Каталог Рефератов - Реферат: Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Реферат: Центральная предельная теорема и ее доказательство через ряды Тейлора

Прежде чем приступить к рассмотрению центральной предельной теоремы, я считаю

нужным сказать о слабой сходимости.

Пусть задана последовательность случайных величин (далее с. в.) $\{\xi_n\}$

, задано некоторое распределение $\cal F$

с функцией распределения $F_\xi$

и $\xi$ — произвольная

с. в., имеющая распределение $\cal F$

Определение.

Говорят, что последовательность с. в. $\{\xi_n\}$

при $n\to\infty$

сходится слабо или по распределению к с. в. $\xi$

и пишут: $\xi_n\Rightarrow\xi$

, или $F_{\xi_n}\Rightarrow F_\xi$

, или $\xi_n\mbox{ $\Rightarrow$\space }\cal F$

если для любого такого, что

функция распределения $F_\xi$

непрерывна в точке , имеет

место сходимость $F_{\xi_n}(x)\to F_\xi(x)$

при $n\to\infty$ .

Иначе говоря, слабая сходимость — это поточечная сходимость функций

распределения во всех точках непрерывности предельной функции распределения.

Свойство 1.

Если $\xi_n\Rightarrow\xi$ , и функция распределения $F_\xi$ непрерывна в точках и , то

$\mathsf P(\xi_n\in[a,b])\to \mathsf P(\xi\in[a,b])$ и т.д. (продолжить ряд).

Наоборот, если во всех точках и

непрерывности функции распределения $F_\xi$

имеет место, например, сходимость $\mathsf P(\xi_n\in[a,b])\to \mathsf P(\xi\in[a,b])$

, то $\xi_n\Rightarrow\xi$

Следующее важное свойство уточняет отношения между сходимостями.

Свойство 2.

1. Если $\xi_n\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow\xi$ , то $\xi_n\Rightarrow\xi$ .

2. Если $\xi_n\Rightarrow c=\text{const}$ , то $\xi_n\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow c$ .

Свойство 3.

1. Если $\xi_n\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow c=\text{const}$ и $\eta_n\Rightarrow\eta$ , то $\xi_n\cdot\eta_n\Rightarrow c\eta$ .

2. Если $\xi_n\buildrel {\rm p} \over \longrightarrow c=\text{const}$ и $\eta_n\Rightarrow\eta$ , то $\xi_n+\eta_n\Rightarrow c+\eta$ .

Несколько содержательных примеров слабой сходимости я рассмотрю ниже. Но

основной источник слабо сходящихся последовательностей и необычайно мощное и

универсальное средство для асимптотического анализа распределений сумм

независимых и одинаково распределенных случайных величин предоставляет нам

центральная предельная теорема.

Я буду называть следующее утверждение «ЦПТ Ляпунова» (А. М. Ляпунов: 1901), но

сформулирую и докажу теорему Ляпунова только в частном случае, т.е.

для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных

величин.

Центральная предельная теорема.

Пусть $\xi_1,\xi_2,\ldots$

— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и

ненулевой дисперсией: $0<\mathsf D\,\xi_1\ <\infty$

. Обозначим через

сумму первых случайных величин: $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$

Тогда последовательность случайных величин $\dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n\,\mathsf D\,\xi_1}}$

слабо сходится к стандартному нормальному распределению.

Доказательство.

Пусть $\xi_1,\xi_2,\ldots$

— последовательность независимых и одинаково распределенных случайных величин с

конечной и ненулевой дисперсией. Обозначим через

математическое ожидание $\mathsf E\xi_1$

и через $\sigma^2$ —

дисперсию $\mathsf D\xi_1$

. Требуется доказать, что

$\begin{displaymath} \dfrac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}}= \dfrac{\xi_1+\dots+\xi_n-na}{\sigma\sqrt{n}}\mbox{ $\Rightarrow$\space }\mathbf N_{0,1}.\end{displaymath}$

