5.1 Симметрия в механике

Пьер Кюри пришел к симметрии физических явлений от симметрии кристаллов (геометрических фигур) через симметрию материальных фигур. Это принесло важные результаты при описании физических свойств кристал­лов и обещает большие успехи в других областях фи­зики.

Но работы Пьера Кюри не оказали влияния на раз­витие идеи симметрии в физике. Причины этого стран­ного парадокса, кроме указанных ранее (кристаллографичность работ Кюри, краткость, если не конспектив­ность их изложения), состоит еще и в том, что они поя­вились слишком поздно, тогда, когда физика уже нако­пила большой опыт несколько иного подхода к симмет­рии физических явлений, который связан с развитием механики в XVII—XIX веках.

В то время механика была фактически всей физикой. Самым главным считалось изучение движения и взаимо­действия тел. Соответствующие законы, кажущиеся нам сейчас такими очевидными, потребовали колоссального труда нескольких поколений выдающихся ученых. Ко­перник, Кеплер, Галилей, Декарт, Гюйгенс шаг за ша­гом двигались к пониманию истинных законов, управля­ющих движением материальных тел.

Окончательно эти законы были сформулированы Исааком Ньютоном (1643—1727). Но поскольку движе­ние совершается в пространстве и во времени, ему приш­лось обобщить и сформулировать некие положения, пос­тулирующие их свойства.

Ньютон считал, что существует абсолютное пространство, свободное и независимое от каких-либо тел. Это абсолютное пространство изотропно, то есть любые направления в нем одинаковы. Кроме того, оно однород­но, так как любые две точки пространства ничем не от­личаются друг от друга. Существует также абсолютное время, независимое от каких-либо процессов, текущее вечно и равномерно. Равномерность течения времени предполагает его однородность: скорость течения време­ни со временем не меняется.

5.1.1 Однородность пространства

Чтобы понять, какое от­ношение она имеет к механике, начнем с простого вопроса: почему камень падает вниз? Ответ: потому что на него действует сила тяжести. Иными словами, пространство вблизи земной поверхности физически неоднородно: все тела стремятся занять самые низкие положения, поближе к Земле.

Столь же неоднородно пространство вблизи Солнца: орбиты всех тел солнечной системы искривлены. Но вся Солнечная система как целое движется прямолинейно, по крайней мере, в течение миллионов лет отклонения от прямолинейности в ее движении не было.

Пространство, в котором она движется, свободно от тяготеющих тел, и здесь можно говорить об однородности. Иными словами, на солнечную систему как целое не дей­ствуют внешние силы Согласно второму закону Ньюто­на внешняя сила равна изменению импульса тела за еди­ницу времени. (Импульсом системы тел называется их суммарная масса, умноженная да скорость центра инер­ции. Он равен также векторной сумме импульсов всех тел системы. Вместо «импульс» часто говорят «количество движения», номы не будем пользоваться этим термином.) Когда результирующая внешняя сила, действующая на систему, равна нулю, импульс системы не изменяется со временем, т. е. сохраняется.

Мы не попытаемся подменить второй закон Ньютона рассуждением об однородности пространства. Наоборот, утверждается, что из второго закона Ньютона следует прямолинейность и равномерность движения центра инер­ции системы тел в однородном пространстве. Никакие внутренние силы в системе не наруша­ют однородности пространства по отношению к системе как целому. Поэтому действие внутренних сил оставляет импульс системы неизменным.

5.1.2 Изотропия пространства

Пространство обладает еще одним видом симметрии — относительно поворотов координатных систем. Эта идея давалась человечеству с большим трудом; ведь когда то думали, что Земля плоская, и вертикальное направление абсолютно. То, что Земля — шар, стало известно образо­ванным людям еще в древности. Для них вертикальное направление не было абсолютным, а менялось на земной поверхности от точки к точке. Но Земля в представлении большинства начитанных людей до эпохи Коперника была центром мироздания. Поэтому для них равноценными были не все направления в пространстве, а все прямые, проходящие через центр Земли. Там находилась особая, выделенная точка, центр симметрии Вселенной.

