на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

1.Метрические, линейные, нормированные пространства.

2.Понятие функции m переменных. Предел функции m переменных.

Понятие:

Пусть даны множества DШпора: Шпора 2 по мат анализу Rn и IШпора: Шпора 2 по мат анализу R.

Определение 1. Если каждой точке Шпора: Шпора 2 по мат анализу множества D ставится в соответствие единственное число у из I, то говорят, что задана функция n переменных у=f(x1, ., xn). Множество D называется областью определения функции D(у)=D, множество I называется множеством значений функции I (у)= I.

Если зафиксировать любые n-1 переменные, то функция многих переменных превращается в функцию одной переменной. x2=с2, x3=с3, ., хn=cn; y=f(x1, c2, ., cn) - функция одной переменной х1.

Пример.Шпора: Шпора 2 по мат анализу - функция двух переменных,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу - функция трех переменных.

Пусть имеется n+1 переменная x1, x2, ..., xn, y, которые связаны между собой так, что каждому набору числовых значений переменных x1, x2, ..., xn соответствует единственное значение переменной y. Тогда говорят, что задана функция f от n переменных. Число y, поставленное в соответствие набору x1, x2, ..., xn называется значением функции f в точке (x1, x2, ..., xn), что записывается в виде формулы y = f(x1,x2,..., xn) или y =y(x1,x2,..., xn).

Переменные x1, x2, ..., xn являются аргументами этой функции, а переменная y ‑ функцией от n переменных.

3.Непрерывность функции m переменных. Непрерывность функции m переменных по одной из переменных.

4.Непрерывность сложной функции.

Пусть функция j(t) непрерывна в точке t0 и функция f(x) непрерывна в точке х0=j(t0). Тогда функция f(j(t)) непрерывна в точке t0.

Доказательство.

Для доказательства этой теоремы воспользуемся формальным преобразованием двух строчек кванторов. Имеем

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Выписывая подчеркнутые кванторы, получим, что

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

что и говорит о том, что f(j(t)) непрерывна в точке t0. <

Обратите внимание на следующие детали:

а) т.к. x=j(t), то |j(t)-j(t0)|<d может быть записано как |x-x0|<d , и f(x) превращается в F(j(t));

б) при определении непрерывности j(t) в точке t0 в первом кванторе стоит буква d . Это необходимо для согласования с квантором Шпора: Шпора 2 по мат анализу в предыдущей строке и взаимного уничтожения Шпора: Шпора 2 по мат анализу . Любая другая буква на этом месте не дала бы верного результата.

5.Частные производные функции m переменных.

6.Дифференцируемость функции m переменных.

7.Дифференциал функции m переменных.

8.Дифференцирование сложной функции.

9.Производная по направлению. Градиент.

Производная по направлению. Если в n-мерном пространстве задан единичный векторimage186.gif (1276 bytes) , то изменение дифференцируемой функции в направлении этого вектора характеризуется производной по направлению:image188.gif (2018 bytes) . В частности, для функции трех переменных image189.gif (1834 bytes), image190.gif (1132 bytes)- направляющие косинусы вектора image191.gif (859 bytes).

Градиент. Производная по направлению представляет собой скалярное произведение вектора image191.gif (859 bytes)и вектора с координатами image192.gif (1381 bytes), который называется градиентом функции image193.gif (1026 bytes)и обозначается image194.gif (979 bytes). Поскольку image195.gif (1371 bytes), где image196.gif (874 bytes)- угол между image197.gif (979 bytes)и image191.gif (859 bytes), то векторimage197.gif (979 bytes) указывает направление скорейшего возрастания функции image199.gif (1026 bytes), а его модуль равен производной по этому направлению.

10.Квадратичные формы. Критерии Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы.

Скалярная функция векторного аргумента, которая представляет собой однородный многочлен второго порядка, называется квадратичной формой.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу R.

(критерий Сильвестра). Квадратичная форма является положительно определенной тогда и только тогда, когда все левые верхние угловые миноры матрицы А являются положительными, т.е.

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

11.Локальный экстремум функции m переменных. Необходимое условие локального экстремума.

12.Достаточные условия локального экстремума.

1. предположим, что в некоторой окрестности точки х0существует f'(х) ( в самой точке х0производной может не существовать). Допустим, что с приближением к точке х0слева функция f(х) возрастает (т.е. f'(х)>0), а после точки х0убывает (т.е. f'(х)<0). Очевидно, что в точке х0имеется максимум. Вывод: Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)>0 при х< х0 и f'(х)<0 при х > х0, то в точке х0 имеется максимум.

Если в достаточно малой окрестности точки х0 f'(х)<0 при х< х0 и f'(х)>0 при х > х0, то в точке х0 имеется минимум.

2. Перейдем к формулировке достаточного условия экстремума с помощью второй производной. Предполагается, что в некоторой окрестности точки х0, в том числе и в самой точке х0, существует первая производная f'(х). Кроме того, в точке х0существует вторая производная f''(х0). Исходя из выполнения необходимых условий экстремума, полагаем, что f''(х0)=0. Посмотрим теперь на f''(х)как на первую производную от функции

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Допустим, что f''(х0)>0. Это означает, что f'(х) возрастает при переходе значений х < х0 к значениям х > х0 . Но f'(х0)=0, поэтому возрастание f'(х0)<0, при х < х0и f'(х0)>0, при х > х0 . (для значений х из достаточно малой окрестности х0 ). В соответствии с п.1 получается минимум в точке х0 . Аналогичное рассуждение при f''(х0)<0 приводит к существованию максимума в точке х0 . Вывод: если f'(х0)=0, а f''(х0)<0, то функция y=f(x) имеет локальный максимум в точке х0 . Если f'(х0)=0, а f''(х0)>0, то функция y=f(x) имеет локальный минимум в точке х0.

