Далее можно рассмотреть какой из использованных методов удобнее в данном

случае. К тому же получение различных вариантов решения одной и той же

задачи имеет важное обучающее значение.

2.1(а) Аналитико – синтетический метод.

Анализ – логический приём, метод исследования, состоящий в том, что

изучаемый объект мысленно (или практически) разбивается на составные

элементы (признаки, свойства, отношения), каждый из которых исследуется в

отдельности как часть расчлененного целого.

Синтез – логический прием, с помощью которого отдельные элементы

соединяются в единое целое (другими словами обратный анализу).

Не следует отделять эти методы друг от друга, так как они составляют

единый аналитико-синтетический метод. Так при решении сложной задачи она с

помощью синтеза разбивается на ряд более простых задач, а затем при помощи

синтеза происходит соединение решений этих задач в единое целое.

Каждый из методов имеет свои недостатки так при решении синтетическим

методом не всегда очевидно понятно с чего начинать решение или

доказательство. С другой стороны при аналитическом методе иногда можно, к

примеру, получить несколько решений и придется делать проверку.

Обучение данным методам важно ещё и потому что они выступают и как

особые формы мышления.

При обучении анализу или синтезу следует тщательно подбирать задания,

поскольку в каждом из них необходимо обоснование конкретного метода. Так

при решении неравенств, как правило, используется аналитический метод, в

этом случае использование синтеза затруднено.

Пример: (использование анализа при решении иррациональных уравнений)

[pic]-[pic]=[pic]

1) рассмотрим левую часть: [pic]<[pic] т.к. x-3<x+9

2) следовательно [pic]-[pic]<0

3) но [pic]>0

4) приходим к противоречию, а значит [pic]-[pic][pic][pic]

5) уравнение решения не имеет.

Применение данного метода можно увидеть при решении следующих задач:

1) Анализ и синтез при решении задач на доказательство.

2) Анализ и синтез при решении текстовых задач. Текстовыми задачами здесь

названы математические задачи, в которых входная информация содержит не

только математические данные, но еще и некоторый сюжет (фабулу задачи).

При решении текстовых задач с помощью аппарата арифметики роль анализа

сводится к составлению плана решения, задача же чаще всего решается

синтетическим методом.

Пример: Два самолета с реактивными двигателями одновременно вылетели с

двух аэродромов навстречу друг другу. Расстояние между аэродромами 1870км.

Через сколько часов они встретятся, если один из них в 2/5 часа пролетает

360км, а скорость второго составляет 8/9 скорости первого.

Главная трудность при решении данной задачи это составление плана её

решения разбиение условия на отдельные этапы. Для этого нужен глубокий

анализ условия. Само решение отдельных задач трудности уже не вызывает но

бывает трудно свести решения этих задач к ответу на основной вопрос задачи.

Решение:

1.Какова скорость первого самолета?

360:2/5 = 900км/ч

2.Какова скорость второго самолета?

900•8/9 = 800км/ч

3.На сколько самолеты сближаются в течение часа?

900+800 = 1700км

4.Через сколько часов после вылета самолеты встретятся?

1870:1700 = 1.1 часа

3) Анализ и синтез при решении задач на построение в геометрии. Анализ и

синтез применяются и при решении задач на построение в геометрии, иначе,

конструктивных задач геометрии. Как известно, решение этих задач

выполняется по следующему плану: анализ, построение, доказательство,

исследование. Название первой части - анализ говорит само за себя: это

действительно метод анализа, ведущий от искомых ("предположим, что искомая

фигура построена") к данным, точнее, к их использованию в построении. При

анализе намечается план построения, которое выполняется синтетическим

путем. При доказательстве возможно использование, как анализа, так и

синтеза, но чаще применяется последний метод. Исследование предполагает

преимущественное применение метода анализа.

2.2(б) Метод сведения к ранее решенным.

Суть обучения данному методу заключается в обучении школьников увидеть

в данной задаче ранее решенную и сведению решаемой задачи с помощью

последовательных преобразований к ней.

