заключение доказательства Ферма ссылается на то, что недостаток времени и

места не позволяют ему дать более полное объяснение. Несмотря на отсутствие

многих важных деталей в беглых заметках Ферма, в них отчетливо

просматривался один из способов доказательства от противного, известный под

названием метода бесконечного спуска.

Чтобы доказать, что уравнение x4 + y4 = z4 не допускает решения в целых

числах, Ферма начал с предположения о существовании гипотетического решения

в целых числах

x = X1, y = Y1, z = Z1.

При изучении свойств чисел (X1, Y1, Z1) Ферма показал, что если бы такое

гипотетическое решение действительно существовало, то существовало бы

меньшее решение (X2, Y2, Z2). Рассматривая это новое решение, Ферма смог

показать, что если бы оно существовало, то существовало бы еще меньшее

решение (X3, Y3, Z3) и т.д.

Эйлер попытался воспользоваться методом бесконечного спуска в качестве

исходного пункта при построении общего доказательства для всех других

степеней в уравнении Ферма. Он хотел получить доказательство для всех n

вплоть до бесконечности, но прежде всего он хотел «опуститься на одну

ступень» и получить доказательство при n=3. В письме к прусскому математику

Христиану Гольдбаху в августе 1753 года Эйлер сообщил, что ему удалось

приспособить метод бесконечного спуска и успешно доказать Великую теорему

Ферма для случая n=3. Так через сто лет после смерти Ферма впервые удалось

сделать первый шаг на пути к решению его проблемы.

И до Эйлера некоторые математики уже пытались приспособить метод

бесконечного спуска Ферма для решения уравнения Ферма в целых числах при n,

отличных от 4, но всякий раз попытка распространить метод приводила к каким-

нибудь проблемам в логике. И только Эйлер показал, что, используя число i,

можно заткнуть все дыры в доказательстве и заставить метод бесконечного

спуска работать при n=3.

Это было грандиозное достижение, но повторить успех при других значениях n

Эйлеру не удалось. К сожалению, все попытки применить те же рассуждения к

другим значениям вплоть до бесконечности закончились провалом. И математик,

решивший больше задач, чем кто-либо другой за всю историю, был вынужден

признать поражение — Великая теорема Ферма оставалась неприступной.

Единственным утешением для Эйлера было то, что он осуществил первый

серьезный прорыв в «круговой обороне» труднейшей математической проблемы в

мире.

Подход Софи Жермен

Оказалось, что доказательство для случая n=4 остается в силе при n=8, 12,

16, 20, ... . Дело в том, что любое число, представимое в виде 8-й (а также

12-й, 16-й, 20-й, ...) степени некоторого числа, представимо и в виде 4-й

степени какого-то другого целого числа. Например, число 256 равно 28, но

оно равно и 44. Следовательно, любое доказательство, которое «работает» для

4-й степени, остается в силе для 8-й и любой другой степени, кратной 4. На

основе того же принципа можно утверждать, что эйлеровское доказательство

для n=3 автоматически переносится на n=6, 9, 12, 15, ... . Тем самым

Великая теорема Ферма утратила свой неприступный вид и оказалась верной

сразу для многих чисел n.

К началу XIX века за Великой теоремой Ферма установилась устойчивая

репутация самой трудной проблемы в теории чисел. После прорыва,

осуществленного Эйлером, не было ни малейшего продвижения, пока

сенсационное заявление одной юной француженки не вдохнуло новые надежды.

Поиски доказательства Великой теоремы Ферма возобновились с новой силой.

Софи Жермен выпало жить в эпоху шовинизма и предрассудков, и для того,

чтобы иметь возможность заниматься математикой, ей пришлось принять

псевдоним, работать в ужасных условиях и творить в интеллектуальной

изоляции.

Софи заинтересовалась теорией чисел и, естественно, не могла не услышать о

Великой теореме Ферма. Несколько лет Жермен проработала над ее

доказательством и, наконец, достигла такого этапа, когда ей показалось, что

она смогла продвинуться к желанной цели. Возникла насущная необходимость

обсудить полученные результаты с коллегой, специалистом по теории чисел, и

Жермен решилась обратиться к самому большому специалисту по теории чисел —

немецкому математику Карлу Фридриху Гауссу.