Открытие Коперника лишило Землю ее преимущест­венного положения. Центр Земли для мыслящих людей перестал быть центром Вселенной. Чем же он физически выделен для нас? Очевидно, тем, что к нему направлена сила притяжения Земли. Но достаточно далеко от всех тяготеющих тел все точки пространства равноценны, равно как все прямые, проведенные через любую точку Вокруг любой прямой можно повернуть координатную систему на любой угол, и повернутая система будет во всех отно­шениях равноценна первоначальной.

Таким образом, мы сформулировали еще одно свойст­во симметрии пространства. Условимся о терминологии. Симметрию относительно поворотов будем называть изо­тропией, а относительно переносов — однородностью.

5.1.3 Однородность времени

Перейдем теперь к конкретным свойствам симметрии времени. Рассмотрим сначала симметрию относительно переноса вдоль любой прямой. Перенос в любом направлении можно разложить по трем взаимно перпендикулярным осям. Таким образом, пространство имеет группу симметрии относительно произвольных пере­носов по трем взаимно перпендикулярным направлениям (см. выше).

Время задается одной величиной, а не тремя, как точ­ка в пространстве. Насколько можно считать, что симмет­рия времени напоминает симметрию прямой относитель­но переносов, т. е. что их абстрактная группа симметрии одна и та же? Ведь 12 часов дня вчера и сегодня, или завтра, совсем не одно и то же для нас. Но симметрия — понятие относительное. Симмет­рия времени уже, чем симметрия бесконечной прямой, если рассматривать время во всех его аспектах, но тем не менее не исключена возможность, что время симметрично по отношению к одному определенному классу законов природы.

К этому классу принадлежат законы механики, кото­рым подчинены движения тел в пространстве и во време­ни. Удобнее всего выбрать пример чисто механического движения, не осложненного силами трения или каким-ли­бо иным трудно контролируемым влиянием внешней сре­ды. Трение всегда сопровождается переходом движения к молекулам, составляющим тела, и поэтому сильно ос­ложняет процесс механического движения.

Без трения, или почти без трения, движутся небесные тела (небольшое трение при их движении происходит от приливных волн, но мы отвлечемся от этого явления). Именно небесные тела послужили моделью Ньютону, ког­да он формулировал законы механики, потому что в аст­рономических явлениях они проявлялись в наименее ос­ложненном виде. Обращение Земли вокруг Солнца совер­шается одинаково в течение десятков тысяч лет; если бы не влияли другие планеты и приливы и Солнце не теряло постепенно свою массу вследствие излучения, орбита Зем­ли оставалась бы неизменной сколь угодно долго. Отсюда надо заключить, что время однородно, т. е. все его момен­ты равноценны, по крайней мере по отношению к чисто механическим явлениям.

Год в нашу эпоху и на варе человеческой истории рав­нялся Зб51/4 дня. Следовательно, в качестве начальной даты летосчисления может быть взята любая. Законы не­бесной механики совершенно симметричны по отношению к любому выбору начального момента времени.

Поскольку пространство изотропно и однородно, то уравнения движения не меняют своего вида при изменении направления движения. Не меняют они своего вида и при смещении точки отсчёта начала движения в пространстве и во времени. Математически преобразования координат и времени, отвечающие таким изменениям, образуют группу. Эту группу часто называют группой Галилея-Ньютона. Поэтому говорят, что уравнения движения классической механики инвариантны (не меняют своей формы) относительно группы Галилея-Ньютона.

Таким образом, в классической механике симметрия утратила наглядный геометрический смысл. Теперь она вступает в абстрактной форме как условие, при котором уравнение, описывающее тот или иной физический закон, не меняет своего вида. При этом сами условия должны образовывать группу в математическом смысле.

Живой организм не имеет кристал­лического строения в том смысле, что даже отдельные его органы не обладают пространственной решеткой.

Однако упорядоченные структуры в ней представлены очень широко. Если они жидкие, то их называют жид­кими кристаллами. В этих структурах сильно вытяну­тые молекулы расположены так, что их длинные оси в среднем ориентированы в одну сторону. В некоторых случаях образуются дополнительные сверхструктуры: возникает закручивание или слоистые структуры.

