Реферат: Векторы. Действия над векторами
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Понятие вектора.
Глава 2. Простейшие операции над векторами.
Глава 3. Линейная зависимость векторов.
Глава 4. Понятие базиса. Координаты вектора в данном базисе.
Глава 5. Проекция вектора.
Глава 6. Скалярное произведение.
Глава 7. Векторное произведение.
Глава 8. Смешанное произведение.
Глава 9. Двойное векторное произведение.
Литература
Глава 1. Понятие вектора
Отрезок на прямой определяется двумя равноправными точками – его концами.
Различают также направленный отрезок, т.е. отрезок, относительно концов
которого известно какой из них первый (начало), а какой – второй (конец).
Определение: Направленный отрезок (или упорядоченная пара точек)
называется вектором.
Вектор обычно обозначается символом
, где А – начало, а В – конец направленного отрезка, либо одной буквой
(в некоторых учебниках буква выделяется полужирным шрифтом; при этом стрелка
опускается a). На чертеже вектор изображается стрелкой. Начало
вектора называют точкой его приложения.
Расстояние между началом и концом вектора называется его длиной. Для обозначения
длины вектора (его абсолютной величины) пользуются символом модуля. Так
и обозначают длины
соответствующих векторов.
Вектор единичной длины называют ортом.
К векторам будем относить и так называемый нулевой вектор, у
которого начало и конец совпадают. Считается, что нулевой вектор не имеет
определенного направления и имеет длину равную нулю. Это позволяет обозначать
нулевой вектор вещественным числом 0 (нуль).
Векторы расположенные либо на одной прямой, либо на параллельных прямых
называются коллинеарными. Нулевой вектор считается коллинеарным
любому вектору. Среди коллениарных векторов различают одинаково направленные
(сонаправленные) и противоположно направленные векторы.
Векторы называются компланарными, если они лежат либо на одной
плоскости, либо на прямых, параллельных одной и той же плоскости.
Определение: Два вектора называются равными, если они: 1)
коллинеарны; 2) равны по длине; 3) одинаково направлены.
Следствие: Для любого вектора
и для любой точки А, существует, и притом единственная, точка B такая, что
.
Мы не будем различать двух равных векторов, имеющих разные точки приложения.
Такие векторы называются свободными (в отличие от скользящих и
связанных векторов, встречающихся в других науках).
Понятие равенства векторов обладает следующими свойствами:
1. (рефлексивность).
2. Из того, что , следует (симметричность).
3. Из того, что и , следует (транзитивность).
Глава 2. Операции над векторами
Определение: Суммой
двух векторов и называется вектор, имеющий начало в начале вектора
, а конец – в конце вектора ,
при условии, что вектор
приложен к концу вектора .
В соответствии с определением слагаемые
и и их сумма
образуют треугольник (рис.2). Поэтому данное правило сложения двух векторов
называют «правилом треугольника».
Операция сложения векторов обладает свойствами:
1. (коммутативность);
2. , (ассоциативность);
3. для любого вектора (особая роль нулевого вектора);
4. для каждого вектора
существует противоположный ему вектор
такой, что (для получения
достаточно поменять местами начало и конец вектора
).
Вектор противоположный вектору обозначают .
Определение: Разностью
векторов и
называется сумма вектора и
вектора противоположного вектору
, т.е.
.
Разность получается из вектора
сдвигом его начала в конец вектора
, при условии, что векторы и
имеют общее начало (рис.3). Очевидно, что
для любого вектора .
Замечание: Существует еще одно правило сложения векторов, называемое
«правилом параллелограмма»: векторы
и прикладываются к общему
началу О, и на них строится параллелограмм (рис. 4). Суммой
будет вектор , расположенный на
диагонали параллелограмма. Разностью
здесь будет вектор ,
расположенный на второй диагонали.
Векторная
алгебра имеет дело с двумя типами величин: векторами и числами. Числа обычно
называют скалярными величинами или скалярами.
Определение: Произведением
вектора на вещественное число
λ (скаляр) называется вектор
, такой, что 1) ; 2) вектор
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6
|