|
|
| Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц |
Диплом: О некоторых применениях алгебры матриц
МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КАБАРДИНО-БАЛКАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. Х.М. Бербекова
Математический факультет
Кафедра геометрии и высшей алгебры
Лакунова Залина
Дипломная работа
«О некоторых применениях алгебры матриц»
Научный руководитель:
д.ф.-м.н.,проф.каф. Г и В А
/В.Н.Шокуев /
Рецензент:
к.ф.-м.н.,доцент
/В.М.Казиев/
Допущена к защите
2002г.
Заведующий кафедрой
к.ф.-м.н.,доцент
/А.Х.Журтов/
Нальчик 2002
Оглавление
стр.
Введение 3
§1. О правиле Крамера 4
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел 9
§3. Матричный вывод формулы Кардано 17
Литература 21
Отзыв
О дипломной работе «О некоторых применениях алгебры матриц».
Студентки 6 курса МФ специальности «математика» Лакуновой З.
В данной дипломной работе рассматривается новые применения матриц в теории
систем линейных уравнений, теории чисел и теории алгебраических уравнений
малых степеней.
В §1 дается новый (матричный) вывод правила Крамера для решения любых
квадратных систем линейных уравнений с неравным нулю определителем.
В §2 получено тождество (1) , которое используется для доказательства
некоторых теоретико-числовых фактов (предложения 1-4); при этом основную
роль играют матрицы- циркулянты и их определители. Здесь попутно доказана
теорема о среднем арифметическом и среднем геометрическом трех положительных
чисел.
В §3 дается новый вывод правила Кардано для решения кубических уравнений;
его можно назвать «матричным выводом» , поскольку он опирается на свойства
циркулянта (третьего порядка).
Считаю, что результаты получения в дипломной работе студентки Лакуновой З.
удовлетворяют требованиям, предъявляемым к дипломным работам, и могут быть
допущены к защите.
Предварительная оценка – «хорошо»
д.ф.-м.н., проф.каф. Г и ВА /В.Н.Шокуев/
§1. О правиле Крамера
В литературе известны разные способы решения Крамеровой системы линейных
алгебраических уравнений. Один из них – матричный способ – состоит в
следующем.
Пусть дана Крамерова система, т.е. квадратная система 
линейных уравнений с неизвестными 
 (1)
Определитель которой отличен от нуля:
 (2)
Систему (1) можно представить в виде одного матричного уравнения
 (3)
где  - матрица коэффициентов при неизвестных системы (1),
 (4)
 - столбец (Матрица-столбец) неизвестных
 - столбец свободных членов системы (1)
Так как  , то
матрица 
невырожденная и для нее существует обратная матрица 
. Умножив равенство (3) на 
(слева), получим (единственное) решение системы в следующей матричной форме (в
предположении, что она совместима и 
- ее решение)
 ,
где обратная матрица  имеет вид:
( -алгебраическое дополнение элемента  в определителе  )
Другой известный способ можно назвать методом алгебраических дополнений.
Его использование предполагает владение понятием алгебраического дополнения 
как и в матричном способе, теоремой о разложении определителя по столбцу
(строке), теоремами о замещении и об аннулировании.
Предлагаемый нами новый метод опирается на теорему Коши-Бине об определителе
произведения матриц.
Суть этого метода можно понять легко, если сначала рассмотрим случай 
. Очевидно, что при 
выполняются следующие матричные равенства (если задана система (1)):
Переходя к определителям в этих равенствах и обозначив определители правых
частей соответственно через 
получим формулы Крамера:
   ( )
  (Правило Крамера)
Переход к общему случаю Крамеровых систем (1) порядка 
ничего по существу не меняет. Просто следует заметить, что матрица 
с определителем 
получается из единичной матрицы заменой 
-го столбца столбцом неизвестных:
 (5)
Теперь из  равенств
  ,
где  - матрица,
получающаяся заменой 
- го столбца матрицы 
столбцом свободных членов системы (1), причем к формулам Крамера, взяв
определители от обеих частей в каждом равенстве:
 , откуда ввиду  имеем
  .
