[194]
[72,195]
[196]
[197]
[198]
[199]
[200]
Как мы заметили, есть такие числа, которые не являются суммой делителей ни
одного числа и так же есть такие числа, которые являются суммой делителей ни
одного, а нескольких чисел. Теперь посмотрим только те числа, которые
являются суммой делителей ни одного, а нескольких чисел:
[6,12], [11,12]
[10,18], [17,18]
[14,24], [15,24], [23,24]
[16,31]. [25,31]
[21,32], [31,32]
[20, 42], [26,42], [41,42]
[33,48], [35,48], [47,48]
[34,5 4], [53,54]
[28,56], [39,56]
[24,60], [38,60], [59, 60]
[30,72], [46,72], [51,72], [55,72], [71,72]
[57,80], [79,80]
[44,84], [65,84], [83,84]
[40,90], [58, 9 0], [89,90]
[42,96], [62,96], [69,96], [77,96]
[52,98], [97,98]
[54,120], [56, 120], [87,120], [95,120]
[48,124], [75,124]
[68,126], [82,126]
[66,144], [70, 144], [94,144]
[60,168], [78,168], [92,168]
Отсюда можно сделать вывод, что нахождение числа по его сумме делителей не
всегда возможно и не всегда однозначно.
Теперь построим график. По оси Х расположим числа, а по оси Y их сумму
делителей (числа от 1 до 1000):
Посмотрим, что же у нас получилось: на графике отчётливо просматриваются
несколько прямых линий, например, нижняя это – простые числа. Верхняя граница –
это наиболее сложные числа (имеющие наибольшее количество делителей) - это не
прямая, но и не парабола. Скорее всего, – это показательная функция (у = а
х).
В мемуарах Эйлера я нашел много интересных мне рассуждений(σ(n) – сумма
делителей числа n): Определив значение σ(n) мы ясно видим, что если p –
простое, то σ(p)= p + 1. σ(1)=1, а если число n – составное, то
σ(n)>1 + n.
Если a, b, c, d – различные простые числа, то мы видим:
σ(ab)=1+a+b+ab=(1+a)(1+b)= σ(a)σ(b)
σ(abcd)= σ(a)σ(b)σ(c)σ(d)
σ(a^2)=1+a+a2=
σ(a^3)=1+a+a2+a3=
И вообще
σ(nn)=
Пользуясь этим:
σ(aqbwcedr)= σ(aq)σ(bw)σ(ce)σ(dr)
Например σ(360), 360 = 23*32*5 => σ(23
) σ(32) σ(5)=15*13*6=1170.
Чтобы показать последовательность сумм делителей приведём таблицу:
n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 0 | - | 1 | 3 | 4 | 7 | 6 | 12 | 8 | 15 | 13 | 10 | 18 | 12 | 28 | 14 | 24 | 24 | 31 | 18 | 39 | 20 | 20 | 42 | 32 | 36 | 24 | 60 | 31 | 42 | 40 | 56 | 30 | 30 | 72 | 32 | 63 | 48 | 54 | 48 | 91 | 38 | 60 | 56 | 40 | 90 | 42 | 96 | 44 | 84 | 78 | 72 | 48 | 124 | 57 | 50 | 93 | 72 | 98 | 54 | 120 | 72 | 120 | 80 | 90 | 60 | 60 | 168 | 62 | 96 | 104 | 127 | 84 | 144 | 68 | 126 | 96 | 70 | 144 | 72 | 195 | 74 | 114 | 424 | 140 | 96 | 168 | 80 | 80 | 186 | 121 | 126 | 84 | 224 | 108 | 132 | 120 | 180 | 90 | 90 | 234 | 112 | 168 | 128 | 144 | 120 | 252 | 98 | 171 | 156 |
Если σ(n) обозначает член любой этой последовательности, а σ(n -
1), σ(n - 2), σ(n - 3). предшествующие члены, то σ(n) всегда
можно получить по нескольким предыдущим членам:
σ(n) = σ(n - 1) + σ(n - 2) - σ(n - 5) - σ(n - 7) +
σ(n - 12) + σ(n - 15) - σ(n - 22) - σ(n – 26) + . (**)
Знаки «+» «-» в правой части формулы попарно чередуются. Закон чисел 1, 2, 5,
7, 12, 15.,которые мы должны вычитать из рассматриваемого числа n, станет
ясен если мы возьмем их разности:
Числа:1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100.