Если, например, нужно решить уравнение то обычно составляют такую

конечную последовательность уравнений, эквивалентных данному, последним

звеном которого является уравнение с очевидным решением.

Аналогично поступают и при решении различного вида уравнений,

неравенств и систем уравнений. Особую роль этот метод играет при нахождении

производной.

Пример:(из уч. Колмогорова )

Найдите производную f(x) = cos2x•sinx + sin2x•cosx

cos2x•sinx + sin2x•cosx = sin(2x+x) по формуле сложения

f(x) = sin(2x+x) => f(x) = sin3x

Из полученного равенства найти производную не составляет особого труда.

Изучению данного метода в школьном курсе способствует тема «Разложение

на множители» (7 класс).

А ещё раньше использование этого метода можно увидеть при решении

текстовых задач, когда исходная задача сводится к нескольким простым

задачам. Здесь можно увидеть тесную связь метода сведения с аналитико –

синтетическим методом.

В школьном курсе данный метод используется очень широко в

тригонометрии (при решении уравнений и неравенств). Так в самом начале

изучения данной темы учащимся предлагают заучить основные

тригонометрические тождества, затем формулы сложения, приведения, суммы и

разности. А в дальнейшем сначала вырабатываются умения и навыки решения

простейших тригонометрических уравнений.

Пример: (из уч.Колмогорова). Найдите значение других трех основных

тригонометрических функций, если sin?= - 0.8, ?<?<3?/2

После этого переходят к более сложным выражениям, но теперь уже

формируются навыки по приведению их к простейшим.

Конечно, указанное сведение нужно понимать и как выведение, как конечную

последовательность, ведущую от искомых к данным. Этот метод наиболее часто

применяется в тех случаях, в которых заданное отношение обладает свойством

транзитивности. Таковы отношения эквивалентности (равенства, уравнения,

тождества, логическая равносильность, параллельность) и порядка (строгие и

нестрогие неравенства, включение множеств, логическое следование). Прием

"сведения" лежит в основе решения геометрических задач на построение. В

каждой задаче этого вида содержится требование: исходя из данных фигур (или

данных их элементов), с помощью указанных конструктивных элементов

построить фигуру, удовлетворяющую определенным условиям. Это означает, что

требуемое построение должно быть сведено к так называемым элементарным

построениям, выполняемым реальными инструментами.

Метод сведения находит постоянные применения при решении текстовых задач

арифметическими способами. Суть дела здесь состоит в том, что данная задача

сводится к простым задачам.

Решение задач на доказательство теорем в своей основе имеет также

сведение: доказываемое утверждение сводится к ранее доказанным теоремам и

ранее введенным аксиомам и определениям данной научной области. Доказать -

это, значит, свести новую теорему (задачу) в конечном счете, к аксиомам.

Если же навыки решения простейших уравнений (задач) ещё не

сформированы или сформированы недостаточно, то дальнейшее решение более

сложных уравнений будет затруднено или малоэффективно.

Вообще решение большинства задач начинается с того, что выясняют можно

ли данную задачу свести к более простой рассмотренной ранее.

Однако не стоит увлекаться данным методом, поскольку есть опасность

того, что учащиеся и в дальнейшем будут мыслить своего рода «по шаблону».

Вообще, рассмотрение практически любой задачи рекомендуют начинать с

того, что следует посмотреть, нет ли в ней скрытого в условии более

простого для решения случая.

2.1(в) Метод моделирования.

Третий метод решения задач имеет своей основой моделирование

(математическое и предметное). Для моделирования привлекаются различные

математические объекты: числовые формулы, числовые таблицы, буквенные

формулы, функции, уравнения алгебраические или дифференциальные и их

системы, неравенства, системы неравенств (а также неравенств и уравнений),

ряды, геометрические фигуры, разнообразные графосхемы, диаграммы Венна,

графы и т. д.

Математическое моделирование находит применение при решении многих

текстовых (сюжетных) задач. Уже уравнение, составленное по условию

текстовой задачи, является ее алгебраической (аналитической) моделью.