(здесь  получается из  , как и  из  ).
Другой, еще более короткий способ отыскания решения системы (1) состоит в
следующем (по-прежнему 
): пусть система (1) совместна и числа 
(после переобозначений) образуют ее решение. Тогда при 
имеем, используя два линейных свойства определителя:
 
Можно начать и с определителя 
, в котором вместо свободных членов в 
-м столбце подставлены их выражения согласно (1); используя соответствующие
свойства определителя, получим:
 ( ),
откуда и получаются формулы Крамера.
Замечание. Проверка того, что значения неизвестных, определяемые по формуле
Крамера удовлетворяют системе (1), (т.е. образуют решение системы),
производится одним из известных способов.
§2. Применение циркулянтов малых порядков в теории чисел.
Матрица вида:
- называется циклической матрицей или циркулянтом (третьего порядка), а ее
определитель – циклическим определителем. Циклическим определителем некоторые
авторы называют также циркулянтом.
Пусть дан циклический определитель (Циркулянт)
 .
Прибавив первые две строки к третьей, получим:
 .
Вынесем общий множитель  из последней строки:
 .
Так как
,
то
.
С другой стороны, по определению детерминанта имеем:
Следовательно, выполняется тождество
(1)
Имеет место следующее предложение.
Предложение 1. Уравнение
 (2)
не имеет решений в натуральных числах 
Доказательство: Если 
- вещественные положительные числа, не все равные между собой, то
 (3)
Пусть  - не все
равные между собой положительные числа. Тогда существуют положительные числа 
и  , не все равные
между собой, такие, что 
. К этим числам применим тождество (1). Так как не все числа 
между собой равны, то последний сомножитель правой части тождества (1) есть
число положительное и, следовательно,
 ,
 . (4)
Так как  , то
неравенство (4) дает неравенство (3). (Неравенство (3) можно переписать в виде 
; получим известный факт о том, что среднее арифметическое трех положительных,
не равных между собой чисел больше их среднего геометрического).
Пусть  и 
- натуральные числа, удовлетворяющие уравнению (2). Представляются две
возможности: либо числа 
все равны между собой, либо не все эти числа равны друг другу.
В первом случае все они должны быть равны 1, так как она положительные и 
, и мы имели бы:
 - противоречие.
Значит, не все три числа 
равны между собой; поэтому в силу неравенства (3) имеем
 ,
откуда
 .
Таким образом, доказано что уравнение
не имеет решений в натуральных числах  .
Предложение 2. Уравнение
разрешимо в натуральных числах  .
Доказательство: удовлетворяют нашему уравнению. Если не все три числа 
между собой равны, то как мы видели в ходе доказательства Предложения (1),
выполняется неравенство
- противоречие. Таким образом, должно быть 
, и из нашего уравнения следует, что каждое из этих чисел равно 1, так что 
.
Поэтому получаем
 .
Итак, мы доказали, что заданное уравнение имеет бесконечно много решений в
натуральных числах 
.
Предложение 3. Произведение двух чисел, каждое из которых является суммой
двух квадратов, представимо в виде суммы двух квадратов.
Доказательство: Рассмотрим следующее произведение двух циклических матриц
(второго порядка)
где  - мнимая единица. Переходя к определителям, получим равенство
 . (5)
Предложение 4. Если число представляемое в виде суммы двух квадратов,
делится на простое число, являющееся суммой двух квадратов, то частное также
является суммой двух квадратов.
Доказательство: Пусть число  делится на простое число  вида  :
 .
Требуется доказать, что частное  имеет вид  .
Предположим, что задача уже решена, т.е.
 , (6)
и с помощью анализа попробуем найти искомые числа 
и  . Гипотетическое
равенство (6) подсказывает целесообразность рассмотрения матричных равенств.
