Шпора: Шпоры
1. Функция, ОДЗ
Пусть заданы 2 множества Х,У функцией или отображением из Х в У
называется правило, по которому каждому значению их Х ставится в соотвествие
значение из У.
Числовые функции характеризуются тем, что оба множества Х и У являются
подмножествами множества действительных чисел (или совпадают с ними). Область
определения функции - множество возможных значений, которые может принимать
аргумент.
Графиком функции с областью определения называется множетсво точек
Г=xÎX.
2. Свойства функции.
1. Чётность. Если облать определения функции симметричня относительно
нуля и f(-x)=f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется чётной.
Если
f(-x)= - f(x) "xÎD(f), то функция у=f(x) называется нечётной.
Если не выполняется ни первое, ни второе условие, то функция обшего вида.
2. Монотонность. функция у=f(x) – возрастающая , если для
любого х1 и х2 из области определения функции (х1
<х2) выполняется неравенство f(x1)<f(x2)
Функция у=f(x) – убывающая, если для любого х1 и х2
из области определения функции (х1>х2) выполняется
неравенство f(x1)>f(x2).
Возрастающие или убывающие функции называются монотонными.
3. Ограниченность. Функция у=f(x) называется ограниченной на некотором
промежутке , если существует М>0, MÎR|"xÎданному промежутку
|f(x)|£M.
Функция у=f(x) называется ограниченной снизу, если существует mÎR
|"xÎданному промежутку m£f(x). Функция у=f(x) называется
ограниченной сверху, если существует mÎR |"xÎданному промежутку
m³f(x).
4. Периодичность. Функция у=f(x) называется периодической с
периодом Т не равным нулю, если выволняется условие f(x+ - T)=f(x).
3. Обратная функция.
Пусть Функция у=f(x) задана на множестве Х=D(f) и Y=E(f). Предположим, что
различным значениям х1 и х2 соответствуют различные
значения функции f(x1) и f(x2). Тогда для любого
уÎУ мы сможем поставить в соответсвие хÎХ| y=f(x). Получает
отображение f-1: У®Х. Это отображение называется обратным.
График прямой и обратной функции симметричен относительно биссектрисы первой и
третьей координатной четверти.
4. Сложная функция.
Пусть заданы две функции t=h(x), [xÎD(h), T=E(h)] и y=g(t),
[tÎT=D(g), Y=E(g)] (область определения одной функции совпадает с
областью значений другой функции и наоборот) Тогда справедливо следующее
правило: из любого хÎХ по правилу ставится в соответствие y=g(h(x)).
Это правило называется сложной функцией.
5. Основные элементарные функции.
1. Степенная. y=xa, a=const, aÎR. D(f)=(0;+¥). Если aÎNÞD(f)=R.
2. Показательная. y=ax
, a>0,a не равно 1. D(f)=R/ E(f)=(0;+¥). Если a>1, следовательно,
функция возрастает. Если аÎ(0;1), функция убывает.
3. Логарифмическая. y=logax, a>0, a не равно 1. D(f)=(0;+¥),
E(f)=R. Если a>1, следовательно, функция возрастает. Если аÎ(0;1),
функция убывает.
4. Тригонометрические.
5. Обратные тригонометрические.
6. Предел функции
Опр. Пределом функции у=f(x) в точке х0 (или при х →х
0 )называют число а, если для любой последовательности { хn}
значений аргумента , сходящейся к (при этом все хn≠ х0
) последовательность значений функции сходится к пределу а. Это записывают в
виде:
(*)
Аналогично определяеся предел при х →∞ (случаи когда х0
есть +∞ или -∞). А именно, равенство (*) во всех случаях означает
следующее: для любой последовательности { хn}, сходящейся к х0
, соответствующая последовательность {f(хn)} сходится к а.
7. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Опр. Функция f(x) наз.бесконечно малой при х →х0, если
и бесконечно большой при х →х0 , если
Справедливы теоремы. 1.Сумма и произведение двух бесконечно малых функций (при х
→х0) снова являются бесконечно малыми функциями (при х
→х0).
2.Произведение бесконечно малой функции на ограниченную есть снова
бесконечно малая функция. 8. Свойства предела функции.
1. Функция f(x) в точке х0 может иметь только один предел.
Доказательство: Пусть (1)
и одновременно
где a≠b.
(2)
Тогда для любой последовательности { хn} сходящейся к х0
(где все хn≠ х0), мы должны иметь два предела
что невозможно, т.к. последовательность {f(хn)} может иметь только один предел.
2.Если f(x) имеет предел в точке, то в некоторой окрестности этой точки
функция ограничена.
Доказательство. Предположим, что это не так. U1=( х
0-ε ; х0+ε), ε>0 . Ввиду неограниченности
f(x) в этой окрестности должна найтись точка х1Î U1
, такая что │f(х1)│>1. Уменьшим вдвое эту
окрестность и рассмотрим U2=( х0-ε/2 ; х0
+ε/2), ε>0 окрестность, в ней снова найдется такая точка х2
Î U2 , такая что │f(х2)│>2.
Продолжив это рассуждение, получим Un=( х0-ε/n ; х
0+ε/n) , f(хn) > n, хn → х
0 ; f(хn)→∞. мы пришли к противоречию.