Введем стандартизированные случайные величины $\zeta_i=\dfrac{\xi_i-a}{\sigma}$

— независимые с.в. с нулевыми математическими ожиданиями и единичными

дисперсиями. Пусть

есть их сумма $Z_n=\zeta_1+\dots+\zeta_n=(S_n-na)/\sigma$

. Требуется доказать, что

$\begin{displaymath} \dfrac{Z_n}{\sqrt{n}}\mbox{ $\Rightarrow$\space }\mathbf N_{0,1}.\end{displaymath}$

Характеристическая функция величины ${Z_n}/{\sqrt{n}}$ равна

$\begin{equation} \varphi_{Z_n/\sqrt{n}}(t) \, {\buildrel{{\boldsymbol{\varphi3}}... ...\left(\varphi_{\zeta_1}\left(\dfrac{t}{\sqrt{n}}\right)\right)}^n.\end{equation}$

Характеристическую функцию с.в. $\zeta_1$

можно разложить в ряд Тейлора, в коэффициентах которого использовать известные

моменты $\mathsf E\zeta_1=0$

, $\mathsf E{\zeta_1}^2=\mathsf D\zeta_1=1$

. Получим

$\begin{displaymath} \varphi_{\zeta_1}(t) \, {\buildrel{{\boldsymbol{\varphi6}}}\... ...t^2}{2}\, \mathsf E{\zeta_1}^2 +o(t^2)=1-\dfrac{t^2}{2}+o(t^2).\end{displaymath}$

Подставим это разложение, взятое в точке $t/\sqrt{n}$

, в равенство и устремим к

бесконечности. Еще раз воспользуемся замечательным пределом:

$\begin{displaymath} \varphi_{Z_n/\sqrt{n}}(t)= {\left(\varphi_{\zeta_1}\left(\df... ...t\{-\dfrac{t^2}{2}\right\} \quad \text{ при } \quad n\to\infty.\end{displaymath}$

В пределе получили характеристическую функцию стандартного нормального

закона. По теореме о непрерывном соответствии можно сделать вывод о слабой

сходимости :

$\begin{displaymath} \dfrac{Z_n}{\sqrt{n}}=\dfrac{S_n-na}{\sigma\sqrt{n}} \mbox{ $\Rightarrow$\space }\mathbf N_{0,1}\end{displaymath}$

распределений стандартизованных сумм к стандартному нормальному

распределению, что и утверждается в ЦПТ.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости, и заметив, что функция

распределения $\Phi_{a,\sigma^2}(x)$

любого нормального закона непрерывна всюду на $\mathbb R$

, утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов:

Следствие.

Пусть $\xi_1,\xi_2,\ldots$

— независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и

ненулевой дисперсией. Следующие утверждения эквивалентны друг другу и

равносильны утверждению ЦПТ.

· Для любых вещественных при $n\to\infty$ имеет место сходимость

$\begin{displaymath} \mathsf P \left(x<\dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n\,\... ...0,1}(x)= \int\limits_x^y ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~e^{-t^2/2}\,dt;\end{displaymath}$

· Для любых вещественных при $n\to\infty$ имеет место сходимость

$\begin{displaymath} \mathsf P \left(x\le\dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n\... ...0,1}(x)= \int\limits_x^y ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~e^{-t^2/2}\,dt;\end{displaymath}$

· Для любых вещественных при $n\to\infty$ имеет место сходимость

$\begin{displaymath} \mathsf P \left(x\le\dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n}... ...,\xi_1}} \int\limits_x^y ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~e^{-t^2/2}\,dt;\end{displaymath}$

· Если $\eta$

— произвольная с. в. со стандартным нормальным распределением, то

$\begin{displaymath} \dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n\,\mathsf D\,\xi_1}}\... ...subset$}$\!\!\!\!\! =$\space }{\mathbf N}_{0,\mathsf D\,\xi_1}.\end{displaymath}$

Следствием из ЦПТ является предельная теорема Муавра-Лапласа.

Предельная теорема Муавра — Лапласа.

