может быть любое целое число;

2) дроби систематические, у которых числителями могут быть любые числа,

знаменателями же – только числа некоторого частного вида, например степени

десяти или шестидесяти;

3) дроби общего вида, у которых числители и знаменатели могут быть любыми

числами.

Изобретение этих трёх различных видов дробей представляло для человечества

разные степени трудности, поэтому разные виды дробей появлялись в разные

эпохи.

Знакомство человека с дробными числами началось с единичных дробей с малыми

знаменателями.

Понятия «половина», «треть», «четверть», «осьмушка» употребляются часто

людьми, которые арифметике дробных чисел никогда не обучались. Эти простейшие

дроби изобрёл каждый народ самостоятельно в ходе своего развития.

Единичные дроби. Древние египтяне, несмотря на то, что в течение

нескольких тысячелетий своей истории развили высокую культуру, оставили после

себя прекрасные памятники искусства, владели многими отраслями техники,

однако в арифметике дробных чисел не пошли далее изобретения единичных дробей

(и дроби ). Если

задача приводила к ответу, который мы выражаем дробным числом, египтяне его

представляли в виде суммы единичных дробей или долей. Если, например, ответ по

нашему был, египтяне

представляли его в виде суммы

++

и писали без знаков сложения:

. Без знака сложения обходились и многие позднейшие народы, понимая писание

дробей рядом, как сложение. Этот египетский способ письма частично сохранился и

у нас. Мы пишем смешанные числа, ставя рядом, без какого-либо соединяющего

знака, число целых единиц и дробей, и понимаем запись, как сумму: пишем

вместо .

Может показаться, что египетский способ пользования одними лишь единичными

дробями делал решение задач сложным. Не всегда это так. Например, египетский

автор решает задачу: нужно разделить 7 хлебов поровну между восемью лицами. Мы

сказали бы, что каждый получает

хлеба.

Для египтянина не было числа

, но он знал, что от деления 7 на 8 получается

++

. Этот факт подсказывает ему, что для делёжа семи хлебов между восемью лицами

нужно иметь 8 половинок, 8 четвертей и 8 осьмушек. Он режет 4 хлеба пополам, 2

хлеба – на четвертинки и 1 хлеб – на осьмушки и распределяет доли между

получающими. Для делёжа пришлось сделать всего 4+6+7=17 разрезов.

Кладовщик, работающий в наши дни, которому предстоит такая же задача деления

хлебов, сообразив, что каждому получателю надо дать семь восьмушек, быть

может, сочтет нужным разрезать все 7 хлебов предварительно на восьмушки, для

чего ему требуется сделать 7х7=49 размеров. Как видим, в этой задаче

египетский способ решения является более практичным.

Решение задач практической жизни при помощи одних лишь долей (египетский

способ) имело место почти у всех европейских народов, начиная с греков.

Систематические дроби. Одновременно с единичными дробями появились и

систематические дроби. Самый ранний по времени вид таких дробей есть

шестидесятеричные дроби, употреблявшиеся в древнем Вавилоне. В этих дробях

знаменателем служат числа 60; 602 = 3600, 603 = 261 000,

604, 605 и т.д., и они сходны с нашими десятеричными

дробями.

Шестидесятеричными дробями пользовались все культурные народы до XVII века,

особенно в научных работах, поэтому они и назывались физическими или

астрономическими дробями, а дроби общего вида, в отличие от них – обыкновенными

или народными. Следы пользования этими дробями остались у нас до сих пор:

минута есть 1/60, секунда 1/602 = 1/3600, терция 1/603 =

1/216 000 часть числа.

Десятичные дроби. Десятичные дроби представляют также вид систематических

дробей.

К десятичным дробям математики пришли в разные времена в Азии и в Европе.

Зарождение и развитие десятичных дробей в некоторых странах Азии было тесно

связано с метрологией (учением о мерах). Уже во II в. до н.э. там

существовала десятичная система мер длины.

Примерно в III в н.э. десятичный счет распространился на меры массы и объёма.

Тогда и было создано понятие о десятичной дроби, сохранившей метрологическую

форму.

Вот, например, какие меры массы существовали в Китае в X веке: 1 лан = 10 цянь =

102 фэнь = 103 ли = 104 хао = 105

сы = 106 хо.

Если вначале десятичные дроби выступали в качестве метрологических,

конкретных дробей, десятых, сотых и т.д. частей более крупных мер,

то позже они по существу стали все более приобретать характер отвлеченных

десятичных дробей.

Целую часть от дробной стали отделять особым иероглифом «дянь» (точка).

Однако в Китае, как и в древние, так и в средние века десятичные дроби не

имели полной самостоятельности, оставаясь в той или иной мере связанными с

метрологией.

Более полную и систематическую трактовку получают десятичные дроби в трудах

среднеазиатского ученного ал-Каши в 20-х годах XV в. Независимо от него, в

80-х годах XVI в. десятичные дроби были «открыты» заново в Европе

нидерландским математиком Симоном Стевином.

В Средней Азии и в Европе ученые пришли к десятичным дробям по аналогии с

шестидесятеричными и разработали теорию десятичных дробей.

В середине века ученые пользовались десятичной нумерацией для вычислений с

целыми числами, а шестидесятеричной – для вычислений с дробями в

астрономии и других отраслях науки. Это породило трудности, связанные с

переходом от одного основания к другому.

Нелегко усваивались обыкновенные дроби. Вообще считались самым трудным

разделом арифметики. Поныне у немцев осталась поговорка «Попал в дроби», т.е.

