На страницах этой книги неоднократно упоминался основной тезис теории алгоритмов. Обычно он связывался с традиционными теориями избранных алгоритмов. Как звучит этот тезис, если иметь в виду широкое формальное определение алгоритма, мы уже сказали, но все же повторим.

Основной тезис. Для любого алгоритма (в интуитивном смысле) над формальным языком L, если его запись можно рассматривать как конструкцию, существует эквивалентный ему алгоритм в широком формальном смысле, имеющий ту же запись.

Это означает, что современная теория алгоритмов охватывает все практически важные случаи. Ее дальнейшие обобщения связаны с обобщением понятия конструкции. Сегодняшние потребности теории ЭВМ и программирования она может обеспечить.

Кончая книгу, хочется заглянуть немного вперед, хотя бы в ближайшее будущее. Если наука эффективна, она должна позволять делать прогнозы.

Из широкого формального определения алгоритма вытекает, что алгоритм не только может, решая задачу, перерабатывать свою запись, но может перерабатывать и запись своего алгоритма выполнения. Для этого нужно более отчетливо вспомнить его «папу» (алгоритм выполнения), который тоже алгоритм и имеет своего «папу», приходящегося нашему алгоритму «дедушкой». Это значит, что, работая, алгоритм выполнения может перерабатывать и себя. Обозначая исходное данное через sit j, алгоритм-- через tt, а результат--через рг_}, можем составить формулу из которой указанная возможность и вытекает.

Применяя это соображение к ЭВМ, в 1977 г. (в 1-м издании данной книги) мы пришли к выводу о возможности машины, которая обладала бы «способностью» перестраиваться, если этого требует программа. Появление таких машин теперь -- свершившийся факт.

В § 1 данной главы мы почти допустили возможность мышления машин. Но наша книга посвящена не машинам, а алгоритмам. Сформулируем же упомянутую проблему в терминах теории алгоритмов. Очевидно, вопрос ставится не о том, чтобы любая машина мыслила, а о возможности создания такой машины, для которой можно составить программу мышления. Если отвлечься от ограниченности ресурсов времени и ЗУ, вопрос упрощается: достаточно, чтобы машина была универсальной (типа ЭВМ).

Мы знаем, что ЭВМ являются физическими моделями коллективов алгоритмов. Теперь представим себе условия, в которых обычно находится мыслящий человек. Он располагает некоторыми сведениями, хранящимися у него в мозге; оперируя ими, он по мере надобности обращается к внешним источникам -- книгам, справочникам, задает вопросы другим людям; кроме того, он, может быть, получает сведения путем экспериментов. В конце концов он создает некоторый результат своего мышления. Для упрощения можно считать, что мышление производится без привлечения экспериментов. Правда, с самого начала мы приняли еще одно упрощение: ограничились случаем, когда мышление протекает «в тиши кабинета», тогда как нередко человек мыслит, находясь во взаимодействии с изменяющимся реальным миром. Между мыслящим человеком и коллективом алгоритмов напрашивается чисто внешняя аналогия. То, что хранится у человека в мозге (его знания),-- подобно основному операнду; сведения, получаемые извне по мере надобности, подобны потокам частных операндов(см. конец § 10 гл. 8); действия, совершаемые мозгом, напоминают нам процесс выполнения открытого коллектива алгоритмов. Очень упрощая картину, можно предположить, что дополнительные сведения собраны заранее в некоторой информационной системе (см. § 2 гл. 10) без обновления, присоединяя которую к открытому коллективу алгоритмов, мы превращаем его в закрытый. В аналитической теории алгоритмов доказано, что каждый закрытый коллектив алгоритмов эквивалентен некоторому одиночному алгоритму.

Таким образом, в самом простом случае проблема возможности мышления машин сводится к вопросу возможности разработки алгоритма, эквивалентно моделирующего работу мозга. Мозг (и даже мозг всех людей) хранит конечный объем сведений и существует конечное время. Не будет грубой ошибкой, если мы посчитаем, что сведения хранятся в мозге в форме символьной конструкции (реализованной физически или, если хотите,-- биологически). Существует только конечное число символьных конструкций, которые могут быть размещены в ЗУ конечного размера (т. е. в мозге и в информационной системе). Таким образом, перед нами задача о построении алгоритма, входной язык операндов которого конечен. Такая задача алгоритмически разрешима, но только потенциально. Реально ее разрешить методом алгоритмизации нельзя из-за ее большой трудоемкости.

