|
если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. Так
появление любого возможного числа очков при бросании игральной кости (событие
А) несовместно с появлением иного числа (событие В). Выпадение
чётного числа очков несовместно с выпадением нечётного числа. Наоборот,
выпадение чётного очков (событие А) и числа очков, кратного трём
(событие В),не будут несовместными, ибо выпадение шести очков означает
наступление и события А, и события В, так что наступление
одного из них не исключает наступление другого. С событиями можно совершать
операции. Объединением двух событий С=АUВ называется
событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит
хотя бы одно из этих событий А и В. Пересечением двух событий
D=Aóö В называется событие, которое происходит тогда и
только тогда, когда происходят события и А и В.
Пусть А – некоторое событие. Тогда противоположным событию А* к
событию А называется такое событие, которое происходит тогда и только
тогда, когда не происходит событие А. Рассмотрим некоторую совокупность
событий А, В,.,L. Эти события принято называть единственно
возможными, если в результате каждого испытания хотя бы одно из них
наверное наступит. Говорят также, что рассматриваемые события образуют полную
группу событий. Так, например, при бросании игральной кости полную группу
образуют события, состоящие в выпадении одного, двух, трёх, четырёх, пяти и
шести очков.
Одним из важных вопросов теории вероятностей является то, откуда берутся
значения вероятностей исходов испытаний, ведь вероятности всех остальных
событий мы будем получать, опираясь именно на эти вероятности. Здесь возможны
два случая:
а) по каким –либо соображениям симметрии мы считаем все элементарные исходы
равновозможными, в этом случае имеем p1=p2=.=p
n , а так как p1+p2+.+pn=1,
то все pk равны 1/n, pk= /n ,
1<=k<=n;
б) вероятности p1,.,pn исходов X1
,.,Xn определены предварительным проведением серии опытов, в этом
случае за pkпринимают относительную частоту случаев, в которых произошло
элементарное событие Xk (т.е. отношение mk/M
числа mk таких случаев к общему числу M проведённых
испытаний).
Подход а) называется классической схемой теории вероятностей, а подход б) –
статистический подход. Например, если после проверки 1000 деталей оказалось,
что среди них 3 бракованные, то принимают, что вероятность брака равна 0,003,
или же 0,3%.В статистике изучается вопрос: какое число испытаний нужно
произвести, чтобы полученные статистическим путём вероятности были достаточно
надёжными?
Теперь мы можем перейти к рассмотрению важнейшего понятия вероятности события.
Вероятность события А в науке обозначают символом P(А), где
P – начальная буква французского слова Probabilite – вероятность, А
– слово Accident –случайность, происшествие.
Рассмотрим систему конечного числа событий А1, A2
, .... Аn относительно которой сделаем следующие
предположения:
1. Эти события попарно несовместны; иначе говоря, для любых двух
событий Ai и Аk (i, k =
1, 2, ...., n, i ¹ k) появление одного из них исключает появление
другого.
2. События A1,A2,...,An единственно
возможны, то есть какое-либо одно из них непременно должно наступить.
3. События A1,A2,...,An равновозможны.
Это означает, что не существует никаких объективных причин, вследствие которых
одно из них могло бы наступить чаще, чем какое-либо другое.
Пусть имеется событие A, которое наступает при появлении некоторых
из наших «элементарных» событий A1,A2,...,An
и не наступает при появлении других. Мы будем говорить в таком случае, что те
из «элементарные» событий Аi, при наступлении которых
наступает также событие A, благоприятствуют событию A.
Допустим, что из общего числа п рассматриваемых событий A1
,A2,...,An событию А благоприятствует
m из них. Тогда вероятностью события A называется отношение
числа событий, благоприятствующих событию А, к общему числу всех
равновозможных событий. Если, как это принято, обозначить вероятность события
A через Р(A), то мы получаем по определению
Р(A)= m/n__
Поясним приведенное нами определение примером. Рассмотрим бросание игральной
кости и обозначим через A1,A2,...,An
события, состоящие в выпадении соответственно одного, двух,., шести очков. Эти
события удовлетворяют всем сделанным выше предположениям. Отсюда следует, что
P(A1)=P(A2)=.+P(A6)=1/6
потому что каждому из этих событий благоприятствует только оно само, так что
здесь m = 1, а n = 6.
1 Если событие А означает появление четного числа очков,
то ему благоприятствуют события A2, А4,
А6, состоящие в появлении двух, четырех и шести очков.
Поэтому для события А имеем m= 3, так что
Р(А) = 3/6 =1/2.
