Доклад: Интересные примеры в метрических пространствах

1. В n-мерном евклидовом пространстве полная ограниченность совпадает с

обычной ограниченностью, то есть с возможностью заключить данное множество в

достаточно большой куб. Действительно, если такой куб разбить на кубики с

ребром e, то вершины этих кубиков будут образовывать конечную

-сеть в исходном кубе, а значит, и подавно, в любом множестве, лежащем внутри

этого куба.

1. Единичная сфера S в пространстве l2

дает нам пример ограниченного, но не вполне ограниченного множества. Рассмотрим

в S точки вида:

е1=(1, 0, 0, ..., 0, 0, ...),

е2=(0, 1, 0, ..., 0, 0, ...),

..........,

еn=(0, 0, 0, ..., 1, 0, ...),

...........

Расстояние между любыми двумя точками еn и е

м (n¹m) равно Ö2. Поэтому последовательность {е

i} и любая ее подпоследовательность не сходятся. Отсюда в S не

может быть конечной e-сети ни при каком e<Ö2/2.

2. Рассмотрим в l2 множество П точек

x=(x1, x2, ¼, xn, ...),

удовлетворяющих условиям:

| x1|£1, | x2|£1/2, ¼,| xn|£1/2n-1, ...

Это множество называется фундаментальным параллепипедом («гильбертовым

кирпичем») пространства l2. Оно представляет собой пример

бесконечномерного вполне ограниченного множества. Для доказательства его полной

ограниченности поступим следующим образом.

Пусть e>0 задано. Выберем n так, что 1/2n-1<e/2.

Каждой точке x=(x1, x2, ¼, xn, ...)

из П сопоставим точку x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...)

из того же множества. При этом

r(x,x*)=£<1/2n-1<e/2.

Множество П* точек вида x*=(x1, x2, ¼, x

n, 0, 0, ...) из П вполне ограничено (как ограниченное множество в

n-мерном пространстве). Выберем в П* конечную e/2-сеть. Она будет в

то же время e-сетью во всем П. Докажем это.

Доказательство: для "e>0, выберем n так, что 1/2n-1<e/2.

"xÎП: x=(x1, x2, ¼, xn, ...) сопоставим

x*=(x1, x2, ¼, xn, 0, 0, ...) и

x*ÎП. При этом r(x,x*)<e/2. Из пространства П выберем

x**: r(x*,x**)<e/2.

Тогда:

r(x,x**)£r(x,x*)+r(x*,x**)<e/2+e/2=e.

Множество П* содержит точки вида x*=(x1

, x2, ¼, xn, 0, 0, ...), в этом множестве выберем

конечную e/2-сеть. Она будет e-сетью в пространстве П, так как

r(x,x**)<e.