Жидкие кристаллы, как и твердые, обладают анизо­тропией физических свойств. Однако пространственной решетки жидкие кристаллы не имеют.

К жидким кристаллам относятся отдельные компо­ненты желчи и крови, хрусталик глаза, оболочки нер­вов, серое вещество мозга, головка сперматозоида и т. д. Но особенно важное значение играет жидкокристал­лическая структура мембран клеток. Это та «кожица», которая удерживает вещество клетки от растекания и служит ей как бы внешним органом. Мембрана — вяз­кая жидкость, в которой молекулы фосфолипидов (жи­ров) имеют длинные оси, расположенные параллельно. При комнатной температуре молекулы фосфолипидов свободно перемещаются вдоль плоскости мембраны, пространственной решетки нет, и это состояние — нор­мальное состояние живой клетки. При понижении тем­пературы мембрана «замерзает», молекулы фосфолипи­дов останавливаются, образуется пространственная ре­шетка. Лишенная подвижности мембрана не может вы­полнять свои функции, и клетка гибнет. Наступила кристаллизация, клетка оказалась «пойманной» решет­кой.

Интересную попытку объяснить пятерную симмет­рию морского ежа предпринял профессор Оксфордско­го университета Девид Никлз. Он считает, что все дело в прочности. Скелет ежа составлен из десятков хруп­ких, тонких пятиугольных .пластинок, однако он надеж­но служит своему хозяину. Самые слабые места скеле­та — это швы, где одна пластинка соединяется с дру­гой. Если первая пластинка — квадрат или шестиуголь­ник, то на линии действия силы будут два продольных шва. Если же первая пластинка пятиугольная, то шов только один. Такая конструкция гораздо прочнее. Однако возникает законный вопрос: почему первая пластинка не семиугольная, девяти­угольная и т. д.? Ответ может быть только один: при пятиугольнике число швов наименьшее и, следовательно, такой скелет прочнее. Но еще меньше швов дает треугольник. Тогда почему не он? Дело в том, утверж­дает Никлз, что морские ежи почти круглые организ­мы, а из треугольников труднее составить многоуголь­ник, близкий к сфере.

Представители другого класса обитателей глубин— морские черви — имеют цилиндрическое тело, а в рото­вой полости - массу острых зубов. Зубы расположены так, что если соединить их прямыми .линиями, то полу­чится пятиугольник. Такой феномен Никлз объясняет следующим образом. Если бы число зубов было четным, то они мешали бы друг другу. Минимальное нечетное число — три, но треугольник сильно отличается от кру­га и не соответствует цилиндрическому телу червя. Семь, девять и больше зубов - излишняя роскошь, ко­торую природа не может себе позволить. Поэтому реа­лизуется оптимальный случай, наиболее соответствую­щий круговому сечению ротового отверстия, пяти­угольник.

Если рассматривать царство живого, то любому его представителю, от простейшей водоросли до эвкалипта, от крошечного жучка до кита, от червяка до человека, можно приписать одну из групп симметрии (точечных или пространственных), выведенных для материальных фигур.

6.1 Биологические дроби

Винтовые оси симметрии видны в расположениях чешуек шишек и укладке коры пальм, структуре кост­ной ткани и в побегах различных растений. На стебле подсолнечника явно видна винтовая ось пятого порядка. Каждый вновь выросший лист связан с пре­дыдущим поворотом на 72°, а при повороте та 360° листья перемещаются на целую величину трансляции. По правилам, принятым в кристаллографии, такую ось следует обозначать 51­­. Но в ботанике принято представлять винтовые оси в виде дроби, в зна­менателе которой стоит число оборотов в листовом цикле (количество оборотов вокруг стебля для перехода от нижнего листа к вышестоящему, расположенному над ним), а в числителе — число листьев в этом цик­ле. В соответствии с этим расположение листьев у под­солнечника задается дробью 5/1.