Пусть событие В состоит в появлении числа очков, кратного трем. Тогда
событию В благоприятствуют «элементарные» события А
3 и А6, откуда следует, что для события В
имеем т = 2. Поэтому
Р (В) =2/6 = 1/3.
Легко заметить, что для любого события А число благоприятствующих
событий m удовлетворяет неравенствам 0 < m <n.
Поэтому вероятность любого события А подчинена условиям
0<=P(A)>=1
Далее, если обозначить через Е некоторое достоверное событие, то ему,
очевидно, должны благоприятствовать все «элементарные» события А
i, так что для него должно быть m =n . Поэтому вероятность
достоверного события равна единиц:
Р(Е) =1.
Если, наоборот, U — невозможное событие, то из самого определения
следует, что здесь m = 0, так что вероятность невозможного события равна нулю:
P(U)= 0.
Рассмотрим несколько примеров, разъясняющих введенное нами понятие вероятности.
Пример 1. В урне находятся три синих, восемь красных и десять белых
шаров одинакового размера и веса, неразличимых наощупь. Шары тщательно
перемешаны. Какова вероятность появления синего, красного и белого шаров при
одном вынимании шара из урны?
Решение. Так как появление любого шара можно считать равновозможным,
то мы имеем всего n=3+8+9=20 элементарных событий. Если через А, В, С
обозначить события, состоящие в появлений соответственно синего, красного и
белого шаров, а через m1,m2,m3— число
благоприятствующих этим событиям случаев, то ясно, что m1=3,m2
=8,m3=9. Поэтому
P(A)=3/20=0,15; P(B)=8/20=0,40; P(C)=9/20=0,45.
Пример 2. Одновременно брошены две монеты. Какова вероятность
появления m гербов (m = 0, 1,2)?
Решение. Рассмотрим возможные при бросании двух монет исходы.
Очевидно, их можно описать схемой
ГГ, ГР, РГ, РР,
где Г означает выпадение герба, а Р — надписи. Таким образом,
возможны четыре элементарных события. Поскольку монеты предполагаются
однородными и имеющими геометрически правильную форму, то нет никаких оснований
предполагать, что одна из сторон какой-либо монеты выпадает чаще других.
Поэтому все четыре случая следует считать равновозможными. Но тогда, обозначив
через Pm вероятность выпадения m гербов, легко
получим:
P0=1/4; P1=2/4=1/2; P2=1/4.
Пример 3. Одновременно бросаются две игральные кости, на гранях
которых нанесены очки 1, 2, 3, 4, 5, 6. Какова вероятность того, что сумма
очков, выпавших на двух костях, равна восьми?
Решение. Так как любое из возможного числа очков на одной кости может
сочетаться с любым числом очков па другой, то общее число различных случаев
равно n = 6 * б = 36. Легко убедиться в том, что все эти случаи
попарно несовместны, равновозможны и образуют полную группу событий. Для ответа
на вопрос следует подсчитать, в каком числе случаев сумма очков равна восьми.
Это будет, если число очков на брошенных костях равно
2 + 6, 3 + 5, 4 + 4, 5 + 3, 6 + 2,
причем первое слагаемое означает число очков на первой, а второе - на второй
кости. Отсюда видно, что событию А, состоящему в том, что сумма очков,
выпавших на двух костях, равна восьми, благоприятствует m= 5 случаев. Поэтому
P(A)=5/36.
Пример 4. В мешке лежат 33 жетона, помеченные буквами русского
алфавита. Из него извлекают жетоны и записывают соответствующие буквы, причем
вынутые жетоны обратно не возвращают. Какова вероятность того, что при этом
получится слово «око»? слово «ар»?
Решение. Ошибочно было бы решать задачу так: вероятность извлечения
любой буквы равна 1/33, поэтому вероятность сложить слово «око» равна 1/33^3,
а вероятность сложить слово «ар» равна 1/33^2. Это было бы верно, если бы
последовательные извлечения жетонов из мешка были независимы друг от друга. Но
так как жетоны обратно в мешок не возвращаются, то, вынув в первый раз букву
«о», мы уже не получим ее при третьем извлечении. Поэтому вероятность получить
слово «око» равна нулю. Чтобы найти вероятность получения слова «ар», заметим,
что при двух извлечениях букв получаются всевозможные размещения без
повторений из 33 букв по две, причем очевидно, что любые два таких размещения
равновероятны. Так как общее число этих размещений равно (А33)2
=33 . 32=1056 , то вероятность сложить слово «ар» равна
1/1056.
