логических задач.

1.2 Психологические предпосылки использования нестандартных логических

задач на уроке математики в начальной школе

Логические и психологические исследования последних лет (в особенности

работы Ж. Пиаже) вскрыли связь некоторых "механизмов" детского мышления с

общематематическими и общелогическими понятиями.

На первый взгляд понятия "отношение", "структура", "законы композиции"

и др., имеющие сложные математические определения, не могут быть связаны с

формированием математических представлений у маленьких детей. Конечно, весь

подлинный и отвлеченный смысл этих понятий и их место в аксиоматическом

построении математики как науки есть объект усвоения уже хорошо развитой и

"натренированной" в математике головы. Однако некоторые свойства вещей,

фиксируемые этими понятиями, так или иначе проступают для ребенка уже

сравнительно рано: на это имеются конкретные психологические данные.

Прежде всего следует иметь в виду, что от момента рождения до 7 - 10

лет у ребенка возникают и формируются сложнейшие системы общих

представлений об окружающем мире и закладывается фундамент содержательно-

предметного мышления. Причем на сравнительно узком эмпирическом материале

дети выделяют общие схемы ориентации в пространственно-временных и причинно-

следственных зависимостях вещей. Эти схемы служат своеобразным каркасом той

"системы координат", внутри которой ребенок начинает все глубже овладевать

разными свойствами многообразного мира. Конечно, эти общие схемы мало

осознаны и в малой степени могут быть выражены самим ребенком в форме

отвлеченного суждения. Они, говоря образно, являются интуитивной формой

организации поведения ребенка (хотя, кoнечно, все более и более

отображаются и в суждениях).

В последние десятилетия особенно интенсивно вопросы формирования

интеллекта детей и возникновения у них общих представлений о

действительности, времени и пространстве изучались известным швейцарским

психологом Ж. Пиаже и его сотрудниками. Некоторые его работы имеют прямое

отношение к проблемам развития математического мышления ребенка.

В одной из своих последних книг, написанной совместно с Б. Инельдер

([10]), Ж. Пиаже приводит экспериментальные данные о генезисе и

формировании у детей (до 12 - 14 лет) таких элементарных логических

структур, как классификация и сериация. Классификация предполагает

выполнение операции включения (например, А + А' = В) и операции, ей

обратной (В - А' = А). Сериация - это упорядочение предметов в

систематические ряды (так, палочки разной длины можно расположить в ряд,

каждый член которого больше всех предыдущих и меньше всех последующих).

Анализируя становление классификации, Ж. Пиаже и Б. Инельдер

показывают, как от ее исходной формы, от создания "фигурной совокупности",

основанной лишь на пространственной близости объектов, дети переходят к

классификации, основанной уже на отношении сходства ("нефигурные

совокупности"), а затем к самой сложной форме - к включению классов,

обусловленному связью между объемом и содержанием понятия. Авторы

специально рассматривают вопрос о формировании классификации не только по

одному, но и по двум-трем признакам, о формировании у детей умения изменять

основание классификации при добавлении новых элементов. Аналогичные стадии

авторы находят и в процессе становления сериации.

Эти исследования преследовали вполне определенную цель - выявить

закономерности формирования операторных структур ума и прежде всего такого

их конституирующего свойства как обратимость, т.е. способности ума

двигаться в прямом и обратном направлении. Обратимость имеет место тогда,

когда "операции и действия могут развертываться в двух направлениях, и

понимание одного из этих направлений вызывает ipso facto (в силу самого

факта) понимание другого" ([10], стр. 15).

Ж. Пиаже считает, что психологическое исследование развития

арифметических и геометрических операций в сознании ребенка (особенно тех

логических операций, которые осуществляют в них предварительные условия)

позволяет точно соотнести операторные структуры мышления со структурами

алгебраическими, структурами порядка и топологическими. Так, алгебраическая

структура ("группа") соответствует операторным механизмам ума,

подчиняющимся одной из форм обратимости - инверсии (отрицанию). Группа

имеет четыре элементарных свойства: произведение двух элементов группы

также дает элемент группы; прямой операции соответствует одна и только одна

обратная; существует операция тождества; последовательные композиции

ассоциативны. На языке интеллектуальных действий это означает:

координация двух систем действия составляет новую схему, присоединяемую к

предыдущим;

операция может развиваться в двух направлениях;

при возвращении к исходной точке мы находим ее неизменной;

к одной и той же точке можно прийти разными путями, причем сама точка

остается неизменной.

Структуре порядка соответствует такая форма обратимости, как

взаимность (перестановка порядка). В период от 7 до 11 лет система

отношений, основанная на принципе взаимности, приводит к образованию в

сознании ребенка структуры порядка.

Рассмотрим основные положения, сформулированные Ж. Пиаже,

применительно к вопросам построения учебной программы. Прежде всего,

исследования Ж. Пиаже показывают, что в период дошкольного и школьного

детства у ребенка формируются такие операторные структуры мышления, которые

позволяют ему оценивать фундаментальные характеристики классов объектов и

их отношений. Причем уже на стадии конкретных операций (с 7 - 8 лет)

интеллект ребенка приобретает свойство обратимости, что исключительно важно

для понимания теоретического содержания учебных предметов, в частности

математики.

Эти данные говорят о том, что традиционная психология и педагогика не

учитывали в достаточной мере сложного и емкого характера тех стадий

умственного развития ребенка, которые связаны с периодом от 7 до 11 лет.

