на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных

Магнитогорский государственный технический университет Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Подготовил: Григоренко М.В. Студент группы ФГК-98 Магнитогорск –1999

Ведение

Для решения были предложены следующие уравнения: x3 – 4x – 2 = 0 и 4x = cosx При решении каждого уравнения вводится соответствующая функция (¦(x) = x3 – 4x – 2 и ¦(x) = 4x – cosx), а решениями уравнения являются нули соответствующей функции. Следует отметить, что обе функции непрерывны и дважды дифференцируемы на всей области определения (–¥ ; ¥). Необходимо найти приближенные решения уравнений с заданной точностью (0,001). С целью упростить работу (в частности, избавить человека от однотипных арифметических и логических операций) и обеспечить максимальную точность вычислениям, при решении данных уравнений была использована ЭВМ и программы на языке Turbo Pascal 7.0, созданные специально для решения данных задач.

Способ хорд

Теоретическая часть

Данный способ можно свести к следующему алгоритму: 1. Разделим всю область исследования (Df) отрезки, такие, что внутри каждого отрезка [x1;x2] функция монотонная, а на его концах значения функции ¦(x1) и ¦(x2) разных знаков. Так как функция ¦(x) непрерывна на отрезке [x1;x2], то ее график пересечет ось ОХ в какой либо одной точке между x1 и x2. 2. Проведем хорду АВ, соединяющую концы кривой y = ¦(x), соответствующие абсциссам x1 и x2. Абсцисса a1 точки пересечения этой хорды с осью ОХ и будет приближенным значением корня. Для разыскания этого приближенного значения напишем уравнение прямой АВ, проходящей через две данные точки A(x1;¦(x1)) и B(x2; ¦(x 2)), в каноническом виде: Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ; Учитывая, что y = 0 при x = a1, выразим из данного уравнения a1: Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных 3. Чтобы получить более точное значение корня, определяем ¦(а1). Если на данном отрезке мы имеем ¦(x1)<0, ¦(x2)>0 и ¦(a1)<0, то повторяем тот же прием, применяя формулу (1) к отрезку [a1;x2]. Если ¦(x1)>0, ¦(x2 )<0 и ¦(a1)>0, то применяем эту формулу к отрезку [x1 ;a1]. Повторяя этот прием несколько раз, мы будем получать все более точные значения корня а2, а3 и т.д.

Пример 1. x3 – 4x – 2 = 0

¦(x) = x3 – 4x – 2, ¦¢(x) = 3x2 – 4, производная меняет знак в точках Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ¦¢(x)Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных + – + Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ¦(x) Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных х функция ¦(x) монотонно возрастает при xÎ(–¥;Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ] и при хÎ[Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ;¥), и монотонно убывает при xÎ[Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ;Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных ]. Итак, функция имеет три участка монотонности, на каждом из которых находится по одному корню. Для удобств дальнейших вычислений сузим эти участки монотонности. Для этого подставляем наугад в выражение ¦(х) наугад те или иные значения х, выделим внутри каждого участка монотонности такие более короткие отрезки, на концах которых функция имеет разные знаки: ¦(–2)= –2, ¦(–1)= 1, ¦(0)= –2, ¦(1)= –5, ¦(2)= –2, ¦(3)= 13. Таким образом, корни находятся в интервалах (–2;–1), (–1;0), (2;3). Пункты 2 и 3 алгоритма выполняются при помощи ЭВМ (текст соответствующей программы приводится в Приложении 1) Программа выводит последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью для каждого из участков:

a1=-0.66667 при х1=-1.00000 и x2=0.00000

a2=-0.56250 при х1=-0.66667 и x2=0.00000

a3=-0.54295 при х1=-0.56250 и x2=0.00000

a4=-0.53978 при х1=-0.54295 и x2=0.00000

a5=-0.53928 при х1=-0.53978 и x2=0.00000

a6=-0.53920 при х1=-0.53928 и x2=0.00000

a7=-0.53919 при х1=-0.53920 и x2=0.00000

a8=-0.53919 при х1=-0.53919 и x2=0.00000

Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных Для (–2;–1): Для (–1;0): a1=-1.33333 при х1=-2.00000 и x2=-1.00000 a2=-1.55000 при х1=-2.00000 и x2=-1.33333 a3=-1.63653 при х1=-2.00000 и x2=-1.55000 a4=-1.66394 при х1=-2.00000 и x2=-1.63653 a5=-1.67195 при х1=-2.00000 и x2=-1.66394 a6=-1.67423 при х1=-2.00000 и x2=-1.67195 a7=-1.67488 при х1=-2.00000 и x2=-1.67423 a8=-1.67506 при х1=-2.00000 и x2=-1.67488 a9=-1.67511 при х1=-2.00000 и x2=-1.67506 a10=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67511 a11=-1.67513 при х1=-2.00000 и x2=-1.67513 Реферат: Приближенное решение уравнений методом хорд и касательных для (2;3) a1=2.13333 при х1=2.00000 и x2=3.00000 a2=2.18501 при х1=2.13333 и x2=3.00000 a3=2.20388 при х1=2.18501 и x2=3.00000 a4=2.21063 при х1=2.20388 и x2=3.00000 a5=2.21302 при х1=2.21063 и x2=3.00000 a6=2.21386 при х1=2.21302 и x2=3.00000 a7=2.21416 при х1=2.21386 и x2=3.00000 a8=2.21426 при х1=2.21416 и x2=3.00000 a9=2.21430 при х1=2.21426 и x2=3.00000 a10=2.21431 при х1=2.21430 и x2=3.00000 Приближенным значением корня уравнения на отрезке (–2;–1) является x = –1,6751
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.