Билет №1 Пусть в обл. P плоскости XOY задана некоторая фун-ия z=f(x;y). Разобъём обл. P на n частичных обл. Рi , где i=1.n, возмём произвольную точку обл. (xI;hI) Î Рi , l - наиболь-ший диаметр чатичных обл. Построим частичную сумму – сумму Римена. 
Определение: 
Если существует конечный предел и не зависит от способа делений области на части и от выбора т. (xI;hI) в каждой из частичных областей, то такой предел принято называть двойным интегралом по обл. Р и пишут: 
В случае, если фун-ия f > 0 мы приходим к геометрическому смыслу двойного интеграла: днойной интеграл – это объём некоторого цилиндрического тела, сверху ограниченного пов-тью z = (x;y), которая проектируется на плоскость XOY в обл. Р, а образующие параллельны OZ. Площадь обл. Р: 
Двойной интеграл от f(x;y) имеет многие св-ва, аналогичные св-ам одномерного интеграла. Св-ва двойного интеграла: 1.Необходимым условием сущ. Двойного интеграла явл. ограниченность ф-ции f в обл. Р, т.е если сущ. интеграл, то f(x;y) – ограниченная. 2.Всякая непрырывная ф-ция, заданная в обл. Р, интегри-руема. 3.Если ф-ция f(x;y) в обл. Р имеет разрывы на конечном числе непрырывных кривых, принадлежащих этой обл., то f интегрирума по обл. Р. 4.Сумма Дарбу:  
Теорема: Для того, чтобы двойной интеграл от ограниченной обл. Р существовал, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство: 
5.Аддетивность двойного интеграла, т.е., если задана обл.Р некоторой непрырывной кривой разбита на две обл-ти Р1иР2 не имеющих общих точек, то, если двойной интеграл по обл. Р существует, то существуют интегралы относительно по двум областям. 
6.Линейность: 
7.Если f(x;y) £ g(x;y) для "(x;y)ÎP и ф-ции f и g интегрируемы, то соответственно справедливо неравенство: 
9.Если f(x;y) удовлетворяет нер-вам m £ f(x;y) £ M, то справедливо следующее неравенство: 
10.Для двойного интеграла имеет место теорема о среднем: если z = f(x;y) – ф-ция, заданая в обл. Р и такая, что во всех точках этой области выполняется нер-во m £ f(x;y) £ M, где 
то существует число m такое, что справедливо равенство: 
В случае непрырывности ф-ции: 
| | Вопрос №3 Пусть в плоскости XOY задана плоскость Д, ограничен-ная следующими кривыми: y=j1(x) a £ x £ a – снизу; y=j2(x) a £ x £ b – сверху; x = a – слева; x = b – справа; Тогда имеет место следующая теорема. Теорема: Если функция f(x;y) задана в области Д такова, что существует двойной интеграл 
для любого фиксированного xÎ [a ; b] существует одно- мерный интеграл 
то тогда существует повторный интеграл 
Доказательство: 
Обозначим c=inf j1(x) a £ x £ b; d=max j1(x) a £ x £ b и рассмотрим прямоугольник R=[a,b;c,d]ÉД. P=R\Д (раз- ность множеств). Построим вспомогательную функцию 
Рассмотрим 
Получаем следующее равенство: 
Замечание: Пусть теперь область Д ограничена следующими линиями: 
x=y1(y) c £ y £ d – слева; x=y2(y) c £ y £ d – справа; x = c – сверху; x = d – снизу. И пусть 
Тогда аналогично предыдущему можно показать, что существует повторный интеграл и 
Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл, существует оба повторных, то одновременно имеют место формулы (1) и (2) и можно пользоваться любой из них. | | Вопрос №5 Формула Грина. 
Теорема: Пусть задана область Д огран. след. кривыми: y=j1(x) a £ x £ b y=j2(x) a £ x £ b x=a , x=b, где ф-ции j1 и j2 непрер. на (a,b). Пусть в этой области задаётся функция P(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную:  , тогда имеет место след. равенство: 
Доказательство: Рассмотрим двойной интеграл, стоящий справа в формуле(1). Т.к. под интегралом стоит непрер. функция, то такой двойной интеграл существует, также существует одномерный интеграл и его можно вычислить через повторный: 
Теорема: Пусть задана область Д огран.: 
y=j1(x) с £ x £ d y=j2(x) c £ x £ d x=c , x=d. И пусть в этой области задаётся функция Q(x,y) – непрер. и имеющая непрер. частную производную:  , тогда имеет место след. равенство: 
Cкладываем формулы (1) и (2) и получаем следующую формулу Грина для области Д: 
D P(x,y), Q(x,y)  ,  
Вычисление площадей через крив интеграл
Применим ф. Грина, т.е. выразим его через криволинейный интеграл по границе области. 1. Q = x P = 0 2. Q = 0 P = -y Суммируем 1 и 2 : Пример: Вычислить площадь эллипса  .