Но сделанные нами упрощения слишком велики. Алгоритм мышления, который мы получим, будет слишком примитивен. Он будет эквивалентен поиску ответа в некотором справочнике (хотя и в очень большом). Можно также сказать, что мы решим задачу алгоритмизации только уже осуществленного мышления, что не представляет интереса. Проблема станет тем интереснее, чем привлекаемая информационная система будет допускать обновление информации. Но даже и в этом случае она остается сильно «урезанной» из-за того, что набор дополнительных операндов фиксирован. Впрочем, алгоритм мышления, справляющийся со своей задачей, в последнем усложненном случае уже «умнее» каждого из породивших его людей, имевших в своем мозге те сведения, которые являются допустимым основным операндом. Остается открытым только один вопрос: возможен ли такой алгоритм?

Человеческий мозг может мыслить, несмотря на изменения, происходящие в мире (и, следовательно, в исходных данных для мышления), потому что он сам изменяется не только от поколения к поколению, но и в течение жизни отдельного индивидуума. Соответствующая алгоритмическая проблема состоит в вопросе о возможности открытого коллектива алгоритмов, который бы не только перерабатывал операнды, но и видоизменял сам себя.

С проблемой мышления связан вопрос о сознании. Имеется в виду не философское значение этого слова, позволяющее ставить такие кардинальные проблемы, как проблема значение - способность человека отделять себя от остального мира. По отношению к человеку мышление является частью сознания. О мышлении машин мы говорили вне связи с сознанием. Мы как бы предполагали, что мышление машины - это выполнение алгоритма, перерабатывающего информацию эквивалентно тому, как это делает мозг. При таком понимании мышления машин сознание оказывается формой мышления.

Действительно, можно себе представить, что основной операнд открытого коллектива алгоритмов состоит из двух частей, одна из которых является символьной моделью самой ЭВМ (или коллектива алгоритмов), а другая - символьной моделью той части реального мира, которая "известна" машине. Такая пара моделей чем-то похожа на сознание (в том узком смысле, в котором мы условились понимать сознание). Здесь в своих обсуждениях проблемы алгоритмического моделирования сознания мы остановимся, потому что эта проблема выходит за рамки нашей книги. Она очень интересна, но упомянута только для того, чтобы обратить внимание читателя на так называемое алгоритмическое (или программное) моделирование.

Поясним сущность понятия модели. Предположим, что имеется некоторый объект, подлежащий исследованию. Назовем его прототипом. Моделью прототипа называется любой объект, так соответствующий прототипу, что описание некоторых его свойств можно перевести в описание тех свойств прототипа, которые нас интересуют. Моделями пользуются тогда, когда исследование самого прототипа слишком сложно или почему-то невозможно. Как видно из этого описания, модель не является копией прототипа (хотя и это возможно), а в такой мере ему соответствует, что исследование некоторых свойств прототипа можно заменить исследование некоторых (вообще говоря, других) свойств модели. Первоначально модели применялись только в технике. Например, перед тем как строить какое-либо сооружение, сперва изготовляли его уменьшенную модель из удобного для этого материала. Модель испытывали и по результатам судили о свойствах будущего сооружения. Немного позже было замечено, что прототип и его модель допускают одно и то же математическое описание или их математические описания могут быть с помощью некоторого преобразования сведены одно к другому (требуется, чтобы описание модели можно было свести к описанию прототипа).

Наконец поняли, что самое математическое описание прототипа можно считать его моделью (математической). Эта простая мысль явилась результатом длительных исследований и размышлений. Сейчас ее справедливость не вызывает сомнений! Математическую теорию моделей можно найти в книгах по абстрактной алгебре и в книгах по математической логике. Абстрактная алгебра утверждает, что модель -- это множество, на котором задана некоторая совокупность отношений. Логика рассматривает модели систем аксиом -- множества, элементы которых таковы, что свойства этих элементов удовлетворяют указанным аксиомам и следствиям из них. Мы видим уже три различных определения математической модели. Два последних являются частными случаями первого. Повторим его: математической моделью прототипа называется некоторое его математическое описание. Это математическое описание может быть произведено различными математическими средствами. В частности, описание прототипа может быть алгоритмическим, а если оно рассчитано на применение ЭВМ, то -- программным.

