перпендикуляром CD, называют углом параллельности.

В силу симметрии относительно перпендикуляра CD внутри прямого

угла N’CD получим картину, аналогично той, которую мы имеем в угле NCD,

т.е. построив угол DCF равный углу DCL, получим прямую CF, также

параллельную прямой АВ слева от перпендикуляра CD. Итак, через т. С,

лежащую вне прямой АВ, проходят в плоскости АВС две прямые, параллельные

прямой АВ, в одну и другую сторону этой прямой. Все прямые, проходящие

внутри вертикальных углов, образованных параллельными прямыми LL’ и GG’ (в

том числе и евклидова «параллельная» NN’), расходятся с АВ; все остальные

прямые, проходящие через т. С сходятся с прямой АВ.

Следовательно: а) 2 прямые как АВ и NN’, имеющие общий перпендикуляр

CD, расходятся; б) если вращать прямую NN’ около т. С, допустим, по часовой

стрелке, а прямую АВ около т.D в том же направлении так, чтобы углы,

образованные этими прямыми с пересекающей их прямой CD, оставались равными,

то прямые АВ и NN’ остаются расходящимися, т.е. две прямые, образующие при

пересечении с третьей прямой равные соответственные углы, расходятся.

3) Из предыдущего положения вытекает, что на параллели Лобачевского

различается направление параллельности. Прямая CE параллельна прямой АВ в

направлении или в сторону от A к B, прямая CF параллельна той же прямой AB

в направлении или в сторону ВА (от В к А) (рис.5).

Несмотря на коренные отличия, понятия параллельности у Лобачевского от

одновременного понятия в геометрии Евклида, можно доказать, что

«параллельность» в смысле Лобачевского тоже обладает свойствами взаимности

или симметрии (если прямая а параллельна прямой в, то в параллельна а). И

транзитивности (если а и в параллельны с, то а и в параллельны между

собой).

Приведем некоторые другие понятия и факты геометрии Лобачевского:

1. Функция Лобачевского.

Как уже говорилось выше, через т. С в плоскости САВ проходят 2

направленные параллели к прямой АВ (СЕ и CF), симметрично расположенные

относительно перпендикуляра CD (рис.5). Угол параллельности,

образованный каждой из этих параллелей с CD, является острым, его

величина не постоянна и зависит от расстояния CD(в геометрии Евклида

угол параллельности всегда прямой). То, что угол параллельности острый,

вытекает непосредственно из аксиомы Лобачевского. В изменении этого угла

с изменением расстояния CD можно убедиться путем следующих рассуждений

(рис.6).

Пусть C’D>CD, CE || AB, в т. С угол параллельности – W. Пусть далее

прямая C’E ‘|| AB в т. С’ угол параллельности - W’. В силу свойства

транзитивности CE ||C’E’. Ясно, что W?W’. Действительно, если допустить,

что W= W’, то следует также допустить, что C’E’ и CE – расходящиеся

прямые, как было показано выше, а это неверно.

Построим C’K, образующую с CD угол ?’ ?, ясно, что ?’< ? , т.к.

параллельC’E’ ближе к перпендикуляру, чем расходящаяся C’K. Итак, ?' <

? ; отсюда следует, что угол параллельности убывает по мере удаления от

прямой АВ; чем ближе т. С к прямой АВ, т.е. чем короче перпендикуляр CD,

тем больше угол параллельности. Если обозначить расстояние т. С от

прямой АВ, т.е. длину перпендикуляра CD через х, то можно сказать, что

угол параллельности есть функция от х, названная «функцией Лобачевского»

и обозначаемая П (х). Это монотонно убывающая функция. При изменении

аргумента х от 0 до ? функция П (х) непрерывно изменяется

соответственно от ? /2 до 0. Таким образом ,[pic] , [pic]

При х > 0 , иными словами, если оставаться в пределах сравнительно

небольших расстояний, то угол параллельности мало отличается от ? /2 то

есть от этого значения, которое он имеет в евклидовой геометрии, это

означает, что геометрия Лобачевского не противоречит, не исключает

геометрии Евклида; последнего можно рассматривать как частный случай

большой общей геометрии – геометрии Лобачевского. Реальный смысл

предельного перехода (при х > 0) от геометрии Лобачевского к геометрии

Евклида состоит в том, что физика изучает, в конечном счете, только

ограниченную, сравнительно небольшую часть пространства. Вот почему в

окружающей нас среде (даже в пределах нашей планеты) свойства

физического пространства приблизительно таковы, какими мы их знаем из

Евклидовой геометрии, но для всего пространства, для мира звезд, для

вселенной в целом, они иные, неевклидовы.