Пусть — событие, которое

может произойти в любом из

независимых испытаний с одной и той же вероятностью $p=\mathsf P(A)$

. Пусть $\nu_n(A)$ —

число осуществлений события в

испытаниях. Тогда $\dfrac{\nu_n(A)-np}{\sqrt{np(1-p)}}\mbox{ $\Rightarrow$\space } \mathbf N_{0,1}$

Иначе говоря, для любых вещественных при $n\to\infty$ имеет место сходимость

$\begin{displaymath} \mathsf P \left(x\le\dfrac{\nu_n(A)-np}{\sqrt{np(1-p)}} \le ... ...0,1}(x)= \int\limits_x^y ~\frac{1}{\sqrt{2\pi}}~e^{-t^2/2}\,dt;\end{displaymath}$

Доказательство.

По-прежнему $\nu_n(A)$

есть сумма независимых, одинаково распределенных с. в., имеющих распределение

Бернулли с параметром, равным вероятности успеха $p=\mathsf P(A)$

$\begin{displaymath} \nu_n(A)=\xi_1+\dots+\xi_n, \quad \xi_i=I_i(A)=\begin{cases}... ... } A \text{ не произошло в } i-\text{м испытании}; \end{cases} \end{displaymath}$

Осталось воспользоваться ЦПТ.

Ниже я рассмотрю примеры использования ЦПТ.

Пример 1.

З а д а ч а. Монета подбрасывается 10000 раз. Оценить вероятность

того, что частота выпадения герба отличается от вероятности более чем на одну

сотую.

Р е ш е н и е. Требуется найти $\mathsf P\left(\left\vert\dfrac{\nu_n}{n}-\dfrac12\right\vert\gt{,}01\right)$

, где $n={10}^4$ , $\nu_n=\sum_{i=1}^n\xi_i=S_n$

— число выпадений герба, а $\xi_i$

— независимые с. в., имеющие одно и то же распределение Бернулли с параметром

1/2. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на $\sqrt{n}=100$

и поделим на корень из дисперсии $\sqrt{\mathsf D\,\xi_1}=1/2$

одного слагаемого.

$\begin{multline*} \mathsf P\left(\left\vert\dfrac{\nu_n}{n}-\dfrac12\right\vert\... ...\left\vert\dfrac{S_n}{n}-\mathsf E\,\xi_1\right\vert\le 2\right).\end{multline*}$

Согласно ЦПТ или предельной теореме Муавра — Лапласа, последовательность

$\begin{displaymath} \dfrac{\sqrt{n}}{\sqrt{\mathsf D\,\xi_1}} \left(\dfrac{S_n}{... ...t)= \dfrac{S_n-n\,\mathsf E\,\xi_1}{\sqrt{n\,\mathsf D\,\xi_1}}\end{displaymath}$

слабо сходится к стандартному нормальному распределению. Рассмотрим произвольную

с. в. $\eta$ , имеющую

распределение ${\mathbf N}_{0,1}$

Пример 2.

Прекрасным примером ЦПТ в экономике может служить ее использование в страховом

деле. В большинстве случаев конкретный вид распределения потерь (размеров

отдельных требований о выплате страховых сумм) не играет существенной роли,

поскольку сумма исков, предъявляемых страховщику (величина суммарного иска),

обычно зависит только от средней величины и дисперсии убытка. Дело в том, что

если количество страховых случаев значительно превышает единицу, то в силу

центральной предельной теоремы распределение суммарного иска является

нормальным распределением. Обозначив его дисперсию как DZ, а

математическое ожидание (среднее значение суммарного иска) как <Z> =

<N><Q>

- где <N>, <Q> - среднее значение числа страховых случаев и величины

страховой выплаты, получаем следующее выражение для рисковой надбавки Тr

Тr = [(Т0*a)/(<N>*<Q>)]*(<N>*DQ + <Q>2*DN) 0.5

- где DQ и DN -дисперсии величины страховой выплаты и

количества страховых случаев.

В простейшем случае, когда все выплаты одинаковы (а, следовательно, их

дисперсия равна нулю), имеем:

Тr = (Т0*a)/N0.5

Эта формула также дает неплохое приближение, если коэффициент вариации уровня

страховых выплат значительно меньше единицы.

При включении в страховой полис нескольких независимых рисков ожидаемая

величина страховых выплат в соответствии с теоремой о сложении вероятностей

представляет собой сумму ожидаемых страховых выплат по каждому риску в

отдельности, а рисковая надбавка вычисляется как среднеквадратичная величина

всех рисковых надбавок.

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.