Семьюдесятью пятью годами ранее Эйлер опубликовал найденное им

доказательство для n=3, и с тех пор все математики тщетно пытались доказать

Великую теорему Ферма в других частных случаях. Но Жермен избрала новую

стратегию и в письмах к Гауссу изложила так называемый общий подход к

проблеме Ферма. Иначе говоря, ее непосредственной целью было не

доказательство отдельного случая — Жермен вознамерилась сказать нечто о

многих частных случаях сразу. В письмах к Гауссу она изложила общий ход

вычислений, сосредоточенных на простых числах p частного типа: таких, что

числа 2p+1 — также простые. В составленный Жермен перечень таких простых

чисел входит число 5, поскольку 11=2·5+1 — также простое, но число 13 в

него не входит, так как 27 = 2·13 + 1 не простое.

В частности, Жермен с помощью изящного рассуждения, доказала, что если

уравнение xn + yn = zn имеет решения для таких простых n, что 2n+1 также

простое число, то либо x, y, либо z делится n.

После прогресса, достигнутого благодаря работам Софи Жермен, Французская

Академия Наук установила серию премий, включая золотую медаль и 3000

франков, тому математику, который сумеет наконец разгадать тайну Великой

теоремы Ферма. Того, кто сумеет доказать теорему, ждала не только

заслуженная слава, но и значительное материальное вознаграждение. Салоны

Парижа полнились слухами относительно того, какую стратегию избрал тот или

иной претендент и как скоро объявят результаты конкурса. Наконец 1 марта

1847 года, Академия собралась на самое драматическое из своих заседаний.

Два конверта

В протоколах заседания подробно описывается, как Габриель Ламе, семью

годами раньше доказавший Великую теорему Ферма для n=7, взошел на трибуну

перед самыми знаменитыми математиками XIX века и заявил, что находится на

пороге доказательства Великой теоремы Ферма для общего случая. Ламе

признал, что его доказательство еще не полно, но он обрисовал в общих

чертах свой метод и не без удовольствия сообщил, что через несколько недель

опубликует полное доказательство в журнале, издаваемом Академией.

Аудитория замерла от восторга, но едва Ламе покинул трибуну как слова

попросил еще один из лучших парижских математиков Огюстен Луи Коши.

Обращаясь к членам Академии, Коши сообщил, что уже давно работает над

доказательством Великой теоремы Ферма, исходя примерно из тех же идей, что

и Ламе, и также вскоре намеревается опубликовать полное доказательство.

Хотя ни Ламе, ни Коши не располагали полным доказательством, оба соперника

страстно желали подкрепить свои заявления, и три недели спустя оба

представили в Академию запечатанные конверты.

Наконец, 24 мая было сделано заявление, которое положило конец всем

домыслам. К Академии обратился не Коши и не Ламе, а Жозеф Лиувилль. Он

поверг достопочтенную аудиторию в шок, зачитав письмо от немецкого

математика Эрнста Куммера. Куммер был признанным специалистом по теории

чисел, но горячий патриотизм, питаемый искренней ненавистью к Наполеону, на

протяжении многих лет не позволял ему отдаться своему истинному призванию.

Когда Куммер был еще ребенком, французская армия вторглась в его родной

город Сорау, принеся с собой эпидемию тифа. Отец Куммера был городским

врачом и через несколько недель болезнь унесла его. Потрясенный

происшедшим, Куммер поклялся сделать все, что в его силах, чтобы избавить

родину от нового вражеского вторжения, — и по окончании университета

направил свой интеллект на решение проблемы построения траекторий пушечных

ядер. Позднее он преподавал в Берлинском военном училище законы баллистики.

Параллельно с военной карьерой Куммер активно занимался исследованиями в

области чистой математики и был полностью осведомлен о происходящем в

Французской Академии. Куммер внимательно прочитал публикации в Трудах

Академии и проанализировал те немногие детали, которые рискнули раскрыть

Коши и Ламе. Ему стало ясно, что оба француза движутся в сторону одного и

того же логического тупика, — и свои соображения он изложил в письме к

Лиувиллю.

Куммер показал, что полное доказательство Великой теоремы Ферма лежало за

пределами возможностей существовавших математических подходов. Это был

блестящий образец логики и в то же время чудовищный удар по целому

поколению математиков, питавших надежду, что именно им удастся решить самую

трудную в мире математическую проблему.