2. Сумма углов треугольника меньше 2d.

Это предположение эквивалентно аксиоме Лобачевского, то есть из него

вытекает эта аксиома и наоборот. Для примера докажем первое. Пусть (

рис.7) в прямоугольном треугольнике CDK сумма углов S= ?+?+?<2d, то есть

?+?<d .Это значит, что внутри угла NCK можно построить ?LCK = а (NC?CD).

Прямая CL не может пересечь прямой АВ в какой- либо точке М, так как если

бы это случилось, то угол DKC , внешний по отношению к треугольнику KCM

, равнялся бы внутреннему, не смежному с ним углу треугольника KCM, что

противоречит абсолютной геометрии о внешнем угле треугольника. Итак,

через т. С, кроме CN , проходит еще одна прямая – CL, не встречающая

прямой АВ ; следовательно, верна аксиома Лобачевского. Разность 2d – S,

то есть между 2d и суммой углов данного треугольника, называется угловым

дефектом этого треугольника.

3. Предложение «сумма углов четырехугольника меньше 4d» вытекает из

предыдущего. Отсюда следует, что в геометрии Лобачевского нет ни

прямоугольников, ни квадратов. Вообще сумма углов n – угольника меньше

2d(n-2).

4. Внешний угол треугольника больше суммы внутренних, с ним не смежных

углов. Действительно, пусть ? - внешний угол треугольника, смежный с

внутренним углом треугольника ? , и пусть ? и ? - остальные его

внутренние углы, тогда: ? + ? ’ 2d.

Следует, что ? > ? + ? .

5. Если три угла одного треугольника соответственно равны трем углам

другого треугольника, то эти треугольники равны между собой. Это

четвертый признак равенства треугольников в геометрии Лобачевского.

Таким образом, в плоскости Лобачевского треугольник вполне определяется

своими углами. Стороны и углы зависят друг от друга. Отсюда ясно, что в

геометрии Лобачевского нет подобных фигур. Действительно, ведь из

существования подобных фигур вытекает евклидова аксиома параллельности

(доказательство Валлиса).

6. Площади. Уже известно, что, чем меньше размеры фигур, которые мы

изучаем, тем ближе к геометрии Евклида, в которой угловой дефект

треугольника равен 0. Доказывается следующая теорема: площадь

треугольника прямопропорциональна его угловому дефекту. Чем меньше

размеры фигуры, тем меньше ее дефект, тем меньше площадь. Однако угловой

дефект по определениям не может превзойти 2d, следовательно, и площадь

треугольника в геометрии Лобачевского не может стать больше некоторой,

определенной, конечной величины.

Таковы некоторые из основных идей и фактов геометрии Лобачевского.

После работы «О началах геометрии», появились в свет и другие произведения

Лобачевского по неевклидовой геометрии: «Воображаемая геометрия» (1835),

«Применение воображаемой геометрии к некоторым интегралам» (1836), «Новые

начала геометрии с полной теорией параллельных», опубликованные в «Ученых

записках Казанского университета» в 1835-1838г.г., «Геометрические

исследования по теории параллельных» (опубликованы впервые в1840г. в

Берлине на немецком языке). Однако идеи Лобачевского были настолько

революционными и до того опередили свой век, что не могли быть понятыми

даже крупными математиками того времени. Поэтому новая геометрия не была

признана современниками, была встречена с полным равнодушием и даже с

иронией. Ее многие считали сплошной фантазией, а ее автора чудаком или даже

невеждой. Одинокий Лобачевский не отказался от своих идей. Он твердо был

убежден в логической правильности неевклидовой геометрии. Чтобы можно было

это доказать, Лобачевский предпринимал астрологические наблюдения, и

производил измерения углов космических треугольников, стороны которых

измерялись расстояниями от Земли до небесных тел, в надежде установить,

равна ли сумма углов треугольника 2dили она меньше двух прямых углов.