попал в трудное положение.

Идея шестидесятеричных дробей, идея одинакового систематического подразделения

целого на одни и те же доли, с одной стороны, привели к мысли о десятичных

дробях.

Среднеазиатский город Самарканд был в XV в. большим культурным центром. Там в

знаменитой обсерватории, созданной видным астрономом Улугбеком, внуком

Тамерлана, работал в 20-х годах XV в. крупный ученый того времени – Джемшид

Гиясэддин ал-Каши. Это он впервые изложил учение о десятичных дробях.

В своей книге «Ключ арифметики», написанной в 1427 г., ал-Каши пишет:

«Астрономы применяют дроби, последовательными знаменателями которых являются

60 и его последовательные степени. По аналогии мы ввели дроби, в которых

последовательными знаменателями являются 10 и его последовательные степени.».

Ал-Каши называет сотые доли «десятичными секундами», тысячные – «десятичными

терциями» и т.д. Термины эти заимствованы из шестидесятеричной нумерации.

Вводя десятичные дроби, ал-Каши поставил себе задачу создать простую и

удобную систему дробей, основанную на десятичной нумерации и имеющую те же

преимущества, которые имели для вавилонян шестидесятеричные дроби.

Ал-Каши излагает правила и приводит примеры действий с десятичными дробями. Оно

вводит специфическую для десятичных дробей запись: целая и дробная часть

пишутся в одной строке. Для отделения первой части от дробной он не применяет

запятую[1], а пишет целую часть черными

чернилами, дробную же – красными или отделяет целую часть от дробной

вертикальной чертой.

Открытие десятичных дробей ал-Каши стало известно в Европе лишь спустя 300 лет

после того, как эти дроби были в конце XVI в. заново открыты С. Стевиным

[2].

Фламандский инженер и ученый Симон Стевин (1548-1620), около 150 лет после

ал-Каши, изложил учение о десятичных дробях в Европе. В 1585 г. он написал

небольшую книгу под названием «Десятая».

Эта книга состояла всего лишь из 7 страниц, однако содержала всю теорию

десятичных дробей.

Запись десятинных дробей у Стевина была отличной от нашей. Вот,например, как

он записывал число 35,912:

35 0 9 1 1 2 2 3 или

Итак, вместо запятой нуль в кружке. В других кружках или над цифрами

указывается десятичный разряд: 1 – десятые, 2 – сотые и т.д.

Стевик указывал на большое практическое значение десятичных дробей и

настойчиво пропагандировал их. Он был первым ученым, потребовавшим введения

десятичной системы мер и весов. Эта мечта ученого была осуществлена лишь

спустя свыше 200 лет, когда была создана метрическая система мер.

Дробь общего вида. Дроби общего вида

, в которых и m, и n могут быть произвольными целыми числами, появляются уже в

некоторых сочинениях Архимеда. Простейшие из таких дробей (2/3, 3/4) постепенно

входят в употребление в житейской практике. Индусы уже в первые века нашего

летосчисления установили современные правила действий над обыкновенными

дробями. Эти правила через руководство среднеазиатских математиков – ал-Хорезми

и других – вошли в европейские учебники арифметики. Это случилось ранее

распространения десятичных дробей.

В «Арифметики» (1703) первого русского педагога-математика Леонтия

Филипповича Магницкого (1669-1739) обыкновенные дроби излагаются подробно,

десятичные же дроби – в специальной главе, как некоторый новый вид счисления,

не имевшего при тогдашней системе мер большого практического значения. Только

с введением метрической (десятичной) системы мер десятыми дроби заняли

подобающее место в нашем обиходе.

2.3. Рациональные числа

Числа целые, дробны (положительные и отрицательные) и нуль получили общее

название рациональных чисел. Совокупность рациональных чисел обладает

свойством замкнутости по отношению к четырем арифметическим действиям. Это

значит, что сумма, разность, произведение и частное (кроме частного при делении

на нуль, к-ое не имеет смысла) любых двух рациональных чисел является снова

рациональным числом. Совокупность рациональных чисел упорядочена в отношении

понятий «больше» и «меньше». Далее, совокупность рациональных чисел обладает

свойством плотности: между любыми двумя различными рациональными числами

находится бесконечно много рациональных чисел. Это даёт возможность при помощи

рациональных чисел осуществлять измерение (например, длины отрезка в выбранной

единице масштаба) с любой степенью точности. Таком образом, совокупность

рациональных чисел оказывается достаточной для удовлетворения многих

практических потребностей. Формальное обоснование понятий дробного и

отрицательного числа было осуществлено в 19 в. и не представило, в отличие от

обоснования натурального числа, принципиальных затруднений.

Совокупность рациональных чисел оказалась недостаточной для изучения непрерывно

изменяющихся переменных величин. Здесь оказалось необходимым новое расширение

понятий числа, заключающееся в переходе от множества рациональных чисел к

множеству действительных (вещественных) чисел. Этот переход

состоит в присоединении к рациональным числам т.н. иррациональных чисел.

[1] Запятая вообще, как знак препинания,

была введена на рубеже XV и XVI вв. венецианским типографом Альф Мануцци. Он же

стал прилагать к книгам оглавление

[2] До Симона Стевина десятичные дроби

употребляли Рудольфом, Ризе и Виет. Виет явно рекомендовал применять десятичные

дроби вместо шестидесятеричных. Число 314, 1592636, например, Виет записывал

так: 314, 159, 263,6.

Страницы: 1, 2, 3, 4