на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Методические указания: Численные методы

Методические указания: Численные методы

8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ

8.1 Введение

Одномерный определенный интеграл вида

Методические указания: Численные методы (8.1)

с пределами интегрирования Методические указания: Численные методы

можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых Методические указания: Численные методы

, осью абсцисс и графиком подынтегральной функции Методические указания: Численные методы

Если известна первообразная Методические указания: Численные методы

для Методические указания: Численные методы то интеграл

легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница Методические указания: Численные методы

Для некоторых подынтегральных функций Методические указания: Численные методы

интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с

помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае Методические указания: Численные методы

может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные

функции, либо сами

Методические указания: Численные методы

Рис. 8.1

подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к

необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных

интегралов.

Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных

определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного

интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций,

метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые

разбивается вся площадь под функцией Методические указания: Численные методы

. Хотя эти методы обычно предпочтительны в случае малых размерностей, они

практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для вычисления

последних наиболее пригоден метод Монте-Карло (численный метод решения

математических задач при помощи моделирования случайных величин).

8.2 «Классические» методы

Во всех этих методах отрезок интегрирования Методические указания: Численные методы

разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся

искомые площади (рис. 8.2):

Методические указания: Численные методы и Методические указания: Численные методы

Оценкой площади под кривой Методические указания: Численные методы

служит сумма площадей криволинейных трапеций Методические указания: Численные методы

Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что

подынтегральная функция Методические указания: Численные методы

заменяется

на отрезке Методические указания: Численные методы интерполяционным многочленом Методические указания: Численные методы и получается приближенное равенство

Методические указания: Численные методы

Методические указания: Численные методы

Рис.8.2

8.2.1 Метод прямоугольников

Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников,

заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 8.3.а.

Методические указания: Численные методы

Рис.8.3

В обычном методе прямоугольников значение Методические указания: Численные методы

вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением

Методические указания: Численные методы где Методические указания: Численные методы

Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах Методические указания: Численные методы

получим примерное значение искомого определенного интеграла

Методические указания: Численные методы где Методические указания: Численные методы (8.2.а)

Погрешность приближения показана на рисунке 8.3.а закрашенной фигурой.

Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении Методические указания: Численные методы

не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае

искомый интеграл оценивается выражением

Методические указания: Численные методы где Методические указания: Численные методы (8.2.б)

8.2.2 Метод трапеций

Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается

вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными

значениям Методические указания: Численные методы в начале

и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции

отрезком прямой, соединяющей значения Методические указания: Численные методы

в начальной и конечной точках отрезка (рис.8.4).

Методические указания: Численные методы

Рис.8.4

Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле

Методические указания: Численные методы где Методические указания: Численные методы

Просуммируем элементарные площади

Методические указания: Численные методы

т.к.Методические указания: Численные методы то полная площадь определяется выражением

Методические указания: Численные методы (8.3)

Погрешность приближения (как и в предыдущем случае) показана на рисунке 8.4

закрашенной фигурой.

8.2.3 Метод Симпсона (парабол)

Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической

(квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка (рис.8.5).

Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки Методические указания: Численные методы

можно записать в виде

Методические указания: Численные методы

(8.4)

(см. раздел 7 «Интерполяция полиномами Лагранжа»).

Проинтегрировав (8.4) с учетом того, что Методические указания: Численные методы

получим Методические указания: Численные методы — площадь

под параболой Методические указания: Численные методы на

отрезке Методические указания: Численные методы

Методические указания: Численные методы

Методические указания: Численные методы

Методические указания: Численные методы

Просуммировав все элементарные площади, получим

Методические указания: Численные методы

(8.5)

причем Методические указания: Численные методы — обязательно четное число.

8.2.4 Условия применимости, точность и сходимость классических методов

А. Практически все выведенные формулы применимы для численного

интегрирования достаточно регулярных функций Методические указания: Численные методы

т. е. для функций, которые можно аппроксимировать полиномом:

Методические указания: Численные методы (8.6)

В методе прямоугольников Методические указания: Численные методы

на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в

разложении (8.6): Методические указания: Численные методы

(рис.8.3). В методе трапеций для Методические указания: Численные методы

берутся два члена разложения: Методические указания: Численные методы

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.