Однако, измерения не могли дать определенного результата в силу их

приближенного характера. Лобачевский всю жизнь искал оправдания своей

геометрии в механике и астрономии и не переставал верить, что торжество его

идей неминуемо.

В 1855г. умирает Гаусс, единственный крупный ученый, сумевший оценить

Лобачевского по достоинству при его жизни, хотя и не решившись выступить

публично в защиту новой геометрии. В этом же году, Лобачевский, которого

постоянное умственное напряжение и тяжелые переживания, перенесенные в

борьбе за признание своих идей, довели до потери зрения, диктует последнее

свое произведение «Пангеометрия»*. Лобачевский умер в 1856 г. непризнанным,

почти забытым.

Не получил признание при жизни и гениальный венгерский математик Янош

Бояй (1802-1860). Его «Appendix», содержащий основы неевклидовой геометрии,

изложен исключительно сжато и схематично – вот одна из причин, сделавших

это классическое произведение недоступным для его современников.

города Марош-Варигархен. За это время он опубликовал здесь некоторые свои

работы, в том числе и теорему о равновеликости и равносоставленности

многоугольников, включив ее в важнейший свой труд «Temtamen» («Опыт»),

более полное заглавие, гласит в русском переводе: «Опыт введения юных

учащихся в начала чистой математики, элементарной и высшей» (1832). В виде

приложения именно к этому труду и был опубликован «Appendix» Яноша Бояй.

--------------------------------

*Греческое слово «пан» в сложных словах означает «все», «Пангеометрия» -

«Всеобщая геометрия»

После того, как стало известно, что Гаусс считал геометрию Лобачевского

логически вполне правильной, «неевклидова геометрия»(названная так именно

Гауссом), привлекла к себе внимание многих математиков. Произведения

Лобачевского и «Appendix» Бояй были переведены на французский, итальянский

и другие языки. Однако, выявилось много противников неевклидовой геометрии,

которые отнеслись к ней с недоверием, утверждая, что она представляет собой

сплошную фантазию, нелепость, которая рано или поздно будет обнаружена.

Положение коренным образом изменилось, когда итальянский математик,

профессор римского университета Эудженио Бельтрами (1835-1900) нашел модель

для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации

неевклидовой геометрии»(1868г.), что наряду с плоскостями, на которых

осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на

которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие

реальные поверхности, названные им псевдосферами (рис.8), на которых

частично осуществляется планиметрия Лобачевского.

Известно, что сферу можно получить вращением полуокружности вокруг

своего диаметра. Подобно тому, псевдосфера образуется вращением линии FCE,

называемой трактрисой, вокруг ее оси АВ (рис.9).Итак, псевдосфера – это

поверхность в обыкновенном реальном пространстве, на котором выполняются

многие аксиомы и теоремы неевклидовой планиметрии Лобачевского. Например,

если начертить на псевдосфере треугольник, то легко усмотреть, что сумма

его внутренних углов меньше 2d. Сторона треугольника – это дуги

псевдосферы, дающие кратчайшее расстояние между двумя ее точками и

выполняющие ту же роль, которую выполняют прямые на плоскости. Эти линии,

называемые геодезическими, можно получить, зажав туго натянутую и политую

краской или мелом нить, в вершинах треугольника. Таким образом, для

планиметрии Лобачевского была найдена реальная модель - псевдосфера.

Формулы новой геометрии Лобачевского нашли конкретное истолкование. Ими

можно было пользоваться, например, для решения псевдосферических

треугольников.

Псевдосферу, которую мы назвали «моделью», Бельтрами назвал интерпретацией

(истолкованием) неевклидовой геометрии на плоскости. Впоследствии, с

Страницы: 1, 2, 3, 4