У растений существуют только определенные, строго фиксированные оси, но в большинстве своем не такие, как у кристаллов. Так, если злаки, липа, бук, береза образуют ось 21 (ботаническая дробь 2/1), осока, тюль­пан, орешник, виноград и ольха — 31 (3/1), то дуб, виш­ня смородина, слива имеют ось 52 (5/2), капуста, ма­лина, груша, тополь, редька, лен, барбарис — 83 (8/3), а ель, миндальник, облепиха и жасмин — 1З5 (13/5). Для хвойных шишек типичны оси 218 (21/8), 3413 (34/13) и 5521 (55/21).

Почему именно такие оси, а не другие — неизвестно. Но уже давно было подмечено, что биологические дро­би не произвольны, а представляют собой члены двух последовательностей, составленных из чисел Фибо­наччи. Их ввел в математику итальянский купец Леонардо из Пизы по прозвищу Фибоначчи, что озна­чает сын Боначчо. В его «Книге абака» приведена оригинальная задача о кроликах, решение которой принадлежит самому Фибо­наччи. В задаче спрашивалось, сколько пар кроликов мо­жет произойти от одной пары в течение года, если каж­дая пара каждый месяц порождает новую пару, которая со второго месяца тоже становится производителем, и кролики не дохнут.

Решение этой задачи сопряжено с появлением числового ряда 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55. ... Эти числа и называются числами Фибоначчи.

Биологические дроби, описывающие винтовую сим­метрию растений, составлены из членов двух рядов. В обоих рядах числители есть числа Фибоначчи, начиная с четвертого члена — двойки. Знаменатели рядов раз­личны. В первом числа Фибоначчи начинаются с треть­его числа, а во втором — со второго.

Итак, первый ряд:

2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13…

Второй ряд:

2/1, 3/1, 5/2, 8/3, 13/5, 21/8…

До сих пор совершенно непонятно, почему сим­метричное винтовое расположение листьев или чешуек в шишках точно связано с величиной определенного от­ношения, присутствующего в пространственных объек­тах, производящих особое эстетическое впечатление? Здесь можно высказать только самое общее утвержде­ние, что формирование эстетических критериев человека происходит под влиянием пространственных закономер­ностей природных объектов. Однако это утверждение не дает конкретный ответ на поставленный вопрос.

Симметрия, проявляясь в самых различных объектах материального мира, несомненно, отражает наиболее общие, наиболее фундаментальные его свойства. Поэтому исследование симметрии разнообразных природных объектов и сопоставление его результатов является удобным и надежным инструментом познания основных закономерностей существования материи.

Можно надеяться, что на основе биологических законов сохранения, разнообразных инвариантов, симметрии законов живой природы относительно тех или иных преобразований рано или поздно удастся глубже проникнуть в сущность живого, объяснить ход эволюции, её вершины, тупики, предсказать неизвестные сейчас ветви, теоретически возможные и действительные числа типов, классов, семейств…организмов. И вообще нужно проанализировать вопрос о том, нельзя ли эволюцию материи в целом и внутри отдельных её форм представить как групповые преобразования, найти их инварианты и на основе последних определить все возможные варианты эволюции в цело и в частностях, предсказать возможные её ветви – число, характер и т.д. Таким образом, развитый здесь подход даёт возможность поставить вопрос о неединственности той картины развития, которую мы знаем.

1.    Жёлудев И.С. симметрия и её приложения. –М.: Энергоатомиздат, 1983г.

2.    Компанеец А.С. Симметрия в микро- и макромире. –М.: НАУКА, 1978г., 206с.

3.    Пидоу Дэн.  Геометрия и искусство  М.: Мир, 1979г.

4.    Сонин А.С. Постижение совершенства: симметрия, асимметрия, диссимметрия, антисимметрия. –М.: ЗНАНИЕ, 1987г., 208с.

5.    Трофимов В. Введение в геометрическом многообразии с симметриями М.: МГУ 1989г

6.    Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. –М.: МЫСЛЬ, 1974г., 232с.

7.    Шубников А.В. Избранные труды по кристаллографии. –М.: НАУКА, 1975г.