X 1, X 2—средние значения соответствующих аргументов.

х\.

Закономерности и выводы, используемые при исследовании взаимосвязи трех

переменных (в трехмерном пространстве), применимы и для взаимосвязи большего

числа переменных, .т. е. для многомерного пространства типа

y= f ( x1 , x2, .... xn) ( 25 )

В этом случае расчет уравнения множественной линейной регрессии типа

y = a+ b 1 x 1 + b

2 x 2 +. b 3 x

3 + + b n x n

( 26 )

ведется для определения коэффициентов a, b 1, b 2, b n.

Чтобы определить численные значения этих в

еличин, необходимо решить систему уравнений:

аналогичную приведенной выше для двух аргументов и функции.

Определив коэффициенты регрессии решением системы уравнений , получим

уравнение множественной линейной регрессии , из которого могут быть получены

уравнения частной взаимосвязи функции с каждым аргументом:

у = a' i + b i

х i ,

(27)

где a' i—свободный член частного уравнения регрессии;

i - порядковый номер анализируемого аргумента.

Так же как и в случае трехмерной задачи, угловой коэффициент регрессии b

i сохраняет то же численное значение, что и в уравнении множественной

линейной регрессии . Свободный член частного уравнения регрессии рассчитывается

по формуле

n

a' i = а + S b i

X i - b e X

e ( 28 )

i = 1

где а — свободный член множественного линейного уравнения регрессии;

n — количество -аргументов;

X i—средние значения аргументов;

X e —среднее значение одного из -аргументов.

Оценкой тесноты связи при множественной линейной регрессии служит

коэффициент множественной корреляции R,

определяемый по формуле:

R = { b 1 [ s

x1 / s y ] r yx

1 + ... + b n [ s x n

/ s y ] r yx n }

1/2 ( 29 )

Величина коэффициента множественной корреляции

всегда положительна и может меняться от 0 (при отсутствии связи) до 1 (при

функциональной связи). С помощью коэффициента множественной корреляции

оценивают совместное влияние на зависимую переменную всех включенных в расчет

аргументов. Квадрат величины коэффициента множественной корреляции показывает

долю изменчивости зависимой переменной, обусловленн

ую изменением всех рассматриваемых аргументов, и называется коэффициентом

множественной детерминации.

Для оценки тесноты частной взаимосвязи функции и

каждого аргумента служит коэффициент частной

корреляции. Этот статистическ

ий показатель учитывает тесноту взаимосвязи функции и одно

го из показателей-аргументов при условии, что остальные аргументы

закреплены на уровне своих средних значений и не влияют на функ

цию. Коэффициент частной корреляции обозначается индексом

r yx i, где i

—порядковый номер оцениваемого аргумента) и рассчиты

вается по формуле

{ 1 - R 2 n } } 1/2

r yx i = { 1 - ----------------}

( 30 )

{ 1 - R 2 n - 1 }

где R 2 n — квадрат коэффициента множественной корреляции для п аргументов;

R 2 n - 1

—-квадрат коэффициента множественной

корреляции для n—1 аргументов без

i-того^. Как видно из формулы ( 30 ),

коэффициент частной корреляции позволяет выделить уменьшение изменчивости

фактических значений функции вокруг расчетных, связанное с введением в расчет

уравнения множественной регрессии

i -того аргумента. Коэффициент

r yx i принимает значения от 0 (

при отсутствии связи) до 1 (при наличии

функциональной связи). Из формулы (30 )

невозможно опр

еделить знак коэффициента частной корреляции,

поэтому его определяют по знаку углового коэффициента регрессии

b i для данного аргумента. Значение коэффициента частной

корреляции может отличаться от коэффициента парной корреляции не только по

величине, но и по знаку для одной и той же задачи. При этом нужно помнить, что

коэффициент частной корреляции является более объ

ективной оценкой действительной взаимосвязи.

Оценка тесноты индивидуальной связи функции и

аргумента при множественной регрессии с помощью

коэффициента частной корреляции является более

достоверной. Это соображение подтверждается уменьшением рассеяния точек относ

ительно линии

частной регрессии по сравнению с линией парной регрессии. Следовательно, даже

при уменьшении коэффициента частной корреляции по сравнению с парным при

частной регрессии наблюдается более тесная связь ме

жду функцией и аргументом.

