мрак. никогда не прояснится на земле, и никогда несчастный род человеческий

не будет владеть чем-либо совершенным даже в геометрии. Это большая и вечная

рана в моей душе.». Беспросветный мрак, о котором с горечью писал старший

Бойяи, рассеял Лобачевский и, несколько позднее, Я. Бояи.

Кант об априорных понятиях

В то время многие математики с воодушевлением восприняли философскую теорию

Иммануила Канта о человеческом познании. В «Пролегоменах ко всякой будущей

метафизике, могущей появиться как наука» (1783) он писал: «Мы можем с

достоверностью сказать, что некоторые чистые априорные синтетические познания

имеются и нам даны, а именно чистая математика и чистое

естествознание, потому что оба содержат положения, частью аподиктически

достоверные на основе одного только разума, частью же на основе общего

согласия из опыта и тем не менее повсеместно признанные независимыми от опыта».

«Критика чистого разума» (1781) Канта начинается еще более обнадеживающими

словами. Кант утверждает, что все аксиомы и теоремы математики истинны. Он

говорит, что наш разум сам по себе владеет формами пространства и времени.

Пространство и время представляют собой разновидности восприятия (называемые

Кантом интуитивными представлениями), посредством которых разум созерцает

опыт. Мы воспринимаем, организуем и осознаем опыт в соответствии с этими

формами созерцания разум накладывает формы созерцания на полученные им

чувственные восприятия, вынуждая те подстраиваться под заложенные в нем

схемы. Так как интуитивное представление о пространстве берет свое начало в

разуме, некоторые свойства пространства разум автоматически. Такие

утверждения, как «прямая – кратчайший путь между двумя точками», «через три

точки, не лежащие на одной прямой, можно провести плоскость, и притом только

одну», или как постулат Евклида о параллельных, Кант называет априорными

искусственными истинами. Они составляют неотъемлемую часть нашего

умственного багажа. Геометрия занимается изучением лишь логических следствий

из таких утверждений. Уже одно то, что наш разум созерцает опыт через

изначально присущие ему «пространственные структуры», означает, что опыт

согласуется с априорными синтетическими истинами и теоремами. Порядок и

рациональность, которые мы, как нам кажется, воспринимаем во внешнем мире, в

действительности проецируется на внешний мир нашим разумом и формами нашего

мышления.

Конструируя пространство на основе работы клеток головного мозга человека,

кант не видел причин для отказа от евклидова пространства. Собственную

неспособность представить другие геометрии Кант счел достаточным основанием,

чтобы утверждать, что другие геометрии не могут существовать.

Появление неевклидовой геометрии

Но многовековые попытки доказательства пятого постулата Евклида привели в

конце концов к появлению новой геометрии, отличающейся от евклидовой тем, что

в ней V постулат не выполняется. Эта геометрия теперь называется

неевклидовой, а в России носит имя Лобачевского, который впервые опубликовал

работу с ее изложением.

И одной из предпосылок геометрических открытий Н. И. Лобачевского (1792-

1856) был как раз его материалистический подход к проблемам познания.

Лобачевский Он был твердо уверен в объективном и не зависящем от

человеческого сознания существовании материального мира и в возможности его

познания. В речи «О важнейших предметах воспитания» (Казань, 1828)

Лобачевский сочувственно приводит слова Ф. Бэкона: «оставьте трудиться

напрасно, стараясь извлечь из одного разума всю мудрость; спрашивайте

природу, она хранит все истины и на все вопросы ваши будет отвечать вам

непременно и удовлетворительно». В своем сочинении «О началах геометрии»,

являющемся первой публикацией открытой им геометрии, Лобачевский писал:

«первые понятия, с которых начинается какая-нибудь наука, должны быть ясны и

приведены к самому меньшему числу. Тогда только они могут служить прочным и

достаточным основанием учения. Такие понятия приобретаются чувствами;

врожденным – не должно верить». Тем самым Лобачевский отвергал идею об

априорном характере геометрических понятий, поддерживавшуюся И. Кантом.

