на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Реферат: Геометрия в пространстве

Реферат: Геометрия в пространстве

Реферат: Геометрия в пространстве

Введение.

В своей деятельности человеку повсюду приходится сталкиваться с необходимостью изучать форму, размеры, взаимное расположение пространственных фигур. Подобные задачи решают и астрономы, имеющие дело с самыми большими масштабами, и физики, исследующие структуру атомов и молекул. Раздел геометрии, в котором изучаются такие задачи, называется стереометрией (от греческого «стереос»- объемный, пространственный). Реферат: Геометрия в пространстве Может показаться парадоксальным, но фактически понятие «плоскость» в планиметрии- геометрии на плоскости - не нужно. Ведь если мы, например, говорим, что в плоскости многоугольника дана точка, мы тем самым подразумеваем, что такие точки существуют и вне этой плоскости. В планиметрии такое предположение излишние: все происходит в одной и той же единственной плоскости. В стереометрии нам приходится иметь дело уже с несколькими плоскостями. В каждой из них сохраняют свою силу все известные из планиметрии определения и теоремы, относящиеся к точкам, прямым, расстояниям и т.д., но свойства самих плоскостей необходимо описывать отдельно. План. I. Основные аксиомы стереометрии--------------- 4 II. Прямые, плоскости, параллельность------------ 6 Реферат: Геометрия в пространстве III. Изображение пространственных фигур------ 7 IV. Перпендикулярность. Углы. Расстояния----- 12 V. Несколько задач на построение, воображение, изображение и соображение------------------------ 17

I.Основные аксиомы стереометрии

Итак, в стереометрии к основным понятиям планиметрии добавляется еще одно - плоскость, а вместе с ним - аксиомы, регулирующие «взаимоотношения» плоскостей с другими объектами геометрии. Таких аксиом три. Первая- аксиома выхода в пространство - придает «театру геометрических действий» новое, третье измерение: · Имеется четыре точки, не лежащие в одной плоскости (рис. 1)
Рис. 1
Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Таким образом, не все точки находятся в одной плоскости. Но этого недостаточно. Нужно, чтобы различных плоскостей было бесконечно много. Это обеспечивается второй аксиомой- аксиомой плоскости: · Через любые три точки проходит плоскость. Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве С третьей аксиомой мы сталкиваемся, когда складываем фигурки из бумаги: все знают, что, образующиеся при этом линии сгиба - прямые. Реферат: Геометрия в пространстве Аксиома пересечения плоскостей звучит так: ·
Рис. 2
Если две плоскости имеют общую точку, то их пересечение есть прямая. · (рис.2) Отсюда следует: если три точки лежат на одной прямой, то проходящая через них плоскость единственная. Реферат: Геометрия в пространстве Действительно, если через какие- то три точки проходят две разные плоскости, то через эти точки можно провести прямую, а именно прямую, по которой плоскости пересекаются. Отметим, что последнее свойство само нередко включается в аксиомы. Третья аксиома играет очень существенную и неочевидную с первого взгляда роль в стереометрии: она делает пространство в точности трехмерным, потому что в пространствах размерности четыре и выше плоскости могут пересекаться по одной точке. К трем указанным так же присоединяются планометрические аксиомы, переосмысленные и подправленные с учетом того, что теперь мы имеем дело не с одной, а с несколькими плоскостями. Например, аксиому прямой - через две различные точки можно провести одну и только одну прямую - переносят в стереометрию дословно, но только она уже распространяется на две точки пространства. В качестве следствия выведем прямо из аксиом одно полезное следствие: прямая, имеющая с плоскостью хотя бы две общие точки, целиком лежит в этой плоскости.

Реферат: Геометрия в пространстве

β

α

Рис. 3

B

A

.

.

.C

l

Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Пусть прямая l проходит через точки А и В плоскости α (рис. 3). Вне плоскости α есть хотя бы одна точка С (по аксиоме выхода в пространство). В соответствии с аксиомой плоскости через А,В и С можно провести плоскость β. Она отлична от плоскости α, так как содержит С и имеет с α две общие точки. Значит, β пересекается с α по прямой, которой, как и l, принадлежат А, В. По аксиоме прямой, линия пересечения плоскостей совпадает с l. Но эта линия лежит в плоскости α, что и требовалось доказать.

Путем несложных доказательств мы находим, что: · На каждой плоскости выполняются все утвержде-ния планиметрии.
Реферат: Геометрия в пространстве
II. Прямые, плоскости, параллельность. Уже такое основное понятие, как параллель­ность прямых, нуждается в новом определении: две прямые в пространстве называются парал-лельнылт, если они лежат в одной плоскости и не имеют общих точек. Так что не попадай­тесь в одну из излюбленных экзаменаторами ловушек — не пытайтесь «доказывать», что через две параллельные прямые можно про­вести плоскость: это верно по определению параллельности прямых! Знаменитую плани­метрическую аксиому о единственности парал­лельной включают и в аксиомы стереометрии, а с её помощью доказывают главное свойство параллельных прямых в пространстве: · Через точку, не лежащую на прямой, можно провести одну и только одну прямую параллельно данной. Сохраняется и другое важное свойство па­раллельных прямых, называемое транзитив­ностью параллельности: · Если две прямые а и b параллельны третьей прямой с, то они параллель­ны друг другу. Но доказать это свойство в стереометрии сложнее. На плоскости непараллельные прямые обязаны пересекаться и потому не могут быть одновременно параллельны третьей (иначе нарушается аксиома параллельных). В про­странстве существуют непараллельные и при­том непересекающиеся прямые — если они лежат в разных плоскостях. О таких прямых говорят, что они скрещиваются.

D

А

Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве Реферат: Геометрия в пространстве На рис. 4 изображён куб; прямые АВ и ВС пересекаются, АВ и CD — параллельны, а АВ и В¹С¹ — скрещиваются. В дальнейшем мы часто будем прибегать к помощи куба, чтобы иллюс­трировать понятия и факты стереометрии. Наш куб склеен из шести граней-квадратов. Исходя из этого, мы будем выводить и другие его свойства. Например, можно утверждать, что прямая АВ параллельна C¹D¹, потому что обе они параллельны общей стороне CD со­держащих их квадратов.

С

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.