|
|
| Курсовая: Курсовая Работа - Аппроксимация функций |
Требуется выяснить - какая из функций - линейная, квадратичная или
экспоненциальная наилучшим образом аппроксимирует функцию заданную таблицей
1.
Решение.
Поскольку в данном примере каждая пара значений 
встречается один раз, то между 
и существует
функциональная зависимость.
Для проведения расчетов данные целесообразно расположить в виде таблицы 2,
используя средства табличного процессора Microsoft Excel.
Таблица 2
Расчет сумм.
Поясним как таблица 2 составляется.
Шаг 1. В ячейки A2:A26 заносим значения  .
Шаг 2. В ячейки B2:B26 заносим значения  .
Шаг 3. В ячейку C2 вводим формулу =A2^2.
Шаг 4. В ячейки C3:C26 эта формула копируется.
Шаг 5. В ячейку D2 вводим формулу =A2*B2.
Шаг 6. В ячейки D3:D26 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку F2 вводим формулу =A2^4.
Шаг 8. В ячейки F3:F26 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку G2 вводим формулу =A2^2*B2.
Шаг 10. В ячейки G3:G26 эта формула копируется.
Шаг 11. В ячейку H2 вводим формулу =LN(B2).
Шаг 12. В ячейки H3:H26 эта формула копируется.
Шаг 13. В ячейку I2 вводим формулу =A2*LN(B2).
Шаг 14. В ячейки I3:I26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования  .
Шаг 15. В ячейку A27 вводим формулу =СУММ(A2:A26).
Шаг 16. В ячейку B27 вводим формулу =СУММ(B2:B26).
Шаг 17. В ячейку C27 вводим формулу =СУММ(C2:C26).
Шаг 18. В ячейку D27 вводим формулу =СУММ(D2:D26).
Шаг 19. В ячейку E27 вводим формулу =СУММ(E2:E26).
Шаг 20. В ячейку F27 вводим формулу =СУММ(F2:F26).
Шаг 21. В ячейку G27 вводим формулу =СУММ(G2:G26).
Шаг 22. В ячейку H27 вводим формулу =СУММ(H2:H26).
Шаг 23. В ячейку I27 вводим формулу =СУММ(I2:I26).
Аппроксимируем функцию 
линейной функцией  .
Для определения коэффициентов 
и  воспользуемся
системой
Используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, B27, C27 и
D27, запишем систему в виде
решив которую, получим  и  .
Таким образом, линейная аппроксимация имеет вид  .
Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты
представлены в таблице 3.
Таблица 3
Результаты коэффициентов линейной аппроксимации.
В таблице 3 в ячейках A37:B38 записана формула {=МОБР(A33:B34)}.
В ячейках D37:D38 записана формула {=МУМНОЖ(A37:B38;C33:C34)}.
Далее аппроксимируем функцию 
квадратичной функцией 
. Для определения коэффициентов 
,  и 
воспользуемся системой
Используя итоговые суммы таблицы 2,
расположенные в ячейках A27, B27, C27, D27, E27, F27 и G27 запишем систему в
виде
решив которую, получим  ,  и  .
Таким образом, квадратичная аппроксимация имеет вид
 .
Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты
представлены в таблице 4.
Таблица 4
Результаты коэффициентов квадратичной аппроксимации.
В таблице 4 в ячейках E38:G40 записана формула {=МОБР(E33:G35)}.
В ячейках I38:I40 записана формула {=МУМНОЖ(E38:G40;H33:H35)}.
Теперь аппроксимируем функцию 
экспоненциальной функцией 
. Для определения коэффициентов 
и  прологарифмируем
значения  и
используя итоговые суммы таблицы 2, расположенные в ячейках A27, C27, H27 и I27
получим систему
где  .
Решив систему, найдем  ,  .
После потенцирования получим  .
Таким образом, экспоненциальная аппроксимация имеет вид
 .
Решение системы проводили, пользуясь средствами Microsoft Excel. Результаты
представлены в таблице 5.
Таблица 5
Результаты коэффициентов экспоненциальной аппроксимации.
В таблице 5 в ячейках D45:E46 записана формула {=МОБР(D42:943)}.