Этот пример показывает, что при решении многих задач теории вероятностей
оказываются полезными формулы комбинаторики — при определенных условиях у нас с
равной вероятностью получаются размещения с повторениями (если, например,
жетоны извлекаются и потом возвращаются обратно), размещения без повторений
(если жетоны не возвращаются обратно), перестановки с повторениями и без
повторений, сочетания и т. д. Долгое время комбинаторику вообще
рассматривали как вспомогательную дисциплину для теории вероятностей, но
теперь она приобрела самостоятельное значение.
Сложные вероятности. Теоремы сложения .
Непосредственный подсчёт случаев, благоприятствующих данному событию, может
оказаться затруднительным. Поэтому для определения вероятности события бывает
выгодно представить данное событие в виде комбинации некоторых других, более
простых событий. Приведём теоремы, с помощью которых можно по вероятностям
одних случайных событий вычислять вероятности других случайных событий, каким –
либо образом связанных с первыми. Начнём с теорем, которые образуют группу с
общим названием «теоремы сложения». Теорема 1. Пусть А и В –
два несовместных события. Тогда вероятность того, что осуществится хотя бы одно
из этих двух событий, равна сумме их вероятностей: P(A U
B)=P(A)+P(B).
Доказательство.
Обозначим исходы, благоприятные для события А, через а1
,а2,.,аm , а для события В
– через b1,b2,.,bn.
Вероятности этих исходов обозначим соответственно через p1
,p2,.,pm и q1,q2
,.,qn . Тогда событию A U B
благоприятны все исходы a1,a2,.,am ,
b1,b2,.,bn . В силу того что
события А и В несовместны, среди этих исходов нет
повторяющихся. Поэтому вероятность события АUB
равна сумме вероятностей этих исходов. т.е.
P(AUB)=p1+p2+.+pm+q1+q2+.+qn.
Но p1+p2+pm=P(A), q1+q2+qn=P(B), а потому
P(AUB)=P(A)+P(B).
Теорема доказана.
Пример 1. Стрелок стреляет в мишень. Вероятность выбить 10 очков равна
0,3 , а вероятность выбить 9 очков равна 0,6. Чему равна вероятность выбить не
менее 9 очков?
Решение. Событие А «выбить не менее 9 очков» является
объединением событий В - «выбить 10 очков» и С – «выбить 9
очков». При этом события В и С несовместны, так как нельзя одним
выстрелом выбить сразу и 9, и 10 очков.
Поэтому по теореме 1 имеем:
P(A)=P(B)+P(C)=0,3+0,6=0.9.
Если события А1, А2, . ,Аn попарно
несовместны, то событие A1U . UAn-1
несовместно с событием An . В самом деле,
(A1U.UAn-1) I An =(A1óö An)U.U(An-1 óö An) .
Но при s<n имеем As óö An =Æ ,
и потому (A1U.UAn-1)óö A
n =Æ. Пользуясь этим замечанием, получаем из теоремы 1
следствие:
Следствие. Если события А1,., Аn попарно
несовместны, то вероятность объединения этих событий равна сумме их
вероятностей:
P(A1U.UAn)=P(A1)+.+P(An).
Доказательство. Как было отмечено выше, события A1U . UAn-1 и An
несовместны, а потому по теореме 1имеем:
P(A1U.UAn-1UAn)=P(A1U.UAn-1)+P(An).
Применяя это же рассуждение к первому слагаемому и продолжая далее, получаем
после n-1 шага, что
P(A1U . UAn)=P(A1)+.+P(An).
Пример 2. В цехе работает несколько станков. Вероятность того, что за
смену потребует наладки ровно один станок, равна 0,2. Вероятность того, что за
смену потребуют наладки ровно два станка, равна 0,13. Вероятность того, что за
смену потребуют наладки больше двух станков, равна 0,07. Какова вероятность
того, что за смену придётся проводить наладку станков?
Решение. В том примере опыт состоит в том, что прошла смена и отмечено,
сколько станков за эту смену потребовало наладки. В этом опыте события: А
– «за смену потребовал наладки ровно один станок», В – «за смену
потребовали наладки ровно два станка» и С – « за сену потребовали
наладки более двух станков» несовместны. Нас же интересует вероятность события
AUBUC. По теореме 1: P(AUBUC
)=P(A)+P(B)+P(C)=0,2+0,13+0,07=0,4.
Выведем теперь связь между вероятностями противоположных событий.
Теорема 2. Для любого события А имеем: P(A*)=1-P(A).
Для доказательства вспомним, что AUA*=U, P(U)=1 и A
óö A*. Тогда по теореме 1 получаем: 1=P(U
)=P(AUA*)=P(A)+P(A*), откуда следует требуемая формула.
Пример 3. Берётся наудачу трёхзначное натуральное число от 100 до 999.