13.Неявные функции. Производные неявных функций.

Неявная функция одной переменной. Пусть в некоторой области image212.gif (871 bytes)плоскости image213.gif (933 bytes)задана функция image214.gif (992 bytes), и пусть линия уровня этой функции , определяемая уравнением image215.gif (1040 bytes), является графиком некоторой функции image216.gif (873 bytes), определяемой уравнением image217.gif (1000 bytes). В этом случае говорят, что функция image216.gif (873 bytes)задана неявно уравнением image215.gif (1040 bytes). Для существования неявной функции требуется выполнение следующих условий: функция image214.gif (992 bytes)и ее частная производная по image218.gif (870 bytes)непрерывны в image212.gif (871 bytes),image219.gif (1528 bytes) . Тогда в некоторой окрестности точки image220.gif (890 bytes)существует единственная непрерывная функция image216.gif (873 bytes), задаваемая уравнением image217.gif (1000 bytes), так, что в этой окрестности image221.gif (1099 bytes).

Неявная функция многих переменных. Аналогично рассматривают функции многих переменных, заданные неявно. Например, при выполнении соответствующих условий, уравнение image222.gif (1070 bytes)задает неявно функцию image223.gif (1032 bytes). Это же уравнение может задавать неявно функцию image224.gif (1030 bytes)или image225.gif (1028 bytes).

Производная неявной функции. При вычислении производной неявной функции воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции. Продифференцируем уравнение image215.gif (1040 bytes):image226.gif (1309 bytes) . Отсюда получим формулу для производной функции image217.gif (1000 bytes), заданной неявно: image227.gif (1136 bytes). Таким же способом нетрудно получить формулы для частных производных функции нескольких переменных, заданной неявно, например, уравнением image222.gif (1070 bytes): image228.gif (1126 bytes), image229.gif (1141 bytes).

14.Условный экстремум функции m переменных.

Пусть функция image270.gif (1032 bytes)определена в некоторой области image271.gif (971 bytes)и в этой области задана кривая уравнением image272.gif (1058 bytes). Условным экстремумом функции двух переменных image270.gif (1032 bytes)называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой. Если из уравнения кривой можно, например, выразить image273.gif (997 bytes), то задача о нахождении условного экстремума сводится к исследованию на экстремум функции одной переменной image274.gif (1090 bytes).

15.Метод множителей Лагранжа.

Если уравнение image275.gif (1058 bytes)не разрешимо ни относительно image276.gif (997 bytes), ни относительно image277.gif (994 bytes), то рассматривают функцию Лагранжаimage278.gif (1341 bytes). Необходимым условием существования условного экстремума функции image270.gif (1032 bytes)при условии image275.gif (1058 bytes)является равенство нулю всех частных производных функции Лагранжа: image280.gif (1314 bytes).

16.Первообразная. Лемма. Теорема о первообразной.

17.Понятие неопределенного интеграла. Основные свойства.

Если F(x) –первообразная и f(x) сущю на промежутке X, то множество ф-ий f(x)+c, где С-const называется непоределенным интегралом от ф-ии f(x) на этом промежутке и обозначается òf(x)dx=F(x)+c

Свойства:

1) ( òf(x) dx )¢=f(x);

2) ò (x) dx= f(x)+C ;

3) d òf(x) dx= f(x)dx;

4) òd f(x)=f(x)+C ;

5) òkf(x)dx=kòf(x) dx;

6) ò(f(x)+g(x))dx=ò f(x) dxg(x) dx ;

7)Если òf(x) dx = F(x) + C, то òf(ax+b) dx =Шпора: Шпора 2 по мат анализу (a ¹ 0).

Все эти свойства непосредственно следуют из определения.

18.Метод замены переменных.

В некоторых случаях нахождение интеграла упрощается при переходе к другой переменной интегрирования. При этом если исходная и новая переменные Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу связаны соотношением Шпора: Шпора 2 по мат анализу , где Шпора: Шпора 2 по мат анализу - обратимая дифференцируемая функция, то для интегралов справедливо равенство

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

в правой части которого после вычисления интеграла следует сделать обратную замену Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

В частности, используя замену Шпора: Шпора 2 по мат анализу (или Шпора: Шпора 2 по мат анализу ), получаем формулу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

позволяющую обобщить табличные интегралы. Например:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу (Шпора: Шпора 2 по мат анализу ),

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

Шпора: Шпора 2 по мат анализу ,

где Шпора: Шпора 2 по мат анализу и Шпора: Шпора 2 по мат анализу - произвольные постоянные, Шпора: Шпора 2 по мат анализу .

19. Интегрирование по частям.

Интегрирую выражение любого дифференциала произведения, получим:

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Шпора: Шпора 2 по мат анализу

Страницы: 1, 2, 3, 4



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.