В ячейках G45:G46 записана формула {=МУМНОЖ(D45:E46;F42:F43)}.
В ячейке G47 записана формула =EXP(G45).
Вычислим среднее арифметическое  и  по формулам:
Результаты расчета  и  средствами Microsoft Excel представлены в таблице 6.
Таблица 6
Вычисление средних значений X и Y.
В ячейке F49 записана формула =A26/25.
В ячейке F50 записана формула =B26/25.
Для того, чтобы рассчитать коэффициент корреляции и коэффициент
детерминированности данные целесообразно расположить в виде таблицы 7,
которая является продолжением таблицы 2.
Таблица 7
Вычисление остаточных сумм.
Поясним как таблица 7 составляется.
Ячейки A2:A27 и B2:B27 уже заполнены (см. табл. 2).
Далее делаем следующие шаги.
Шаг 1. В ячейку J2 вводим формулу =(A2-$F$49)*(B2-$F$50).
Шаг 2. В ячейки J3:J26 эта формула копируется.
Шаг 3. В ячейку K2 вводим формулу =(A2-$F$49)^2.
Шаг 4. В ячейки K3:K26 эта формула копируется.
Шаг 5. В ячейку L2 вводим формулу =(B2-$F$50)^2.
Шаг 6. В ячейки L3:L26 эта формула копируется.
Шаг 7. В ячейку M2 вводим формулу =($D$37+$D$38*A2-B2)^2.
Шаг 8. В ячейки M3:M26 эта формула копируется.
Шаг 9. В ячейку N2 вводим формулу
=($I$38+$I$39*A2+$I$40*A2^2-B2)^2.
Шаг 10. В ячейки N3:N26 эта формула копируется.
Шаг 11. В ячейку O2 вводим формулу
=($G$47*EXP($G$46*A2)-B2)^2.
Шаг 12. В ячейки O3:O26 эта формула копируется.
Последующие шаги делаем с помощью автосуммирования  .
Шаг 13. В ячейку J27 вводим формулу =СУММ(J2:J26).
Шаг 14. В ячейку K27 вводим формулу =СУММ(K2:K26).
Шаг 15. В ячейку L27 вводим формулу =СУММ(L2:L26).
Шаг 16. В ячейку M27 вводим формулу =СУММ(M2:M26).
Шаг 17. В ячейку N27 вводим формулу =СУММ(N2:N26).
Шаг 18. В ячейку O27 вводим формулу =СУММ(O2:O26).
Теперь проведем расчеты коэффициента корреляции по формуле
 (только для линейной аппроксимации)
и коэффициента детерминированности по формуле 
. Результаты расчетов средствами Microsoft Excel представлены в таблице 8.
Таблица 8
Результаты расчета.
В таблице 8 в ячейке D53 записана формула =J27/(K27*L27)^(1/2).
В ячейке D54 записана формула =1- M27/L27.
В ячейке D55 записана формула =1- N27/L27.
В ячейке D56 записана формула =1- O27/L27.
Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация
наилучшим образом описывает экспериментальные данные.
Рассмотрим результаты эксперимента, приведенные в исследованном выше примере.
Исследуем характер зависимости в три этапа:
· Построим график зависимости.
· Построим линию тренда ( ,  ,  ).
· Получим числовые характеристики коэффициентов этого уравнения.
Рис.4.1. График зависимости y от x
Рис.4.2. График линейной аппроксимации
Рис.4.3. График квадратичной аппроксимации.
Рис.4.4. График экспоненциальной аппроксимации.
Примечание: Полученное при построении линии тренда значение коэффициента
детерминированности для экспоненциальной зависимости 
не совпадает с истинным значением 
, поскольку при вычислении коэффициента детерминированности используются не
истинные значения  ,
а преобразованные значения 
с дальнейшей линеаризацией.
Таблица 9
5.1. Схема алгоритма.
