Эта

формула и называется формулой прямоугольников.

(рис.1)

На практике обычно берут

; если соответствующую среднюю ординату

обозначить через ,

то формула перепишется в виде

.

Дополнительный член в формуле прямоугольников.

Перейдём к отысканию дополнительного члена в формуле прямоугольников.

Справедливо следующее утверждение:

У т в е р ж д е н и е. Если функция f(x) имеет на сегменте

[a, b] непрерывную вторую производную, то на этом сегменте найдётся такая

точка

, что дополнительный член R в формуле (1) равен

(2)

Доказательство.

Оценим , считая, что

функция f(x) имеет на сегменте [-h, h] непрерывную вторую производную

Для этого подвергнем двукратному интегрированию по частям каждый из

следующих двух интегралов:

Для первого из этих интегралов получим

Для второго из интегралов аналогично получим

Полусумма полученных для и выражений приводит к следующей формуле:

(3)

Оценим величину ,

применяя к интегралам

и формулу среднего

Страницы: 1, 2