и
перемножив правые части этих равенств, получим:
отсюда имеем:
(7)
 (8)
. (9)
Так как  - простое
число и  делит 
, то равенство (9) показывает, что 
или  делится на 
.
Пусть  . Тогда из тождества
,
верного в силу (5) следует, что на 
делится и число  , а
поскольку  -
простое,  , так что
в силу (7)  - целое
число. Таким образом, в рассматриваемом случае имеем:
и Предложение 4 доказано.
Если же  , т.е. в силу (8)  - целое, то, рассуждая как и выше, можем написать:
;
отсюда следует, что  , т.е.  - целое. В этом случае
 .
§3. Матричный вывод формулы Кардано
В этом параграфе предлагается новый подход к выводу формулы Кардано для
корней кубического произведения уравнения.
Пусть дано любое кубическое уравнение
  . (1)
Если  - его корень, то  , поэтому
 , т.е. 
есть корень уравнения, получающегося из (1) делением всех коэффициентов т правой
части на  , и
обратно. Поэтому (1) эквивалентно уравнению.
 . (2)
Таким образом, можно сказать, что решение любого кубического уравнения
сводится к решению кубического уравнения со старшим коэффициентом, равным 1,
т.е. уравнения вида
 , (3)
которое получается из (2) после переобозначения коэффициентов; такое
уравнение называется унитарным. Если к уравнению (3) применить подстановку
 , (4)
получим:
, т.е.
 ,
(5)
где  и 
определяются по заданным коэффициентам 
уравнения (3). Уравнение (5) эквивалентно уравнению (3), поэтому достаточно
научиться решать уравнения типа (5). В силу этого, обозначив через 
неизвестное, мы видим, что решение любого кубического уравнения вида
 , (6)
называется приведенным или (неполным) кубическим уравнением. Покажем теперь,
как можно найти все корни уравнения (6). Для этого заметим, что в силу
тождества (1) §2, полученного с использованием циркулянта третьего порядка
имеет место тождество
, (7)
где  - любые числа, 
- один из корней третьей степени из единицы, так что 
(проверка тождества опирается на равенство 
). Попробуем теперь отождествить наше уравнение (6) с уравнением
 , (8)
т.е. положим
где  и  пока неизвестны. Чтобы вычислить их, имеем систему
которая показывает (в силу теоремы Виета), что 
и  являются корнями
квадратного уравнения
т.е.
 
и поэтому
  (9)
Таким образом, уравнение (6) эквивалентно уравнению (8), в котором 
и  определяются по
формулам (9). В свою очередь, уравнение (8) в силу (7) равносильно уравнению
и теперь получаем:
   (10)
где  и 
определяются по (9). При этом надо иметь ввиду, что кубические корни из (9)
имеют по три значения и их необходимо комбинировать с учетом равенства 
; если одна пара значений 
и  выбрана указанным
образом, то все три корня определяются по формулам (10). Сказанное можно
представить и по другому; можно сказать, что значения неизвестного 
определяются из равенства
т.е.
 (11)
причем остается в силе сказанное относительно комбинаций значений этих
кубических радикалов.
Формула (11) и есть знаменитая формула Кардано.
ЛИТЕРАТУРА
1. Ф. Бахман, Э. Шмидт. n- угольник «Мир», М., 1973 г.
2. Э. Чезаро. Элементарный учебник алгебраического анализа и исчисления
бесконечно малых ч. 1 М.Л., 1936 г.
3. В. Серпинский. 250 задач по элементарной теории чисел. М., 1968 г.
4. Р. Курант, Г. Роббинс Что такое математика ? «Просвещение», М., 1967 г.
5. А.Г. Курош. Курс высшей алгебры. М., Наука, 1976 г.
6. Эдвардс. Теорема Ферма. Генетическое введение в алгебраическую теорию
чисел. «Мир», М., 1980 г.
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