Рис.5.1. Блок-схема
program Kramer;
uses CRT;
const
n=25;
type
TArrayXY = array[1..2,1..n] of real;
TArray = array[1..n] of real;
var
SumX,SumY,SumX2,SumXY,SumX3,SumX4,SumX2Y,SumLnY,SumXLnY: real;
OPRlin,OPRkvadr,OPRa1,OPRa2,OPRa3:real;
a1lin,a2lin,a1kvadr,a2kvadr,a3kvadr,a1exp,a2exp,cexp:real;
Xsr,Ysr,S1,S2,S3,Slin,Skvadr,Sexp:real;
Kkor,KdetLin,KdetKvadr,KdetExp:real;
i:byte;
const
ArrayXY:TArrayXY=((12.85,12.32,11.43,10.59,10.21,9.65,9.63,9.22,8.44,8.07,7.7
4,7.32,7.08,6.87,5.23,5.02,4.65,4.53,3.24,2.55,1.86,1.76,1.11,0.99,0.72) ,
(154.77
145.59,108.37,100.76,98.32,81.43,80.97,79.04,61.76,60.54,55.86,47.63,48.03,36
.85,25.65,24.98,22.87,20.32,9.06,6.23,3.91,3.22,1.22,1.10,0.53));
begin
ClrScr;
SumX:=0.0;
SumY:=0.0;
SumXY:=0.0;
SumX2:=0.0;
SumX3:=0.0;
SumX4:=0.0;
SumX2Y:=0.0;
SumLnY:=0.0;
SumXLnY:=0.0;
{ Вычисление сумм x, y, x*y, x^2, x^3, x^4, (x^2)*y, Ln(y), x*Ln(y) }
for i:=1 to n do
begin
SumX:=SumX+ArrayXY[1,i];
SumY:=SumY+ArrayXY[2,i];
SumXY:=SumXY+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[2,i];
SumX2:=SumX2+sqr(ArrayXY[1,i]);
SumX3:=SumX3+ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[1,i];
SumX4:=SumX4+sqr(ArrayXY[1,i])*sqr(ArrayXY[1,i]);
SumX2Y:=SumX2Y+sqr(ArrayXY[1,i])*ArrayXY[2,i];
SumLnY:=SumLnY+ln(ArrayXY[2,i]);
SumXLnY:=SumXLnY+ArrayXY[1,i]*ln(ArrayXY[2,i])
end;
{ Вычисление коэффициентов }
OPRlin:=0.0;
a1lin:=0.0;
a2lin:=0.0;
a1kvadr:=0.0;
OPRkvadr:=0.0;
a2kvadr:=0.0;
a2kvadr:=0.0;
a1exp:=0.0;
a2exp:=0.0;
OPRlin:=n*SumX2-SumX*SumX;
a1lin:=(SumX2*SumY-SumX*SumXY)/OPRlin;
a2lin:=(n*SumXY-SumX*SumY)/OPRlin;
OPRkvadr:=n*SumX2*SumX4+SumX*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX3-
SumX2*SumX2*SumX2-n*SumX3*SumX3-SumX*SumX*SumX4;
a1kvadr:=(SumY*SumX2*SumX4+SumX*SumX2Y*SumX3+SumX2*SumXY*SumX3-
SumX2*SumX2*SumX2Y-SumY*SumX3*SumX3-SumX*SumXY*SumX4)/OPRkvadr;
a2kvadr:=(n*SumXY*SumX4+SumY*SumX3*SumX2+SumX2*SumX*SumX2Y-SumX2*SumX2*SumXY-
n*SumX3*SumX2Y-SumY*SumX*SumX4)/OPRkvadr;
a3kvadr:=(n*SumX2*SumX2Y+SumX*SumXY*SumX2+SumY*SumX*SumX3-SumY*SumX2*SumX2-
n*SumXY*SumX3-SumX*SumX*SumX2Y)/OPrkvadr;
a2exp:=(n*SumXLnY-SumX*SumLnY)/OPRlin;
cexp:=(SumX2*SumLnY-SumX*SumXLnY)/OPRlin;
a1exp:=exp(cexp);
{ Вычисление средних арифметических x и y }
Xsr:=SumX/n;
Ysr:=SumY/n;
S1:=0.0;
S2:=0.0;
S3:=0.0;
Slin:=0.0;
Skvadr:=0.0;
Sexp:=0.0;
Kkor:=0.0;
KdetLin:=0.0;
KdetKvadr:=0.0;
KdetExp:=0.0;
for i:=1 to n do
begin
S1:=S1+(ArrayXY[1,i]-Xsr)*(ArrayXY[2,i]-Ysr);
S2:=S2+sqr(ArrayXY[1,i]-Xsr);
S3:=S3+sqr(ArrayXY[2,i]-Ysr);
Slin:=Slin+sqr(a1lin+a2lin*ArrayXY[1,i]-ArrayXY[2,i]);
Skvadr:=Skvadr+sqr(a1kvadr+a2kvadr*ArrayXY[1,i]+a3kvadr*ArrayXY[1,i]*ArrayXY[
1,i]-ArrayXY[2,i]);
Sexp:=Sexp+sqr(a1exp*exp(a2exp*ArrayXY[1,i])-ArrayXY[2,i]);
end;
{ Вычисление коэффициентов корреляции и детерминированности }