Разности: 1, 3, 2, 5, 3, 7, 4, 9, 5, 11, 6, 13, 7, 15, 8.
В самом деле, мы имеем здесь поочередно все целые числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.
и нечетные 3, 5, 7,9 11.
Хотя эта последовательность бесконечна, мы должны в каждом случае брать
только те члены, для которых числа стоящие под знаком σ, еще
положительны, и опускать σ для отрицательных чисел. Если в нашей формуле
встретиться σ(0), то, поскольку его значение само по себе является
неопределённым, мы должны подставить вместо σ(0) рассматриваемое число
n. Примеры:
σ(1) = σ(0) =1
= 1
σ(2) = σ(1) + σ(0) =
1 + 2 = 3
.
σ(20) = σ(19)+σ(18)-σ(15)-
σ(13)+9σ(8)+σ(5)=20+39-24-14+15+6= 42
Доказательство теоремы (**) я приводить не буду.
Вообще, найти сумму всех делителей числа можно с помощью канонического
разложения натурального числа (это уже было сказано выше). Сумму делителей
числа n обозначают σ(n). Легко найти σ(n) для небольших
натуральных чисел, например σ(12) = 1+2+3+4+6+12=28(это было приведено
выше). Но при достаточно больших числах отыскивание всех делителей, а тем
более их суммы становится затруднительным. Совсем другое дело, если уже
известно, что каноническое
разложение числа n таково:.
Его делителями являются все числа
, для которых 0 ≤ βs ≤ αs, s = 1, .,
k. Ясно, что σ(n) представляет собой сумму всех таких чисел при различных
значениях показателей
β1, β2, . βk. Этот результат мы
получим раскрыв скобки в произведении
По формуле конечного числа членов геометрической прогрессии приходим к равенству
(*)
По этой формуле σ(360) = .
Формулу для вычисления значения функции σ(n) вывел замечательный
английский математик Джон Валлис(1616 - 1703) – один из основателей и первых
членов Лондонского Королевства общества (Академии наук). Он был первым из
английских математиков, начавших заниматься математическим анализом. Ему
принадлежат многие обозначения и термины, применяемые сейчас в математике, в
частности знак ∞ для обозначения бесконечности. Валлис вывел
удивительную формулу, представляющую число π в виде бесконечного
произведения:
Д. Валлис много занимался комбинаторикой и её приложениями к теории шифров,
не без основания считая себя родоначальником новой науки – криптологии (от
греч. «криптос» - тайный, «логос» - наука, учение). Он был одним из лучших
шифровальщиков своего времени и по поручению министра полиции Терло занимался
в республиканском правительстве Кромвеля расшифровкой посланий монархических
заговорщиков.
С функцией σ(n) связан ряд любопытных задач. Например:
1.) Найти пару целых чисел, удовлетворяющих условию: σ(m1)=m
2, σ(m2)=m1.
Некоторые из них не удаётся решить даже с использованием формулы (*). Так,
например, не иначе как подбором можно найти числа, для которых σ(n) есть
квадрат некоторого натурального числа. Такими числами являются 22, 66, 70,
81, 343, 1501, 4479865. Вот ещё две задачи, приведённые в 1657 г. Пьером
Ферма:
1.) найти такое m, для которого σ(m3) – квадрат натурального
числа (Ферма нашёл не одно решение этой задачи);
2.) найти такое m, для которого σ(m2) – куб натурального числа.
Например, одним из решений первой задачи является m = 7, а для второй m = 43098.
С помощью программы Derive, я попробовал найти ещё решения и у меня этого не
получилось. (я рассматривал σ(m3) = n2, где m
принимает значения от 1 до 1000, а n от 1 до 5000 в 1.) и тоже самое в 2.) )
Формулы:
1. DELITELI(m) := SELECT(MOD(m, n) = 0, n, 1, m)
DIMENSION(DELITELI(m))
2. SUMMADELITELEY(m) := Σ
ELEMENT(DELITELI(m), i)
i=1
Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
|