Чертеж фигуры, заданной в геометрической задаче, с обозначенными на ней

данными и искомыми тоже является геометрической моделью задачи. Но нередко

решению задачи помогает и предметная ее модель (например, объемная

геометрическая фигура, модель с использованием или изображением предметов и

объектов, заданных в задаче, и др.).

Большое практическое значение имеют методы нахождения приближенных

значений искомых величин.

Все графические приемы решения задач на вычисление дают приближенные

решения. Но приближенные решения могут получаться и с помощью численных

методов (например, при решении квадратных уравнений по формулам их корней).

В геометрии используются приближенные методы построения. Примерами их

служат спрямление окружности, построение квадрата, равновеликого данному

кругу, деление угла на равные части и т. д.

Пример: Объем конуса в два раза больше объема вписанного в него шара.

Найти угол между образующей и плоскостью основания конуса.

Решение: Построим схематическую запись задачи - модель конуса. Для

этого проведем сечение конуса с вписанным в него шаром плоскостью,

проходящей через ось конуса (осевое сечение). В сечении получим

равнобедренный треугольник с вписанной в него окружностью. Так как боковая

сторона этого треугольника есть образующая конуса, а высота треугольника

есть ось конуса, перпендикулярная к плоскости основания конуса, то угол

между боковой стороной и основанием треугольника есть искомый угол между

образующей и плоскостью основания.

Дано:

АВМ - осевое сечение конуса

АМ = ВМ, МК(АВ.

W(О,ОК) – осевое сечение шара

[pic] = 2

Найти: угол МАК - ?

Полученная наглядная модель облегчает поиск плана решения задачи. Далее

по известным формулам найдем объем конуса и шара.

VK=1/3•АК2•МК ; Vш=4/3?•ОК3

По условию имеем VK : Vш=1/3•АК2•МК : 4/3?•ОК3. Отсюда можно перейти к

следующему равенству: АК2•МК : 4?•ОК3 = 2 (1)

Выразим все отрезки входящие в равенство (1) через угол МАК = х и

отрезок АК=у.

Из ?АМК находим МК = АК•tg(МАК) = y•tg(x) (2)

Из ?АОК находим ОК = АК•tg(AOK)

Очевидно, ОА есть биссектриса угла МАК, поэтому

ОК = y•tg(x/2)

(3)

Подставим найденные выражения из (2),(3) в (1).

У2•У•tg(x) : 4•(y•tg(x))3 = 2 получаем tg(x) = 8•tg3(x/2)

Это тригонометрическое уравнение есть модель исходной задачи при

условии, что 0O < Х < 90О. Решив уравнение при этом условии, получим ответ

задачи.

2.2 Заключение.

В этой работе были рассмотрены несколько методов решения задач и

особенности каждого из них в преподавании школьного курса математики. Был

произведен анализ некоторой методической и школьной литературы с точки

зрения изучения общих методов решения задач в школе на уроках математики. В

результате можно заключить, что в школьном курсе нет четкого разделения

методов, в том смысле, что авторы школьных учебников не дают напрямую схему

какого либо метода. Большинство учебников построено, так что при решении

определенного рода заданий используется по сути один метод, наиболее

удобный. Недостаток такого подхода состоит в том что учащийся столкнувшись

с задачей подобного рода, решает её этим методом, а если ответ получить не

удается, попадает в своего рода тупик.

Поэтому, решая задачи определённого типа, пусть даже наиболее удобным

методом не стоит забывать о других способах её решения.

Следует также отметить что, решая любую задачу необходимо четко

представлять план её решения.

3.1 Список литературы.

1) Фридман Л.М. Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи. М.

Просвещение. 1984.

2) Колягин Ю.М. Оганесян В.А. Учись решать задачи. М. Просвещение.

1980.

3) Материалы интернет сайта http://fmi.asf.ru/library/MPM по методике

преподавания математики. Анжеро-Суджинского филиала Кемеровского

Государственного Университета.

4) Р.С.Черкасов, А.А.Столяр Методика преподавания математики.

5) Репьев В.В. Методика преподавания математики. М. Просвещение. 1958.

-----------------------

М

К

А

В

О

Страницы: 1, 2