Kkor:=S1/sqrt(S2*S3);
KdetLin:=1-Slin/S3;
KdetKvadr:=1-Skvadr/S3;
KdetExp:=1-Sexp/S3;
{ Вывод результатов }
WriteLn('Линейная функция');
WriteLn('a1=',a1lin:8:5);
WriteLn('a2=',a2lin:8:5);
WriteLn('Квадратичная функция');
WriteLn('a1=',a1kvadr:8:5);
WriteLn('a2=',a2kvadr:8:5);
WriteLn('a3=',a3kvadr:8:5);
WriteLn('Экспоненциальная функция');
WriteLn('a1=',a1exp:8:5);
WriteLn('a2=',a2exp:8:5);
WriteLn('c=',cexp:8:5);
WriteLn('Xcp=',Xsr:8:5);
WriteLn('Ycp=',Ysr:8:5);
WriteLn('Коэффициент корреляции ',Kkor:8:5);
WriteLn('Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация)
',KdetLin:2:5);
WriteLn('Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация)
',KdetKvadr:2:5);
WriteLn('Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация)
',KdetExp:2:5);
end.
Коэффициенты линейной функции
a1=-24.73516
a2=11.63471
Коэффициенты квадратичной функции
a1= 1.59678
a2=-0.62145
a3= 0.95543
Коэффициенты экспоненциальной функции
a1= 1.65885
a2= 0.40987
c= 0.50613
Xcp= 6.52320
Ycp=51.16040
Коэффициент корреляции 0.96196
Коэффициент детерминированности (линейная аппроксимация) 0.92537
Коэффициент детерминированности (квадратическая аппроксимация) 0.99409
Коэффициент детерминированности (экспоненциальная аппроксимация) 0.02691
Сделаем заключение по результатам полученных данных:
1. Анализ результатов расчетов показывает, что квадратичная аппроксимация
наилучшим образом описывает экспериментальные данные т.к. согласно таблице 8
коэффициент корреляции - 0,9620; Коэффициенты детерминированности линейной
аппроксимации - 0,9253; квадратической аппроксимации – 0,994;
экспоненциальной аппроксимация – 0,0269.
2. Сравнивая результаты, полученные при помощи функции ЛИНЕЙН видим что они
полностью совпадают с вычислениями, проведенными выше. Это указывает на то,
что вычисления верны.
3. Полученное при построении линии тренда значение коэффициента
детерминированности для экспоненциальной зависимости не совпадает с истинным
значением поскольку при вычислении коэффициента детерминированности
используются не истинные значения y, а преобразованные значения ln(y) с
дальнейшей линеаризацией.
4. Результаты полученные с помощью программы на языке PASCAL полностью
совпадают со значениями приведенными выше. Это говорит о верности вычислений.
1. Ахметов К.С. Windows 95 для всех. - М.:ТОО "КомпьютерПресс", 1995.
2. Вычислительная техника и программирование. Под ред. А.В. Петрова. М.:
Высшая школа, 1991.
3. Гончаров A., Excel 97 в примерах. — СПб: Питер, 1997.
4. Левин А., Самоучитель работы на компьютере. - М.: Международное
агентство А.Д.Т., 1996.
5. Информатика: Методические указания к курсовой работе. Санкт-
Петербургский горный институт. Сост. Д.Е. Гусев, Г.Н. Журов. СПб, 1999
Страницы: 1, 2
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