Сам Ж. Пиаже эти операторные структуры прямо соотносит с основными

математическими структурами. Он утверждает, что математическое мышление

возможно лишь на основе уже сложившихся операторных структур (и при этом

остается в тени объект этих операций). Это обстоятельство можно выразить и

в такой форме: не "знакомство" с математическими объектами и усвоение

способов действия с ними определяют формирование у ребенка операторных

структур ума, а предварительное образование этих структур (как "координации

действий") является началом математического мышления, "выделения"

математических структур.

Рассмотрение результатов, полученных Ж. Пиаже, позволяет сделать ряд

существенных выводов применительно к конструированию учебной программы по

математике. Прежде всего, фактические данные о формировании интеллекта

ребенка с 7 до 11 лет говорят о том, что ему в это время не только не

"чужды" свойства объектов, описываемые посредством математических понятий

"отношение - структура" но последние сами органически входят в мышление

ребенка.

Традиционные задачи начальной школьной программы по математике не

учитывают этого обстоятельства. Поэтому они не реализуют многих

возможностей, таящихся в процессе интеллектуального развития ребенка. В

этой связи практика внедрения в начальный школьный курс математики

логических задач должна стать нормальным явлением.

Материалы, имеющиеся в современной детской психологии, позволяют

положительно оценивать общую идею внедрения в учебные программы таких

задач, в основе которого лежали бы понятия об исходных математических

структурах. Конечно, на этом пути возникают большие трудности, так как еще

нет опыта построения такого учебного предмета. В частности, одна из них

связана с определением возрастного "порога", с которого осуществимо

обучение по новой программе. Если следовать логике Ж. Пиаже, то, видимо, по

этим программам можно учить лишь тогда, когда у детей уже полностью

сформировались операторные структуры (с 14 - 15 лет). Но если предположить,

что реальное математическое мышление ребенка формируется как раз внутри

того процесса, который обозначается Ж. Пиаже как процесс складывания

операторных структур, то эти программы можно вводить гораздо раньше

(например, с 7 - 8 лет), когда у детей начинают формироваться конкретные

операции с высшим уровнем обратимости. В "естественных" условиях, при

обучении по традиционным программам формальные операции, возможно, только и

складываются к 13 - 15 годам. Но нельзя ли "ускорить" их формирование путем

более раннего введения такого учебного материала, усвоение которого требует

прямого анализа математических структур?

Представляется, что такие возможности есть. К 7 - 8 годам у детей уже

в достаточной мере развит план мыслительных действий, и путем обучения по

соответствующей программе, в которой свойства математических структур даны

"явно" и детям даются средства их анализа, можно быстрее подвести детей к

уровню "формальных" операций, чем в те сроки, в которые это осуществляется

при "самостоятельном" открытии этих свойств.

При этом важно учитывать следующее обстоятельство. Есть основания

полагать, что особенности мышления на уровне конкретных операций,

приуроченном Ж. Пиаже к 7 - 11 годам, сами неразрывно связаны с формами

организации обучения, свойственными традиционной начальной школе. Это

обучение (и у нас, и за рубежом) ведется на основе предельно эмпирического

содержания, зачастую вообще не связанного с понятийным (теоретическим)

отношением к объекту. Такое обучение поддерживает и закрепляет у детей

мышление, опирающееся на внешние, прямым восприятием уловимые признаки

вещей.

Таким образом, в настоящее время имеются фактические данные,

показывающие тесную связь операторных структур детского мышления и

общематематических и общелогических структур, хотя "механизм" этой связи

далеко не ясен и почти не исследован. Наличие этой связи открывает

принципиальные возможности для построения учебного предмета,

развертывающегося по схеме "от простых структур - к их сложным сочетаниям".

И значительное место в таком построении должно принадлежать широкому

применению в процессе обучения младших школьников нестандартных логических

задач.

Глава II. Методика использования логических задач на уроках математики в

начальной школе

2.1 Интегрированное обучение и развитие мышления в простой игре

Общее соображение о важности широкого внедрения в школьный урок

математики нестандартных логических задач дополним описанием

соответствующих методических установок. Ниже рассмотрим методику

использования на уроках математики в начальной школе специального типа

логических задач, связанных с внедрением в сознание ребенка основных

понятий математической логики. Эта методика была разработана ведущим

отечественным методистом А.А. Столяром.

"Главная задача обучения математике, причем с самого начала, с первого

класса, - учить рассуждать, учить мыслить", - писал А.А. Столяр ([9], c.

11). Для достижения наилучших результатов в освоении учащимися основ

логического мышления и в изучении геометрических фигур А.А. Столяр

использовал в своей практике игру с кругами, рассмотрение которой

произведено ниже.

Игра с кругами, созданная на основе известных кругов Эйлера, позволяет

обучать классифицирующей деятельности, закладывает понимание логических

операций: отрицания - не, конъюнкции - и, дизъюнкции - или. Перечисленные

логические операции имеют важнейшее значение, так как различные их

комбинации образуют всевозможные и сколь угодно сложные логические

структуры. Из функциональных элементов, реализующих логические операции не,

и, или, конструируются схемы современных ЭВМ.

К концу дошкольного возраста у ребенка проявляются признаки

логического мышления. В своих рассуждениях он начинает использовать

логические операции и на их основе строить умозаключения. Очень важно в

Страницы: 1, 2, 3, 4