Реферат: Цепные дроби

Содержание

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Глава I. ПРАВИЛЬНЫЕ КОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями

§2. Подходящие дроби. Их свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

Глава II. БЕСКОНЕЧНЫЕ ЦЕПНЫЕ ДРОБИ

§1. Представление действительных иррациональных чисел правильными

бесконечными цепными дробями

1.1. Разложение действительного иррационального числа в правильную

бесконечную цепную дробь . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2. Сходимость правильных бесконечных цепных дробей . . . . .

1.3. Единственность представления действительного иррационального числа

правильной бесконечной цепной дробью

§2. Приближение действительного числа рациональными дробями с заданным

ограничением для знаменателя

2.1. Оценка погрешности при замене действительного числа его подходящей

дробью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . .

2.2. Приближение действительного числа подходящими дробями

2.3. Теорема Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.4. Подходящие дроби как наилучшие приближения

§3. Квадратические иррациональности и периодические цепные дроби . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

§4. Представление действительных чисел цепными дробями общего вида . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Решение задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Используемая литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

Введение

Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней

я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения

действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в

результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения

ряда алгебраических задач.

Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли.

Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского

математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо

Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их

использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к

разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их

обобщение.

Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-

1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др.

Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику

Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей

дифференциальных уравнений.

Глава I. Правильные конечные цепные дроби.

§1. Представление рациональных чисел цепными дробями.

Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел

, называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их

наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных

чисел.

Пусть -

рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b

алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем

конечную систему равенств:

где неполным частным последовательных делений

соответствуют остатки

с условием b>>

>.>>0, а

соответствует остаток 0.

Системе равенств (1) соответствует равносильная система

из которой последовательной заменой каждой из дробей

и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается

представление дроби

в виде:

Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной

непрерывной дробью, при этом предполагается, что

– целое число, а ,

., - натуральные

числа.

Имеются различные формы записи цепных дробей:

Согласно последнему обозначению имеем

Числа , , ., называются элементами цепной дроби.

Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого

рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби

получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1),

поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме

того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь

состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной

части.

Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как

она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и

любого действительного числа.

Разложение рационального числа

имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида

последовательного деления a на b является конечным.

Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число,

то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не

имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной

дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было

.

Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная

данному рациональному числу, но при условии, что

.

Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия

единственность представления отпадает. В самом деле, при

:

так что представление можно удлинить:

например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1).

2) Принимая условие

, можно утверждать, что целая часть цепной дроби

равна ее первому неполному частному

. В самом деле:

1. если n=1, то

2. если n=2, то ; поэтому

3. если n>2, то

=

,

где >1, т.к.

Поэтому и здесь .

Докажем то, что рациональное число

однозначно представляется цепной дробью

, если .

Пусть с условием

, . Тогда

, так что .

Повторным сравнением целых частей получаем

, а следовательно

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16