После работ Эрнста Куммера надежды найти доказательство ослабли, как

никогда прежде. Кроме того, в математике начали развиваться различные новые

области. Возник риск, что новое поколение математиков останется в неведении

относительно неразрешимой проблемы.

Новый импульс

В 1908 году Пауль Вольфскель, немецкий промышленник из Дармштадта, вдохнул

в старую проблему новую жизнь. Семья Вольфскелей славилась своим богатством

и покровительством искусствам и наукам, и Пауль не был исключением. В

университете он изучал математику и хотя свою жизнь Пауль посвятил

строительству империи семейного бизнеса, все же он поддерживал контакт с

профессиональными математиками и продолжал на любительском уровне

заниматься теорией чисел. В частности, Вольфскель не отказался от мысли

найти доказательство Великой теоремы Ферма. Вольфскель отнюдь не был

одаренным математиком, и ему не было суждено внести заметный вклад в поиски

доказательства Великой теоремы Ферма. Но цепочка неординарных событий

привела к тому, что его имя оказалось навсегда связанным с теоремой Ферма и

вдохновило тысячи людей заняться поиском ее доказательства.

История начинается с того, что Вольфскель впал в такое глубокое отчаяние,

что решил совершить самоубийство. Вольфскель был человеком страстным, но не

импульсивным, и поэтому принялся во всех подробностях разрабатывать свою

смерть. Он назначил дату своего самоубийства и решил выстрелить себе в

голову с первым ударом часов ровно в полночь. За оставшиеся дни Вольфскель

решил привести в порядок свои дела, которые шли великолепно, а в последний

день составил завещание и написал письма близким друзьям и родственникам.

Вольфскель трудился с таким усердием, что закончил все свои дела до

полуночи и, чтобы как-нибудь заполнить оставшиеся часы, отправился в

библиотеку, где стал просматривать математические журналы. Вскоре ему на

глаза попалась классическая статья Куммера, в которой тот объяснял, почему

потерпели неудачу Коши и Ламе. Работа Куммера принадлежала к числу самых

значительных математических публикаций своего века и как нельзя лучше

подходила для чтения математику, задумавшему совершить самоубийство.

Вольфскель внимательно, строка за строкой, проследил за выкладками Куммера.

Неожиданно Вольфскелю показалось, что он обнаружил пробел: автор сделал

некое предположение и не обосновал этот шаг в своих рассуждениях.

Вольфскель сел за стол, тщательно проанализировал «ущербную» часть

рассуждений Куммера и принялся набрасывать минидоказательство, которое

должно было либо подкрепить работу Куммера, либо продемонстрировать

ошибочность принятого им предположения и, как следствие, опровергнуть все

его доводы. К рассвету Вольфскель закончил свои вычисления. Плохие (с точки

зрения математики) новости состояли в том, что доказательство Куммера

удалось исцелить, и Великая теорема Ферма по-прежнему осталась недоступной.

Но были и хорошие новости: время, назначенное для самоубийства, миновало, а

Вольфскель был так горд тем, что ему удалось обнаружить и восполнить пробел

в работе великого Эрнеста Куммера, что его отчаяние и печаль развеялись

сами собой. Математика вернула ему жажду жизни.

Вольфскель разорвал свои прощальные письма и переписал свое завещание в

свете случившегося в ту ночь. После его смерти, последовавшей в 1908 году,

завещание было оглашено и повергло семью Вольфскеля в шок: выяснилось, что

Пауль завещал значительную часть своего состояния в качестве премии тому,

кто сумеет доказать Великую теорему Ферма. Премия в 100000 марок (более 1

000 000 фунтов стерлингов в современных масштабах) была той суммой, которую

Вольфскель счел своим долгом уплатить в награду за головоломную проблему,

спасшую ему жизнь. Деньги были положены на счет Королевского научного

общества Гёттингена, которое в том же году официально объявило о проведении

конкурса на соискание премии Вольфскеля:

О премии Вольфскеля было объявлено во всех математических журналах, и весть

о конкурсе быстро распространилась по всей Европе. Несмотря на широкую

рекламную кампанию и дополнительный побудительный стимул в виде огромной

Страницы: 1, 2, 3