Первые попытки Лобачевского доказать пятый постулат относятся к 1823 году. К

1826 году он пришел к убеждению в том, что V постулат не зависит от остальных

аксиом геометрии Евклида и 11(23) февраля 1826 года сделал на заседании

факультета казанского университета доклад «Сжатое изложение начал геометрии

со строгим доказательством теоремы о параллельных», в котором были изложены

начала открытой им «воображаемой геометрии», как он называл систему, позднее

получившую название неевклидовой геометрии. Доклад 1826г. вошел в состав

первой публикации Лобачевского по неевклидовой геометрии – статьи «О началах

геометрии», напечатанной в журнале Казанского университета «Казанский

вестник» в 1829-1820гг. дальнейшему развитию и приложениям открытой им

геометрии были посвящены мемуары «Воображаемая геометрия», «Применение

воображаемой геометрии к некоторым интегралам» и «Новые начала геометрии с

полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых записках»

соответственно в 1835, 1836 и 1835-1838 гг. Переработанный текст

«Воображаемой геометрии» появился во французском переводе в Берлине, там же в

1840г. вышли отдельной книгой на немецком языке «Геометрические исследования

по теории параллельных линий» Лобачевского. Наконец, в 1855 и 1856 гг. он

издал в Казани на русском и французском языках «Пангеометрию».

Высоко оценил «Геометрические исследования» Гаусс, который провел

Лобачевского (1842) в члены-корреспонденты Геттингенского ученого общества,

бывшего по существу Академией наук ганноверского королевства. Однако в печати

в оценкой новой геометрической системы Гаусс не выступил.

Исследования Гаусса по неевклидовой геометрии

Высокая оценка гауссом открытия Лобачевского была связана с тем, что Гаусс,

еще с 90-х годов XVIII в. занимавшийся теорией параллельности линий ,пришел к

тем же выводам, что и Лобачевский. Свои взгляды по этому вопросу Гаусс не

публиковал, они сохранились только в его черновых записках и в немногих

письмам к друзьям. В 1818 г. в письме к австрийскому астроному Герлингу

(1788-1864) он писал: «Я радуюсь, что вы имеете мужество высказаться так, как

если бы Вы признавали ложность нашей теории параллельных, а вместе с тем и

всей нашей геометрии. Но осы, гнездо которых Вы потревожите, полетят Вам на

голову»; по-видимому, под «потревоженными осами» Гаусс имел в виду

сторонников традиционных взглядов на геометрию, а также априоризма

математических понятий.

Янош Бояи.

Независимо от Лобачевского и гаусса к открытию неевклидовой геометрии пришел

венгерский математик Янош Бояи (1802-1860), сын Ф. Бояи.

Когда Я. Бояи пришел к тем же идеям, что Лобачевский и гаусс, отец не понял

его, однако предложил напечатать краткое изложение его открытия в виде

приложения к своему руководству по математике, вышедшему в 1832г. Полное

название труда Я. Бояи – «Приложение, содержащее науку о пространстве,

абсолютно истинную, не зависящую от истинности или ложности XI аксиомы

Евклида (что a priori никогда решено быть не может)» и его обычно коротко

называют просто «Аппендикс». Открытие Я. Бояи не было признано при его жизни;

Гаусс, которому Ф. Бояи послал "Аппендикс", понял его, но никак не

способствовал признанию открытия Я. Бояи.

Геометрия Лобачевского

В мемуаре «О началах геометрии» (1829) Лобачевский прежде всего воспроизвел

свой доклад 1826г.

Он определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и

заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть

, как это имеет место у сферических треугольников, Лобачевский заявляет: «Мы

видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть

. Остается предполагать эту сумму

или . То и другое

может быть принято без всякого противоречия впоследствии, от чего и происходят

две Геометрии: одна, употребительная доныне по своей простоте, соглашается со

всеми измерениями на самом деле; другая, воображаемая, более общая и потому

затруднительная в своих вычислениях, допускает возможность зависимости линий от

углов».

Лобачевский указывает, что в

«воображаемой геометрии» сумма углов треугольника всегда

и две прямые могут не пересекаться в случае, когдаони образуют с секущей углы, в

сумме меньшие .

Параллельные прямые определяются как такие, которые не пересекаются, но могут

быть получены предельным переходом из пересекающихся. Через каждую точку

плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой

плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на

четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую,

а в двух – прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены

предельным переходом из пересекающихся – такие прямые называются расходящимися;

параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис.

условно изображены прямые

и , проведенные

через точку А параллельно прямой

, прямые и

, проведенные через точку А и пресекающие прямую

, и прямые и

, расходящиеся с прямой

). Угол между

прямой, проведенной через точку А параллельно прямой

, и перпендикуляром, опущенным из А на

, Лобачевский называет «углом параллельности» и показывает, что функция

, выражающая зависимость этого угла от длины а перпендикуляра, может

быть (в современных обозначениях) записана в виде

=2arctg

Страницы: 1, 2, 3