на тему рефераты Информационно-образоательный портал
Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,
на тему рефераты
на тему рефераты
МЕНЮ|
на тему рефераты
поиск
Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры

1. Функция, ОДЗ

Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У

называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие

значение из У.

Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются

подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область

определения функции - множество возможных значений, которые может принимать

аргумент.

Графиком функции с областью определения называется множетсво точек

Г=xÎX.

2. Свойства функции.

1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно

нуля и f(-x)=f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной.

Если

f(-x)= - f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной.

Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.

2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для

любого х1 и х2 из области определения функции (х1

<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)

Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2

из области определения функции (х1>х2) выполняется

неравенство f(x1)>f(x2).

Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.

3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором

промежутке , если существует М>0, MÎR|"xÎданному промежутку

|f(x)|£M.

Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR

|"xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется

ограниченной сверху, если существует mÎR |"xÎданному промежутку

m³f(x).

4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с

периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).

3. Обратная функция.

Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что

различным значениям х1 и х2 соответствуют различные

значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого

уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает

отображение f-1: У®Х. Это отображение называется обратным.

График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и

третьей координатной четверти.

4. Сложная функция.

Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t),

[tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с

областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее

правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)).

Это правило называется сложной функцией.

5. Основные элементарные функции.

1. Степенная. y=xa, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.

Шпора: Шпоры 2. Показательная. y=ax

, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно,

функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.

3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥),

E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1),

функция убывает.

4. Тригонометрические.

5. Обратные тригонометрические.

6. Предел функции

Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х

0 )называют число а, если для любой последовательности { хn}

значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0

) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в

виде:

(*)

Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0

есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает

следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0

, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.

7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х0, если

Шпора: Шпоры

и бесконечно большой при х →х0 , если

Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х

→х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х

→х0).

2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова

бесконечно малая функция.

8. Свойства предела функции.

1. Функция f(x) в точке х0 может иметь только один предел.

Доказательство: Пусть (1)

и одновременно

где a≠b.

(2)

Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0

(где все хn≠ х0), мы должны иметь два предела

Шпора: Шпоры Шпора: Шпоры

что невозможно, т.к. последовательность {f(хn)} может иметь только один предел.

2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки

функция ограничена.

Доказательство. Предположим, что это не так. U1=( х

0-ε ; х0+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности

f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1Î U1

, такая что │f(х1)│>1. Уменьшим вдвое эту

окрестность и рассмотрим U2=( х0-ε/2 ; х0

+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2

Î U2 , такая что │f(х2)│>2.

Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-ε/n ; х

0+ε/n) , f(хn) > n, хn → х

0 ; f(хn)→∞. мы пришли к противоречию.

3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется

неравенство f(x) ≥b , то и

если такой предел существует.

(доказывается по соответствующему свойству предела числовой

последовательности).

Шпора: Шпоры 4.Если в некоторой окрестности

точки х0 имеем f(x)≥g(x) , то и

если пределы существуют.

Шпора: Шпоры 5. Если в некоторой окрестности

точки х0 имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы

f(x) и h(x) при х→ х0 существуют и равны между собой

Арифметические свойства пределов.

Шпора: Шпоры Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры

9. Односторонние пределы.

Шпора: Шпоры Опр.Число а называют пределом

функции f(x)в точке х0 справа, если для любой

сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все х

n>х0, соответствующая последовательность {f(хn)}

сходится к а.

Шпора: Шпоры

Аналогично определяют предел функции слева:

10. Асимптоты функций.

Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя

бы один из пределов

Шпора: Шпоры

Шпора: Шпоры Прямая у=кх+b является наклонной

асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x)

представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где

Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел

х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы

существовали два предела

Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.

11 Монотонные функции.

Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х

принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых

значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))

Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х

принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых

значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:

f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))

Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.

Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.

12. Замечательные пределы.

1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.

Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при

х→0 справа равен 1.

Шпора: Шпоры

T

M

tgx

x

K A

O

MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,

1<x/ sinx<1/cosx

1>sinx/x>cosx

при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое

равенство.

2) lim (1+1/x)x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.

Док-во.

Докажем

1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы

выполнялось нер-во:

n ≤ x< n+1 (1)

Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим:

1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)

Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)n+1≥

(1+1/x)x> (1+1/(n+1))n или f(x) ≥(1+1/x)

x>g(x). При х→+∞ ,n →+∞, f(x) и g(x)→е.

По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x →е(при х→+∞),

что и т.д.

2) при -∞. Пусть х=-t, где t>0.

(1+1/x)x=(1-1/t)-t =((t-1)/t)-t

=(t/(t-1))t =(1+1/(t-1))t =(1+1/(t-1))t-1

(1+1/(t-1))x Выражение в правой части →е*1=е при

х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.

13. Формула непрерывных процентов.

К0-исходный капитал.

Р- номинальная процентная ставка.

к- число периодов начисления .

Пусть к=1, тогда К=К0*(1+р/100)

к=2, К=К0(1+р/2*100)2

. к=360, К=К0(1+р/360*100)360 .,т.е. К=К0(1+р/к*100)к

→К0*ер/100 при к →∞(это случай, если начисление

процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов

производится на протяжении нескольких лет – t, то, разделив промежуток [0;t] на

к равных периодов начисления процентов, получим (к→∞):

К0lim (1+рt/100*к)к= К0*ерt/100

К=К0*ерt/100-формула непрерывных процентов.

14 Непрерывность функции в точке.

y = f(x), x0 Î D(f)

Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0,

называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x

0 существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x0)

Шпора: Шпоры X ®Xo

y y = f(x) x » x0;

f(x) » f(x0)

F(x0) y

Шпора: Шпоры

x0 x Δy

x - x0 = Δx

f(x) – f(x0) = Δy

Шпора: Шпоры

x x0

Δx x

f(x) непрерывна в точке x0 Û lim Δy = 0

ΔX ® O

Свойства функций непрерывных в точке

1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)•

g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x0.

Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x0

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12



© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.