Шпора: Шпора по матану

1.Мн-во операций над мн-вами

Мн-во – совокупность объектов, обладающих определенным св-вом.

Пересечением двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих

как мн-ву А, так и мн-ву В.(А={1,2,3}, B={2,5}, AΩB={2}) Объединением

двух мн-в А и В н-ся мн-во С, состоящее из Эл-ов, принадлежащих хотя бы

одному из мн-в А или В.(A={1,2,3}, B={2,5} AuB={1,2,3,5}Разностью С двух мн-в

А и В н-ся мн-во, состоящ. Из Эл-ов мн-ва А и не принадл. В(Разностью мн-ва

целых чисел и мн-ва четных чисел явл. Мн-во нечетных чисел) Если А подмн-во

В, то разность В\А н-ся дополнением А до В. Дополнением мн-ва А н-ся мн-во,

состоящ. Из Эл-ов универсального мн-ва не принадлежащих мн-ву А.

2.Мн-во вещ.чисел, основные св-ва точных граней

Наиболее употребительные числовые мн-ва: N-мн-во натуральных чисел Q-мн-во

рациональных чисел R-мн-во вещественных чисел C-мн-во комплексных чисел

(Cегмент: [a,b]=a<x≤b Полунтервал: (a,b]=x

[a,b)=x [a,+∞)=a≤x<∞

(-∞,a]=xИнтервал: (a,b)=a<x<b

(a,+∞)=a<x<+∞ (-∞,a)=x

R=x=(-∞,+∞) ). Все эти мн-ва н-ся

промежутками a,b –концами промежутков. [a,b],(a,b),[a,b),(a,b] – конечные

промежутки, остальные-бесконечные!

+можно взять из 3 вопроса

3.Грани числовых мн-в, св-во граней

Пусть Х – непустое мн-во веществ. чисел.

верхнюю грань то она имеет их бесчисленное мн-во.

Пример X=R+ - ограничено снизу, но не сверху, значит не ограничено.

Точные грани числовых мн-в

Пусть мн-во Х ограничено сверху, если

это мн-во содержит макс число, т.е. наименьшую из своих верхних граней, то это

число назся макс мн-ва Х и обозначается Х*=maxX. Если мн-во содержит мин число

Х* , то оно min мн-ва Х

Пример Х=[0,1) то max[0,1) не $.

min [0,1)=0

уменьшении Х* получ. число перестает быть верх. гранью мн-ва.

Верхн.

грань – supX=x*, а нижн. грань infX=x*

верх(ниж) грань.

Док-во: Пусть Х непустное мн-во, ограниченное сверху. Тогда Y- мн-во чисел,

ограничивающих мн-во Х сверху, не пусто. Из определения верхней грани

следует, что для любого х€Х и y€Y любого выполняется нер-во х≤у. В силу

св-ва непрерывности вещ.чисел существует такое с, что для любых х и у

выполняется нер-во х≤с≤у. Из первого нер-ва следует, что число с

ограничивает мн-во Х сверху, т.е. является верхней гранью. Из второго нер-ва

следует, что число ч явл.наименьшим из таких чисел,т.е. явл точной

верхн.гранью. Теорема док-на. Аналогична теорема о т.н.г

5.Числовые последовательности, действия над ними

Если для каждого нат. числа n определено некоторое правило сопоставляющее ему

число xn, то мн-во чисел х1,х2, . ,хn, .(1,2,3,n –внизу) наз-ся числовой

последовательностью и обозначается {xn}, причем числа образующие данную посл-

ть наз-ся ее эл-ми, а эл-т хn общим эл-том посл-ти . Над числовыми

последовательностями можно выполнять след. Арифметические операции:

произведение, сумма, разность, произведением на число, частное.

6.Огранич и неогранич пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся огран. сверху(снизу), если найдется какое-нибудь число {xn}

M(m) xn£M "n (xn³m "n) посл-ть наз-ся огранич., если она огранич.

сверху и снизу.

Посл-ть {xn} наз-ся неогранич., если для любого полного числа А сущ-ет эл-т хn

этой посл-ти, удовлетворяющий неравенству ½xn½>А.

7. Б-м и б-б пос-ти: опр, осн. Св-ва, связь между ними

Пос-ть Xn н-ся б-б, если для любого положительного числа А существует номер N

такой, что при всех n>N выполняется нер-во |Xn|>A, т.е.

("A>0)($N=N(A))("n>N):|Xn|>A Любая б-б пос-ть явл. неограниченной.

Однако неограниченная пос-ть может и не быть б-б.

Пос-ть {An} н-ся б-м, если для любого положительного числа ε (сколь бы

малым мы его ни взяли) существует номер N=N(ε) такой, что при всех n>N

выполняется нер-во |An|< ε, т.е. ("ε>0)($N=N(ε))(

"n>N):|An|< ε

Св-ва: 1.Если {Xn} б-б пос-ть и все ее члены отличны от нуля, то по-сть

{1\Xn} б-м и обратно. 2.Сумма и разность двух б-м пос-тей есть б-м пос-ть.

(следствие: алгебраическая сумма любого конечного числа б-м постей есть б-м

пость.) 3.Произведение двух б-м постей есть б-м пость.4. Произведение

ограниченной пости на бесконечно малую пость есть пость б-м.

8.Понятие сходящихся постей, lim пости.

