Оптимальные и адаптивные системы

При [pic] - корни вещественные

[pic]

[pic]

Сумма двух экспонент представляет собой:

[pic]

Если [pic], то корни комплексно-сопряженные и решение будет

представлять собой периодическую функцию. В реальной системе, переключений

не более 5 - 6.

3. Метод поверхности переключений

Данный метод позволяет найти управление функций переменной

состояния для случая когда оптимальное управление носит релейный

характер

[pic].

Таким образом этот метод можно применять при решении задач

оптимального быстродействия, для объекта с аддитивным управлением

[pic],

[pic].

Суть метода заключается в том, чтобы во всём пространстве

состояний выделить точки, где происходит смена знака управления и

объединить их в общую поверхность переключений.

[pic],

[pic] - поверхность переключений

[pic].

Закон управления будет иметь следующий вид

[pic].

Для формирования поверхности переключений удобнее рассматривать

переход из произвольной начальной точки в начало координат

[pic].

Если конечная точка не совпадает с началом координат, то необходимо

выбрать новые переменные, для которых это условие будет справедливо.

Имеем объект вида

[pic].

Рассматриваем переход [pic], с критерием оптимальности

[pic].

Этот критерий позволяет найти закон управления такого вида

[pic],

с неизвестным [pic], начальные условия [pic] нам также неизвестны.

Рассматриваем переход:

[pic]

Метод обратного времени

(метод попятного движения)

Этот метод позволяет определить поверхности переключений.

Суть метода заключается в том, что начальная и конечная точки

меняются местами, при этом вместо двух совокупностей начальных условий

остаётся одна для [pic].

Каждая из этих траекторий будет оптимальна. Сначала находим

точки, где управление меняет знак и объединяем их в поверхность, а

затем направление движения меняем на противоположное.

[pic]

Пример

Передаточная функция объекта имеет вид

[pic].

Критерий оптимальности быстродействия

[pic]

Ограничение на управление [pic].

Рассмотрим переход

[pic].

1)

[pic],

2)

[pic].

3)

[pic]

оптимальное управление будет иметь релейный характер

[pic].

4) Перейдём в обратное время (т.е. [pic]). В обратном времени задача

будет иметь такой вид

[pic].

5) Рассмотрим два случая:

1. [pic]

Получим уравнения замкнутой системы

[pic].

Воспользуемся методом непосредственного интегрирования, получим

зависимость [pic] от [pic] и поскольку [pic]-[pic], то имеем

[pic],

т.к. начальные и конечные точки поменяли местами, то [pic], [pic] получим

[pic],

(*)

аналогично

[pic]

[pic]

подставив (*), получим

[pic],

отсюда

[pic].

Построим получившееся и по методу фазовой плоскости определим направление

[pic]

2. [pic]

[pic]

Применив метод непосредственного интегрирования, получим:

[pic] [pic] [pic],

[pic] [pic] [pic],

[pic].

Функция будет иметь вид:

[pic]

Изменив направление

[pic]

точка смены

знака

(точка

переключения)

Общее аналитическое выражение:

[pic].

Уравнение поверхности:

[pic].

Оптимальный закон управления:

[pic],

подставив уравнение поверхности, получим:

[pic].

2.5. Субоптимальные системы

Субоптимальные системы - это системы близкие по свойствам к

оптимальным

[pic]

[pic]- характеризуется критерием оптимальности.

[pic]

[pic] - абсолютная погрешность.

[pic]- относительная погрешность.

Субоптимальным называют процесс близкий к оптимальному с заданной

точностью.

Субоптимальная система - система где есть хоть один субоптимальный

процесс.

Субоптимальные системы получаются в следующих случаях:

1. при аппроксимации поверхности переключений (с помощью кусочно-

линейной аппроксимации, аппроксимация с помощью сплайнов);

[pic]

при [pic] в субоптимальной системе будет возникать оптимальный

процесс.

[pic]

2. ограничение рабочей области пространства состояний;

[pic]

[pic]