|
Билеты: Алгебра и Начало анализа |
- Для облегчения запоминания приведенных формул нужно использовать
следующие правила:
a) при переходе от функций углов
, к функциям угла
название функции изменяют: синус на косинус, тангенс на котангенс и
наоборот;
при переходе от функций углов
, к функциям угла
название функции сохраняют;
б) считая острым углом
(т. е. ), перед
функцией угла ставят
такой знак, какой имеет приводимая функ-ция углов
, ,
.
Все вышеприведенные формулы можно получить, пользуясь следующим правилом:
Любая тригонометрическая функция угла 90°n +
по абсолютной величине равна той же функции угла
, если число n - четное, и дополнительной функции, если число n - нечетное. При
этом, если функция угла 90°n + .
положительна, когда - острый
угол, то знаки обеих функций одинаковы, если отрицательна, то различны.
№ 16
- Формулы косинуса суммы и разности двух аргументов:
Рис.1 Рис.2
Повернем радиус ОА, равный R, около точки О на угол
и на угол (рис.1).
Получим радиусы ОВ и ОС. Найдем скалярное произведение векторов
и . Пусть координаты
точки В равны х1 и y1, координаты точки С равны х
2 и y2. Эти же координаты имеют соответственно и векторы
и . По определению
скалярного произведения векторов:
= х1х2 + y1y2. (1)
Выразим скалярное произведение
через тригонометрические функции углов
и . Из определения
косинуса и синуса следует, что
х1 = R cos , y1 = R sin , х2 = R cos , y2 = R sin .
Подставив значения х1, х2, y1, y2 в правую часть равенства (1), получим:
= R2cos cos + R2sin sin = R2(cos cos + sin sin).
С другой стороны, по теореме о скалярном произведении векторовимеем:
= cos BOC = R2cos BOC.
Угол ВОС между векторами и
может быть равен -
(рис.1), - (
- ) (рис.2) либо
может отличаться от этих значений на целое число оборотов. В любом из этих
случаев cos BOC = cos (
- ). Поэтому
= R2 cos ( - ).
Т.к. равно также R2(cos cos + sin sin), то
cos( - ) = cos cos + sin sin.
cos( + ) = cos( - (-)) = cos cos(-) + sin sin(-) = cos cos - sin sin.
Значит,
cos( +
) = cos cos
- sin sin
.
- Формулы синуса суммы и разности двух аргументов:
sin( +
) = cos( /2 - (
+ )) = cos((
/2 - ) -
) = cos( /2 -
) cos + sin(
/2 - ) sin
= sin cos
+ cos sin
.
Значит,
sin( + ) = sin cos + cos sin.
sin( - ) = sin( + (-)) = sin cos(-) + cos sin(-) = sin cos - cos sin.
Значит,
sin( - ) = sin cos - cos sin.
№ 17
Формулы двойных углов
Формулы сложения позволяют выразить sin 2
, cos 2, tg 2
, ctg 2 через тригонометрические
функции угла .
Положим в формулах
sin( + ) = sin cos + cos sin ,
cos( + ) = cos cos - sin sin ,
,
.
равным . Получим тождества:
sin 2 = 2 sin cos ;
cos 2 = cos2 - sin2 = 1 - sin2 = 2 cos2 - 1;
; .
№ 18
Формулы половинного аргумента
- Выразив правую часть формулы cos 2
= cos2 - sin
2 через одну
тригонометрическую функцию (синус или косинус), придем к соотношениям
cos 2 = 1 - sin2 , cos 2 = 2 cos2 - 1.
Если в данных соотношениях положить = /2, то получим:
cos = 1 - 2 sin2
/2, cos 2 = 2 cos2
/2 - 1. (1)
- Из формул (1) следует, что
(2),
(3).
- Разделив почленно равенство (2) на равенство
(3), получим
(4).
-
В формулах (2), (3) и (4) знак перед радикалом зависит от того, в какой
координатной четверти находится угол
/2.
- Полезно знать следующую формулу:
.