Для расчета по формуле (30) необходимо рассчитать коэффициенты регрессии с

помощью систем уравнений отдельно для п и п—1

аргументов. При этом значения коэффициентов будут различными.

Итак, в результате решения уравнения множественной регрессии , можно найти

численные значения коэффициентов а, b

1, b 2,

b 3, ...,

b п. , определить показател

и тесноты связи, а именно коэффициент

множественной корреляции R,

коэффициент детерминации , коэффициенты частной корреляции

r' ух i.

Несмотря на то что уравнения частной линейной регрессии характеризуют реальную

взаимосвязь функции и i-того аргумента с

большей достоверностью, чем уравнения парной регрессии, они во многих случаях

не удовлетворяют исследователей. Недостаток уравнений частной линейной

регрессии заключается в том, что анализируемая зависимость представляется в

виде прямой. В действительности, большинство взаимосвязей параметров

металлургических процессов имеет криволинейный

характер. Любое техническое мероприятие тем

эффективней, чем хуже абсолютные исходные показатели.

Для повышения достоверности взаимосвязей параметров технологического

процесса необходимо определить уравнения частной криволинейной регрессии.

Рассмотрим несколько способов такого определения.

ЧАСТНАЯ КРИВОЛИНЕЙНАЯ РЕГРЕССИЯ НА ОСНОВЕ МНОЖЕСТВЕННОЙ ЛИНЕЙНОЙ РЕГРЕССИИ

Для упрощения рассмотрим задачу, в которой фигурируют два аргумента

( x 1 и x 2

) и функция у. Рассчитаем уравнение м

ножественной линейной регрессии, т. е. определим

численные значения коэффициентов а, b

1 и b 2

Найдем уравнения частной криволинейной регрессии. Например, чтобы получить

уравнение частной регрессии у по

x 2, нужно исключить влияние на у

аргумента x 1. Для этого можно использовать

следующий прием: каждое значение функции у в таблице исходной

информации нужно скорректировать на величину отклонения первого аргумента от

своего среднего, пользуясь для этого найденным угловым коэффициентом регрессии

bi. Тогда каждое скорректированное значение функции

у' будет равно:

y' j = y j - (x 1j - X j ) b 1 , ( 31 )

где y j —значение функции в таблице исходной информации

x 1j —значение первого аргумента в таблице исходной информации;

X j - среднее значение первого аргумента

Таким образом, скорректированное значение функции представляет собой

фактическое значение функции скорректированное на влияние первого аргумента.

В результате получаем ряд скорректированных значений функции, который не

имеет регрессионной связи с рядом значений первого аргумента (коэффициент

корреляции между скорректированной функцией и первым аргументом равен нулю).

Если в задаче имеется, например, п аргументов, то корректировка

исходных значений функции должна быть выполнена по всем аргументам, кроме

одного, частную связь которого с функцией предполагается определить. Для этого

скорректированные значения функции у по всем аргументам, кроме второго,

можно рассчитать по уравнению:

y' j = y j - (x 1 j -

X 1j ) b 1- (x 3 j

- X j ) b 3- (x n

j - X n ) b n

( 32 )

гловой коэффициент регрессии из Таким:

^ == 523,0— 0,00493 Шл + 0,0001155 Шл".

. Расчет парной криволинейной связи между у'

j и х 2j может быть

выполнен по методике, рассмотренной выше с использованием метода наименьших

квадратов. Например, если для аппроксимации связи выбрана парабола второго

порядка, то уравнение частной криволинейной регрессии следующее

у** j = а** + b**

2 x2 + c**2 x2

2 ( 33) .

а разность между точкой, лежащей на кривой, и данной точкой корреляционного поля

Dyj = y'j - у** j = y'

j - (а** + b**2

x2 + c**2 x2

2) (34 )

При этом сумма квадратов расстояний от каждой точки корреляционного поля до

новой линии регрессии в случае параболы второго порядка будет иметь вид:

S 2 = S Dyj 2 =

S[ y'j - (а** + b**2 x

2 + c**2 x22)]

2 ( 35 )

Исходя из условия минимума этой суммы, частные производные S 2

по а**, b** 2 и с** 2 приравниваются к

нулю. Выполнив необходимые преобразования, получим систему трех уравнений с

Страницы: 1, 2, 3, 4