|
|
| Алгоритмы численного решения задач |
Алгоритмы численного решения задач
9 Решить графоаналитическим методом. Задача 1max (X) = - 2x1 + x2 + 5x3при 4x1 + 2x2 + 5x3 126x1 - 3x2 + 4x3 = 183x1 + 3x2 - 2x3 16Х ? 0 Здесь число n = 3 и число m = 3.Выразим из ограничений и х3:? 0 Подставим его в целевую функциюmax (X) = Получим новые ограничения:х ? 0 Получили задачу линейного программирования в основном виде для n = 2Вычисляем градиент : = = Рисунок 1Прямые a, c, d и e пересекаются и образуют четырехугольник ACDE. Определим max ц (Х), который удовлетворяет условию Х>=0:Это точка D (0,7; 4,7; 0).Функция ц (Х*) в точке D:ц (Х*) = 38,3Найти экстремумы методом множителей Лагранжа Задача 2extr ц (X) = 4x1 - x22 - 12при x12 + x22 = 25Составим функцию Лагранжа:L (X,л) = 4x1 - x22 - 12 + л (x12 + x22 - 25)h (X) = x12 + x22 - 25 = 0 - функция ограничения.Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.Решим данную систему уравнений:2x2 (л - 1) = 0Предположим, что x2 ? 0, тогда л = 1 подставим в первое уравнение системы.4 - 2x1 = 02x1 = - 4x1 = 2Подставим x1 в третье уравнение системы.4 +x22 - 25 = 0x22 - 21 = 0x22 = 21x2 = ±4,5826Параболоид вращения функции h (x).В двухмерной проекции график выглядит так:Рисунок 2.На рис.2 видно, что в точках А1 и А2 функция ц (X) = h (X). В этих точках функция ц (X) равна минимальному значению. |
(X*,л*) N | X1* | X2* | л* | ц (X*) | Примечание | | 1 | 2 | 4,5826 | 1 | -24,25 | Min | | 2 | 2 | -4,5826 | 1 | -24,25 | Min | | |
Решить обобщенным методом множителей Лагранжа или на основе условий Куна-Таккера. Задача 3extr ц (X) = 9 (x1 - 5) 2 + 4 (x2 - 6) 2 = при 3x1 + 2x2 >= 12x1 - x2 <= 6Решим задачу на основе условий Куна-Таккера.Составим функцию Лагранжа.L (X,л) = + л1 (3x1 + 2x2 - 12) + л2 (x1 - x2 - 6) =Составим систему уравнений из частных производных и приравняем их нулю.Решим систему уравнений.1) Предположим, что л2 ? 0, тогда из уравнения (d) получимx2 = х1 - 6Пусть л1 = 0 и x1 ? 0, тогда из уравнения (а) получим18x1 - 90 - л2 = 0, л2 = 18х1 - 90Пусть x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим8x2 - 48 - л2 = 0Подставив в уравнение выражения для x2 и л2, получимx1 = 4x2 = - 2x1* = 4; x2* = - 2; ц (Х) * = 265Трехмерный график целевой функции для данной задачиДвухмерная проекцияРисунок 3На рис.3 видно, что в точке А функция b (X) = a (X), которые находятся в параболоиде вращения целевой функции.В этой точке функция ц (X) равна максимальному значению.2) Предположим, что л2 = 0 и x2 ? 0, тогда из уравнения (b) получим8x2 - 48 + 2л1 = 0x2 = x2 = 6 - Предположим, что x1 ? 0, тогда из уравнения (а) выразим x1.18х1 - 90 + 3л1 = 018 = 90 - 3л1х1 = х1 = 5 - Подставим выражения для x1 и x2 в уравнение (с) системы.а) = 0, x1 = 5; x2 = 6б) = 15x1 = 2,5; x2 = 2,25Подставив корни x1 = 5; x2 = 6 в целевую функцию получим ц (Х) = 0, а корни x1 = 2,5; x2 = 2,25 - получим ц (Х) = 112,49Таким образом:x1* = 5; x2* = 6; ц* (Х) = 0На рис.4 видно, что в точке В функция ц (X) = a (X). В этой точке функция ц (X) равна минимальному значению. Рисунок 4|
X* N | X1* | X2* | ц (X*) | Примечание | | 1 | 5 | 6 | 0 | Min | | 2 | 4 | -2 | 265 | Max | | |
Получить выражение вектор-функции и матрицы Якоби системы и составить алгоритм численного решения задачи на основе условий Куна-Таккера. Задача 4max ц (X) = - x12 - x22 +2х2при x1 + x2 >= 18x1 + 2 x2 >= 14Х>=0 Найдем выражение вектор-функции системы.Составим функцию Лагранжа.L (X,л) = - x12 - x22 + 2х2 + л1 (x1 + x2 - 18) + л2 (x1 + 2x2 - 14)Вектор-функция системы:Составим матрицу Якоби.Составим алгоритм численного решения задачи:Рисунок 5.
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