№ 19
Формулы суммы и разности синусов, косинусов
Сумму и разность синусов или косинусов можно представить в виде произведения
тригонометрических функций. Формулы, на которых основано такое
преобразование, могут быть получены из формул сложения.
Чтобы представить в виде произведения сумму sin
+ sin , положим
= x + y и = x - y и
воспользуемся формулами синуса суммы и синуса разности. Получим:
sin + sin
= sin (x + y) + sin (x - y) = sinx cosy + cosx siny + sinx cosy - cosx siny =
2sinx cosy.
Решив теперь систему уравнений =
x + y, = x - y относительно x
и y, получим х = , y =
.
Следовательно,
sin + sin = 2 sin cos .
Аналогичным образом выводят формулы:
sin -sin = 2 cos sin ;
cos + cos = 2 cos cos ;
cos + cos = -2 sin sin .
№ 20
Чтобы найти решение приведенного квадратного уравнения x2 + p
x + q = 0, где ,
достаточно перенести свободный член в правую часть и к обеем частям равенства
прибавить . Тогда левая часть
станет полным квадратом, и мы получаем равносильное уравнение
= - q .
Оно отличается от простейшего уравнения x2 = m только внешним
видом: стоит вместо x
и - q - вместо m
. Находим =
. Отсюба х = -
. Эта формула показывает, что всякое квадратное уравнение имеет два корня. Но
эти корни могут быть и мнимыми, если
< q . Может также оказаться, что оба корня квадратного уравнения
равны между собой, если =
q . Возращаемся к обычному виду
.
1. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x2 + px +
q = 0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а
произведение корней равно свободному члену, т.е. х1 + х2
= -р, а х1х2 = q .
2. Теорема, обратная теореме Виета. Если р, q, х1, х
2 таковы, что х1 + х2 = -р и х1х
2 = q , то х1 и х2 - корни уравнения x2
+ px + q = 0.
№ 21
Опр. Логарифмом числа b по основанию а называется показатель степени, в
которую нужно возвести основание а, чтобыполучить число b.
Формулу (где b > 0, a > 0 и a 1) называют основным логарифмическим тождеством.
Свойства логарифмов:
- ;
- ;
- Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей:
.
Для доказательства воспользуемся основным логарифмическим тождеством:
x = , y = .
Перемножим почленно эти равенства, получаем:
xy = = .
Следовательно, по определению логарифма (п.3) доказан.
- Логарифм
частного равен логарифму делимого без логарифма делителя:
.
Ход доказательства аналогичен доказательству п.3
- Логарифм
степени равен произведению показателя степени на логарифм ее основания:
.
При доказательстве, также необходимо воспользоваться основным
логарифмическим тождеством.
№ 22
- Производной функции f(x) в точке х0 называется предел
отношения приращения
функции в точке х0 к приращению
аргумента, когда последнее стремится к нулю. Это можно записать так:
.
- Из определения производной следует, что функция может иметь
производную в точке х0 только в том случае, если она определена
в некоторой окрестности точки х0, включая эту точку.
-
Необходимым условием существования производной функции в данной точке
является непрерывность функции в этой точке.
- Существование
производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию
(невертикальной) касательной в точке (х0 ; f(х0))
графика, при этом угловой коэффициент касательной равен
. В этом состоит геометрический смысл производной.
-
Механический смысл производной f '(x) функции у = f(x) - это скорость
изменения функции в точке х. Поэтому при решении прикладных задач следует
помнить, что какой бы процесс ни описывался изучаемой функцией у = f(x)
производную с физической точки зрения можно представить как скорость, с
которой протекает процесс.
№ 23
- Производная суммы равна сумме производных, если они существуют:
.
- Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0 то их
производные дифференцируемы в этой точке и
.
- Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0, а
С - постоянная, то функция Cu дифференцируема в этой точке и
.
- Если
функция u и v дифференцируемы в точке х0 и
функция v не равна нулю в этой точке, то частное двух функций тоже
дифференцируемо в точке х0 и
.
Страницы: 1, 2
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|