Какова вероятность того, что хотя бы две его цифры совпадают?
Решение. Опыт здесь состоит в том, что наудачу выбирается натуральное
число от 100 до 999 и смотрят, есть ли у негосовпадающие цифры. События «взяли
наудачу число N» (N= 100, 101, . , 999) равновероятны (в этом смысл слова
«наудачу» ) и образуют множество исходов этого опыта. Число исходов n=900. Нас
интересует событие А - «у выбранного числа совпадают хотя бы две
цифры». Проще, однако, подсчитать вероятность противоположного события А*
- «у выбранного числа все цифры различны». Каждое такое число есть размещение
без повторений из 10 цифр по 3, не имеющее первым элементом нуль.
Следовательно, m=(A10)3 –(A9)2
=10.9.8—9.8=92
.8 (из числа всех трёхэлементных размещений без повторений надо
вычесть число тех, у которых на первом месте стоит нуль) и P(A*)=92
.8/900=0,72. Тогда по
теореме 2 P(A)=1-P(A*)=0,28.
Пример 4. В урне, содержащей n шаров белого, красного и чёрного
цвета, находится k белых шаров и L красных. Какова вероятность
вынуть шар не чёрного цвета?
Решение. Если событие А состоит в появлении белого, а событие В –
красного шара, то появление шара не чёрного цвета означает появление либо
белого, либо красного шара. Так как по определению вероятности
P(A)=k/n, P(B)=L/n,
То по теореме сложения вероятность появления шара не чёрного цвета равна: P
(A U B)=k/(n+L)/n=(k+L)/n.
Эту задачу можно решить и так. Пусть событие С состоит в появлении
чёрного шара. Число чёрных шаров равно n –(k+L), так что P(C)=(n—k—L)/n.
3
Появление шара не чёрного цвета является противоположным событием С*,
поэтому на основании указанного выше следствия из теоремы сложения имеем:
P(C*)=1—P(C )=1—(n—k—L)/n=(k+L)/n, как и раньше.
Пример 5. В денежно – вещевой лотерее на серию в 1000 билетов приходится
120 денежных и 80 вещевых выигрышей. Какова вероятность какого – либо выигрыша
на один лотерейный билет?
Решение. Если обозначить через А событие, состоящее в выпадении
денежного выигрыша, и через В — вещевого, то из определения вероятности следует
P(A)=120/1000=0,12; P(B)=80/1000=0,08. Интересующее нас событие
представляет (AUB), поэтому из теоремы сложения вытекает:
P(AUB)=P(A)+P(B)=0,20.
Таким образом, вероятность какого – либо выигрыша равна 0,2.
Прежде чем перейти к следующей теореме, необходимо ознакомиться с новым важным
понятием – понятием условной вероятности. Для этой цели мы начнём с
рассмотрения следующего примера.
Пусть на складе имеется 400 электрических лампочек, изготовленных на двух
различных заводах, причём на первом изготовлено 75% всех лампочек, а на
втором – 25%. Допустим, что среди лампочек, изготовленных первым заводом, 83%
удовлетворяют условиям определённого стандарта, а для продукции второго
завода этот процент равен 63. Определим вероятность того, что случайно взятая
со склада лампочка окажется удовлетворяющей условиям стандарта.
Заметим, что общее число имеющихся стандартных лампочек состоит из
400 . 0,75 . 0,83=249 лампочек,
изготовленных первым заводом, и 63 лампочек, изготовленных вторым заводом, т.е.
равно 312. Так как выбор любой лампочки следует считать равновозможным, то мы
имеем 312 благоприятствующих случаев из 400, так что P(B)=312/400=0.78,
где событие В состоит в том, что выбранная нами лампочка стандартна.
Пир этом подсчёте не делалось никаких предположений о том, к продукции какого
завода принадлежит выбранная нами лампочка. Если же какие – либо предположения
такого рода сделать, то очевидно, что интересующая нас вероятность может
измениться. Так, например, если известно, что выбранная лампочка изготовлена на
первом заводе (событие А), то вероятность того, что она стандартна,
будет уже не 0.78, а 0.83.
Такого рода вероятность, т.е. вероятность события В при условии, что
имеемт событие А, называют условной вероятностью события В при
условии наступления события А и обознаают РА (В).
Если мы в предыдущем примере обозначали через А событие, состоящее в
том, что выбранная лампочка изготовлена на первом заводе, то мы можем написать
РА (В)=0,83.
Теперь мы можем сформулировать важную теорему, относящуюся к подсчёту
вероятности совмещения событий.
Страницы: 1, 2
| 
