|
|
| Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов |
Реферат: Приближенное вычисление определенных интегралов
Магнитогорский Государственный технический университет
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Формула парабол (формула симпсона)
Подготовил: Студент группы ФГК-98 Григоренко М.В.
Магнитогорск –1999
е для всякой непрерывной функции ее первообразная выражается через
элементарные функции. В этих случаях вычисление определенных интегралов по
формуле Ньютона-Лейбница затруднительно, и применяются различные способы
вычисления определенных интегралов. Один из них приведен ниже.
Формула парабол (формула Симпсона)
Разделим отрезок [a,b] на четное число равных частей n = 2m. Площадь
криволинейной трапеции, соответствующей первым двум отрезкам [x0,x
1] и [x1,x2] и ограниченной заданной кривой y =
f(x), заменим площадью криволинейной трапеции, которая ограничена параболой
второй степени, проходящей через три точки M(x0,y0), M
1(x1,y1), M2(x2,y2)
и имеющей ось, параллельную оси Оу (см. рисунок). Такую трапецию будем
называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
y = Ax2 + Bx + C.
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что парабола
проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других
пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и даст приближенное
значение интеграла.
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Если криволинейная трапеция ограничена параболой
y = Ax2 + Bx + C,
осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь
равна
S = h/3 (y0 + 4y1 + y2), (☺)
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка
Пользуясь формулой (☺), мы можем написать следующие приближенные
равенства (h=Δx):
| . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
Складывая левые и правые части, получим слева искомый интеграл, справа его
приближенное значение:
Это и есть формула Симпсона. Здесь число точек деления n = 2m произвольно, но
чем больше это число, тем точнее сумма в правой части равенства дает значение
интеграла.
Примеры
Было дано задания вычислить приблизительно следующие определенные интегралы:
  
И
Для вычисления данных интегралов мною были написаны специальные программы на
языке Visual Basic for Application. (тексты программ приведены в приложении).
Программы осуществляют запрос количества отрезков, на которые следует разбить
заданный отрезок. Структура программ универсальна и применима для вычисления
любых определенных интегралов. Для этого необходимо изменить границы
определенного интеграла в строках (*) и (**), а также подынтегральную функцию
в строке (***).
Были получены следующие ответы:
При n = 20.
 Приложение
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 0
'(*)
b = 1
'(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = Sqr(1 + (x ^ 4))
'(***)
End Function
'Приближенное вычисление интегралов по формуле парабол
'(формула Симпсона)
Option Explicit
Sub integral_1()
Dim i As Integer, n As Integer
Dim t As Boolean
Dim b As Double, a As Double
Dim chet As Double, nechet As Double
Dim delta As Double, result As Double
a = 2
'(*)
b = 5
'(**)
t = True
Do
n = InputBox("Введите четное число n", "Запрос")
If n Mod 2 = 0 Then t = False
Loop While t
delta = (b - a) / n
chet = 0
nechet = 0
For i = 1 To n - 1
If (i Mod 2) = 0 Then
chet = chet + (f(a + (delta * i)))
Else
nechet = nechet + (f(a + (delta * i)))
End If
Next i
result = (delta / 3) * (f(a) + f(b) + (2 * chet) + (4 * nechet))
MsgBox result, vbInformation, "Результат"
End Sub
Function f(x) As Double
f = 1 / (Log(x))
'(***)
End Function
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