Опр Если для любого e >0 найдется такой номер N, для любого n

>N:½xn-a½< e

Все посл-ти имеющие предел наз-ся сходящимися, а не имеющее его наз-ся

расходящимися.

Опр Число а н-ся пределом пости Xn для любой точки окрестности а, сущ. N=N(e),

такой, что все Эл-ты Xn с номерами n>N находятся в этой e-окрестности.

9.Основные св-ва сход. Постей

Теорема «Об единственности пределов»

Если посл-ть xn сходится, то она имеет единственный предел. Док-во (от

противного)

{xn} имеет два разл. Предела a и b, а¹b. Тогда согласно определению

пределов любая из окрестностей т. а содержит все эл-ты посл-ти xn за

исключением конечного числа и аналогичным св-вом обладает любая окрестность в

точке b. Возьмем два радиуса e= (b-a)/2, т.к. эти окрестности не

пересекаются, то одновременно они не могут содержать все эл-ты начиная с

некоторого номера. Получим противоречие теор. док-на.

Теорема «Сходящаяся посл-ть ограничена»

Пусть посл-ть {xn}®а e >о N:"n>N½xn-a½<e эквивалентна

а-e<xn<a+e "n>N => что каждый из членов посл-ти удовлетворяет

неравенству½xn½£ c = max

{½a-e½,½a+e½,½xn½,.,½xn-1½}

Теорема «Об арифметических дейсьвиях»

Пусть посл-ть {xn}®a,{yn}®b тогда арифметические операции с этими посл-тями

приводят к посл-тям также имеющие пределы, причем:

а) предел lim(n®¥)(xn±yn)=a±b

б) предел lim(n®¥)(xn*yn)=a*b

в) предел lim(n®¥)(xn/yn)=a/b, b¹0

Док-во: а)xn±yn=(а+an)±(b+bn)=(a±b)+(an±bn) Правая часть полученная в

разности представляет сумму числа a+b б/м посл-тью, поэтому стоящая в левой

части xn+yn имеет предел равный a±b. Аналогично др. св-ва.

б) xn*yn=(а+an)*(b+bn)=ab+anb+abn+anbn

an*b – это произведение const на б/м

а*bn®0, anbn®0, как произведение б/м.

=> поэтому в правой части стоит сумма числа а*b+ б/м посл-ть. По т-ме О связи

сходящихся посл-тей в б/м посл-ти в правой части xn*yn сводится к a*b

10. Предельный переход в нер-вах.

11. Монотонные пос-ти

Посл-ть {xn} наз-ся возр., если x1<.<xn<xn+1<.;

неубывающей, если x1£x2£.£xn£xn+1£.; убывающей,

если x1>x2>.>xn>xn+1>.; невозр., если

x1³x2³.³xn³xn+1³.

Все такие посл-ти наз-ся монотонными. Возр. и убыв. наз-ся строго монотонными

Монотонные посл-ти ограничены с одной стороны, по крайней мере. Неубывающие

ограничены снизу, например 1 членом, а не возрастыющие ограничены сверху.

12. Число е

Рассмотрим числ. посл-ть с общим членом xn=(1+1/n)^n (в степени n)(1) .

Оказывается, что посл-ть (1) монотонно возр-ет, ограничена сверху и сл-но

явл-ся сходящейся, предел этой пос-ти наз-ся экспонентой и обозначается

символом е»2,7128.

Док-ем формулу lim(n->∞)(1+1/n)^n(в степени n)=е

yN=; zN=yN +

1) yN монотонно растет

2) yN<zN

3) zN-yN®0

4) zN монотонно убывает

Доказателство:

zN-zN+1 = yN + - yN+1 -= +-=

2=y1<yN<zN<z1=3

e = Lim yN = Lim zN - по лемме о вложенных

промежутках имеем: yN<e<zN = yN +

1/(n*n!)

Если через qN обозначить отношение разности e - yN

к числу 1/(n*n!), то можно записать e - yN = qN

/(n*n!), заменяя yN его развернутым выражением получаем e = y

N + qN/(n*n!), qÎ(0,1)

Число e иррационально:

Доказательство(от противного): Пусть e=m/n, mÎZ, nÎN

m/n = e = yN + qN/(n*n!)

m*(n-1)!= yN*n! + qN/n, где (m*(n-1)! & yN*n!)ÎZ, (qN/n)ÏZ => противоречие

13. Th о вложенных промежутках

Пусть на числовой прямой задана посл-ть отрезков [a1,b1],[a2,b2],.,[an,bn],.

Причем эти отрезки удовл-ют сл. усл.:

1) каждый посл-щий вложен в предыдущий, т.е. [an+1,bn+1]Ì[an,bn],

"n=1,2,.;

2) Длины отрезков ®0 с ростом n, т.е. lim(n®¥)(bn-an)=0. Посл-ть с

указанными св-вами наз-ют вложенными.

Теорема Любая посл-ть вложенных отрезков содержит единную т-ку с

принадлежащую всем отрезкам посл-ти одновременно, с общая точка всех отрезков

к которой они стягиваются.

14.Понятие ф-ии, способы задания, классификация

17. Первый замечательный предел

Доказательство: докажем для справедливость неравенства

В силу четности входящих в неравенство ф-ий, докажем это неравенство на

промежутке

Из рисунка видно, что площадь кругового сектора

, так как х>0, то ,

2. следовательно, что

1. Покажем, что

2. Докажем, что

3. Последнее утверждение:

Страницы: 1, 2, 3