Сделаем замену переменных 0 £ t £ 2p 
|
Вопрос №6 Неприрывную кривую назыв. простой кривой (жордановой), если она не имеет точек самопересечения. Областью называется всякое открытое связаное мн-во, т.е. такое мн-во всякая точка кот. явл. внутренней и любые две точки этого мн-ва можно соединить непрерывной кривой все точки кот. принадлежат данному мн-ву. Область называется односвязной областью, если внутренность всякой замкнутой кривой содержит только точки данного мн-ва. Теорема 1. Пусть Д ограниченная односвязная область пл-ти x и y, тогда для того чтобы криволинейный интеграл 
был равен нулю по любой замкнутой кривой ГÌД, (где P(x,y) и Q(x,y) непрерыв. И имеет непрерыв. Частные производ.  и  ) необходимо и достаточно чтобы вып. Такое равенство  = (2)
f(x,y)eД. Док-во: Пусть во всей области Д вып. Равенство (2) и Г произвольная простая замкнутая кривая принадлеж. области Д. Обознач. Через обл. Д1 кот. огранич. Эта кривая Г. Применим к этой области формулу Грина: 
Предположим, что интеграл равен нулю, а равенство (2) не вып. По крайней мере в одной точке (x0 ,y0) e Д 
 
F(x0,y0)>0 , т.к. частные произв. Непрерывны в обл. Д, то ф-ция F(x,y) непрывна в этой обл. , а из этого вытекает , т.к. F(x0,y0)>0, то существует окрестность этой точки такая, что F(x,y)>0 для всех точек лежащих в нутри окр. gr кот. явл. Границей нашей окружности. Множество точек леж. В этой окр. обознач. Д1 и применим к области Д1 ф-лу Грина: 
это показывает, что не сущ. ни одной точки, где бы (2) не выполнялось. | | Вопрос №4 Пусть заданы 2 плоскости с введенными в прямоугольник декартовыми системами координат 
XOY и UOV. Пусть в плоскисти XOY задана область DV ограниченная кривой Г, а в плоскости UOV задана область G ограниченная кривой L Пусть функция  отображает область G в области D, где т.(u,v)e G, а т.(x,y)eD. Будем предпологать , что функции x и y такие, что каждой точке области G соответствует точка области D и причем это соответствие такое, что различным точкам области D соответствуют различные области точки G. Причем всякая точка области D имеет единственный прообраз (u,v) в области G. Тогда существует обратная функции  которая взаимноодназначно отображает область D в области G. Т.к. заданием двух точек U,V одназначно определяют т.(x,y) в области D, то числа U и V принято называть координатами точек в облати D, но уже криволинейными. Будем предпологать, что функции x(U,V) и y(U,V) имеют непрерывные частные производные по своим переменным x’y и y’x, x’v и y’v, тогда определитель функции имеет вид: Принято называть якобианом для функций x(U,V) и y(U,V). Можно показать,что площадь области D задана в плоскости XOY может быть выражена в криволинейных координатах следующим образом:  - прямолинейном интеграле.
 в криволинейных координатах.
Замена переменных. Теорема: Пусть Z=f(x) – непрерывная функция заданая в области D и область D является образом области G через посредства функций  , где функции x(U,V) и y(U,V) непрерывные и имеют непрер. Частные производные, тогда справедлива след. Формула замены переменных в двойном интеграле: 
Док-во: Разорвем обл.G непер. Кривыми на конечное число частичных областей. Тогда согласно формулам отображающим область G в обл. D. Эти кривые обл. G отображ. В некоторые кривые обл. D, т.е. обл. D будет разбита на конечное число (такое же как и обл. G) частичных подобластей. 
Di – подобласти, i=1,2,.,n. В каждой обл. Di выберем т.(x,y)eDi и составим интегральную сумму Римана для двойного интеграла от функции f обл. D. 
Площадь обл. Di выразим в криволинейных координатах 
xi=x(Ui,Vi) yi=y(Ui,Vi) 
И того, что интеграл от функции f(x,y)dxdy сущ., то $ lim sn(f) и этот lim не зависит от выбора точек в обл. Di, но тогда в качестве f(xi,yi) может быть взята точка  
Мы получаем интегральную сумму Римана для интегр., что стоит справа формулы (1), поэтому переходя к lim в следующем равенстве: 
получим ф-лу (1), т.к. суммы стремятся к соответствующему интегралу. | | Вопрос №2 Теорема:Пусть z = f(x,y) – ограниченная функция, заданная на прямоугольнике R = [a,b;c,d], и существует двойной интеграл по этому прямоугольнику  Если для " X [a,b] существует одномерный интеграл 
то $ повторный интеграл 
Доказательство: 
Разобьем отрезки ab и cd отрезками a=x0<x1<.<xn=b, c=y0<y1<.<yn=d. Рассмотрим теперь частичный прямоугольник Rik=[xi,xi+1;yi,yi+1] mik=inf f(x,y) Mik=sup f(x,y) Rik Rik На промежутке [xi;xi+1] возьмём точку x. Будем рас- сматривать точки, лежащие на прямой x = x. Получаем следующее неравенство mik£ f(x;y)£ Mik yk£ y£ yk+1 Проинтегрируем его по отрезку [yk; yk+1] 
Замечание: если же существует двойной интеграл и существует одномерный интеграл 
то существует повторный 
Если же функция f(x;y) такова, что существует двойной интеграл по области R, существуют оба од- номерных J(y) и Ί(x), то одновременно имеют место формулы (1) и (2) 
Например: если f(x;y) непрерывна в области R, то, как известно двойной интеграл, и оба одномерных существуют, а значит, справедлива формула (3) и для вычисления двойного интеграла можно пользоваться одной из формул (1) или (2), а именно выбирая ту или иную, которая даёт более простое решение. |