3.Если для всех точек х некоторой окрестности точки х0 выполняется
неравенство f(x) ≥b , то и
если такой предел существует.
(доказывается по соответствующему свойству предела числовой
последовательности).
4.Если в некоторой окрестности
точки х0 имеем f(x)≥g(x) , то и
если пределы существуют.
5. Если в некоторой окрестности
точки х0 имеем f(x)≥g(x)≥h(x) причем пределы
f(x) и h(x) при х→ х0 существуют и равны между собой
Арифметические свойства пределов.
9. Односторонние пределы.
Опр.Число а называют пределом
функции f(x)в точке х0 справа, если для любой
сходящейся к х0 последовательности {хn}, в которой все х
n>х0, соответствующая последовательность {f(хn)}
сходится к а.
Аналогично определяют предел функции слева:
10. Асимптоты функций.
Прямая у=а называется вертикальной асимптотой графика у=f(x) , если хотя
бы один из пределов
Прямая у=кх+b является наклонной
асимптотой графика у=f(x) при х→+∞, если f(x)
представима в виде f(x)= кх+b+α(х), где
Теорема. Для того чтобы график функции у=f(x) имел
х→+∞ наклонную асимптоту , необходимо и достаточно, чтобы
существовали два предела
Аналогично определяется наклонная асимптота для случая х→-∞.
11 Монотонные функции.
Функция y=f(x) называется возрастающей (убывающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2, принадлежащим Х, из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)<f(x2) (f(x1) >f(x2))
Функция y=f(x) называется неубывающей (невозрастающей) на некотором множестве Х
принадл. R1, если она определена на этом множестве и если для любых
значений х1, х2 принадлежащим Х из условия х1<х2 следует нер-во:
f(x1)≤f(x2) (f(x1) ≥f(x2))
Невозрастающие, неубывающие, возрастающие и убывающие ф-и наз. Монотонными.
Любая ограниченная монотонная функция имеет предел.
12. Замечательные пределы.
1) lim f(x)sinx/x =1(при х→0) – первый замечательный предел.
Док-во. Т.к. ф-я y= sinx – четная, то достаточно показать, что предел при
х→0 справа равен 1.
T
M
tgx
x
K A
O
MK= sinx Видно, что sinx<x<tgx,
1<x/ sinx<1/cosx
1>sinx/x>cosx
при х→0 справа имеем lim cosx=1, lim 1=1. Значит получили требуемое
равенство.
2) lim (1+1/x)x =e(х→+ (-)∞) – второй замечательный предел.
Док-во.
Докажем
1)при +∞. Пусть х – любое число. Найдем такое целое n, чтобы
выполнялось нер-во:
n ≤ x< n+1 (1)
Будем считать, что х>1,n>0. Сделав необходимые преобразования, получим:
1+1/ n ≥ 1+1/x> 1+1/(n+1)
Зная условие (1), можем получить: (1+1/ n)n+1≥
(1+1/x)x> (1+1/(n+1))n или f(x) ≥(1+1/x)
x>g(x). При х→+∞ ,n →+∞, f(x) и g(x)→е.
По св- ву предела ф-и lim (1+1/x)x →е(при х→+∞),
что и т.д.
2) при -∞. Пусть х=-t, где t>0.
(1+1/x)x=(1-1/t)-t =((t-1)/t)-t
=(t/(t-1))t =(1+1/(t-1))t =(1+1/(t-1))t-1
(1+1/(t-1))x Выражение в правой части →е*1=е при
х→-∞, т.е. t →+∞, что и т.д.
13. Формула непрерывных процентов.
К0-исходный капитал.
Р- номинальная процентная ставка.
к- число периодов начисления .
Пусть к=1, тогда К=К0*(1+р/100)
к=2, К=К0(1+р/2*100)2
. к=360, К=К0(1+р/360*100)360 .,т.е. К=К0(1+р/к*100)к
→К0*ер/100 при к →∞(это случай, если начисление
процентов производится в течение одного года). Когда начисление процентов
производится на протяжении нескольких лет – t, то, разделив промежуток [0;t] на
к равных периодов начисления процентов, получим (к→∞):
К0lim (1+рt/100*к)к= К0*ерt/100
К=К0*ерt/100-формула непрерывных процентов.
14 Непрерывность функции в точке.
y = f(x), x0 Î D(f)
Функция f(x), определенная в некоторой окрестности точки х0,
называется непрерывной в этой точке, если предел функции в точке x
0 существует и равен значению в этой точке: lim f(x) = f(x0)
X ®Xo
y y = f(x) x » x0;
f(x) » f(x0)
F(x0) y
x0 x Δy
x - x0 = Δx
f(x) – f(x0) = Δy
x x0
Δx x
f(x) непрерывна в точке x0 Û lim Δy = 0
ΔX ® O
Свойства функций непрерывных в точке
1)Если f(x), g(x) – непрерывны в точке x0, то f(x) ± g(x); f(x)•
g(x); f(x)/g(x) (g(x) ≠ 0) – также непрерывны в точке x0.
Докажем, что F(x) = f(x)•g(x) непрерывна в точке x0
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
|