| Контрольная: Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики |
Контрольная: Численное решение модельного уравнения диссипации, конвекции и кинетики
С О Д Е Р Ж А Н И Е
стр.
1. Общая постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....3
2. Постановка тестовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....4
3. Методика решения тестовых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....6
4. Результаты вычислений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....9
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....10
Приложения
Приложение 1: Описание программы
Приложение 2: Текст программы
1. О Б Щ А Я П О С Т А Н О В К А З А Д А Ч И
Перенос тепла (или вещества) теплопроводностью (для вещества соответственно
диффузией) и конвекцией описывается дифференциальным уравнением
параболического типа:
 ( 1 )
где  температура
(или концентрация). Пусть 
являются некоторыми константами и 
. Уравнение (1) при указанных выше предположениях называется модельным
уравнением диссипации, конвекции и кинетики. Слагаемые правой части имеют
следующий физический смысл:
 - соответствует переносу тепла теплопроводностью (или вещест-
ва диффузией);
 - соответствует конвективному переносу;
 - "кинетический член", соответствует источнику, пропорционально-
му температуре или концентрации;
 - интенсивность внешних источников или стоков.
В дальнейшем будем рассматривать только тепловую интерпретацию уравнения
(1).
Численное решение уравнения (1) будем искать в области  :
 ( 2 )
при заданных начальных значениях температуры: 
( 3 )
и граничных условиях.
Граничные условия описывают режимы теплообмена с внешней средой:
 при  ;
 при  .
- 3 -
2. П О С Т А Н О В К А Т Е С Т О В Ы Х З А Д А Ч
В качестве тестовых задач для температуры 
мною были выбраны следующие пять функций:
 ( 9 )
 ( 10 )
 ( 11 )
 ( 12 )
 ( 13 )
Для функции (9) имеем: 
 
Для функции (10):
 
Для функции (11):
Для функции (12): 
 
Для функции (13):
- 4 -
 
Данные функции тестировались на отрезке по X: [0, 1], по времени:
[0, 1], с количеством разбиений по этим отрезкам - 30.
- 5 -
3. М Е Т О Д И К А Р Е Ш Е Н И Я Т Е С Т О В Ы Х З А Д А Ч
Данная задача решается с помощью двухслойной неявно конечно-разностной схемы.
Схема реализуется в три этапа.
1 этап: находятся предварительные значения 
с помощью 4-х точечной неявной схемы:
( 5 )
2 этап: используется за два шага. Сначала находятся 
на полученном слое ( )
с шагом  , а затем 
через  . В этом
случае используется 4-х точечная неявная разностная схема:
( 6 )
( 7 )
3 этап: окончательные значения 
находятся в виде линейной комбинации двух предварительных значений:
 ( 8 )
Для решения (1) воспользуемся формулами (5) - (8). Данные уравнения
представляют трех диагональные матрицы, решаемые методом скалярной прогонки.
В начале нужно преобразовать (5) – (7) к виду:
 ( 14 )
Тогда (5) примет вид:
Т.е.  ;
 ;
 ;
 .
- 6 -
Формула (6) преобразуется в:
Т.е.  ;
 ;
 ;
 .
Формула (7) преобразуется в:
Т.е.  ;
 ;
 ;
 .
Далее решаем по формулам скалярной прогонки:
  ( 15 )
 ( 16 )
Для определения  , 
и  воспользуемся
данными граничными условиями, т.е. формулой (4) и функцией 
. Так если мы берём 
из формулы (9), то имеем:
Приведём это выражение к виду:  .
- 7 -
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
