Методические указания: Численные методы
8 ИНТЕГРИРОВАНИЕ
8.1 Введение
Одномерный определенный интеграл вида
(8.1)
с пределами интегрирования
можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых
, осью абсцисс и графиком подынтегральной функции
Если известна первообразная
для то интеграл
легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница
Для некоторых подынтегральных функций
интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с
помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае
может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные
функции, либо сами
Рис. 8.1
подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к
необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных
интегралов.
Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных
определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного
интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций,
метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые
разбивается вся площадь под функцией
. Хотя эти методы обычно предпочтительны в случае малых размерностей, они
практически не годятся для вычисления многомерных интегралов, для вычисления
последних наиболее пригоден метод Монте-Карло (численный метод решения
математических задач при помощи моделирования случайных величин).
8.2 «Классические» методы
Во всех этих методах отрезок интегрирования
разбивается на достаточно большое число равных частей, на которых строятся
искомые площади (рис. 8.2):
и
Оценкой площади под кривой
служит сумма площадей криволинейных трапеций
Простой прием построения формул для расчета интегралов состоит в том, что
подынтегральная функция
заменяется
на отрезке интерполяционным многочленом и получается приближенное равенство
Рис.8.2
8.2.1 Метод прямоугольников
Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников,
заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 8.3.а.
Рис.8.3
В обычном методе прямоугольников значение
вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением
где
Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах
получим примерное значение искомого определенного интеграла
где (8.2.а)
Погрешность приближения показана на рисунке 8.3.а закрашенной фигурой.
Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении
не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае
искомый интеграл оценивается выражением
где (8.2.б)
8.2.2 Метод трапеций
Другим приближением является формула трапеций, в которой интеграл оценивается
вычислением суммы площадей элементарных трапеций со сторонами, равными
значениям в начале
и конце элементарного отрезка. Это приближение равносильно замене функции
отрезком прямой, соединяющей значения
в начальной и конечной точках отрезка (рис.8.4).
Рис.8.4
Площадь каждого элементарного сегмента разбиения считается по формуле
где
Просуммируем элементарные площади
т.к. то полная площадь определяется выражением
(8.3)
Погрешность приближения (как и в предыдущем случае) показана на рисунке 8.4
закрашенной фигурой.
8.2.3 Метод Симпсона (парабол)
Более высокую точность расчетов обеспечивает использование параболической
(квадратичной) интерполяции по трем соседним точкам отрезка (рис.8.5).
Уравнение полинома второй степени, проходящего через точки
можно записать в виде
(8.4)
(см. раздел 7 «Интерполяция полиномами Лагранжа»).
Проинтегрировав (8.4) с учетом того, что
получим — площадь
под параболой на
отрезке
Просуммировав все элементарные площади, получим
(8.5)
причем — обязательно четное число.
8.2.4 Условия применимости, точность и сходимость классических методов
А. Практически все выведенные формулы применимы для численного
интегрирования достаточно регулярных функций
т. е. для функций, которые можно аппроксимировать полиномом:
(8.6)
В методе прямоугольников
на каждом малом сегменте заменяется прямой, описываемой первым членом в
разложении (8.6):
(рис.8.3). В методе трапеций для
берутся два члена разложения:
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|