При алгоритмическом моделировании модель имеет две компоненты: символьную конструкцию из класса некоторых символьных конструкций и алгоритм или коллектив алгоритмов. Программная модель обычно имеет еще некоторые компоненты: программу внесения изменений в символьную конструкцию (хранящуюся в запоминающих устройствах) и программу обработки результатов моделирования. При программном моделировании могут встретиться два вида моделей -- функциональные и имитационные.

Функциональные модели строят для моделирования одних алгоритмов в виде других. Например, можно одну ЭВМ, являющуюся, как уже известно, физической моделью алгоритма, моделировать на другой. При этом функциональной моделью первой ЭВМ будет программа второй. В более простом случае алгоритмическая модель эквивалентна прототипу. В более сложных случаях функциональная модель не эквивалентна, а, как говорят,-- равносильна прототипу. В первом случае исходные данные и результаты прототипа и модели соответственно одинаковы, во втором случае известен простой прием преобразования исходных данных прототипа в исходные данные моделирующего алгоритма и результатов моделирующего алгоритма в результате прототипа. Программное моделирование такого вида является одним из средств, используемых при разработке ЭВМ и сложных программных комплексов.

Имитационное моделирование применяется для исследования различных процессов путем их условного воспроизведения, при котором каждый шаг процесса-прототипа заменяется одним или несколькими шагами моделирующего алгоритма. Алгоритмическое описание процессов (см. § 3 гл. 10) является частным случаем имитационного моделирования. Большой интерес представляет так называемое статистическое моделирование, при котором имитация процесса сводится к вычислению какого-либо параметра или ряда параметров, изменяющихся при функционировании прототипа и записи получаемых значений. После того как произведено большое число имитаций при соответствующих изменениях имитации, полученные результаты подвергаются статистической обработке точно так же, как обычно обрабатывают результаты эксперимента. Статистическое имитационное моделирование иногда позволяет обойтись без дорогостоящих опытов. § 4. Последние замечания

В заключение данной книги скажем несколько слов о вопросах, относящихся к области мировоззрения и являющихся по отношению к аналитической теории алгоритмов предварительными. Эти вопросы уже были очень коротко затронуты в § 5 гл. 3 и в § 3 гл. 5. Там упоминалось, что теория алгоритмов является основой конструктивного направления в обосновании математики. Сразу отметим, что конструктивные идеи в математике не сводятся к теории алгоритмов, которая лишь наиболее последовательна в этом отношении. Ограничимся только теорией алгоритмов.. В теории алгоритмов основой для получения всевозможных конструктивных объектов являются некоторые первоначальные объекты. Математического обоснования их конструктивности нет. С таким же правом их можно считать и неконструктивными. Доматематическое их обоснование заключается в том, что их практическое существование или (если это операции) практическая возможность их выполнения ни у кого не вызывают сомнения. В логических теориях алгоритмов первоначальными являются буквы, слова и некоторые операции (например, в теории нормальных алгоритмов -- марковские подстановки); первоначальной является также способность преобразовывать любую символьную конструкцию в слово. Вопрос о том, откуда берутся слова-операнды ни явно, ни неявно не затрагивается. В аналитической теории алгоритмов первоначальными являются буквы, связи, и натуральные операции. Символьные конструкции из букв и связей получаются уже средствами теории (поэтому в состав теории алгоритмов входит раздел о формальных языках). Понятие актуальной бесконечности ни явно, ни неявно не привлекается. Разночтения символьных конструкций тоже нет. Доматематическим их обоснованием является признание существования реального мира, абстрактными образами объектов и процессов которого являются символьные конструкции и алгоритмы. Применяемые языки поэтому наделены смыслом. Способность преобразовывать любую символьную конструкцию в слово не считается первоначальной и обеспечивается возможностью ограниченного применения произвольного выбора из конечного числа элементов (в процессе произвольной нумерации с последующим получением результатов всех возможных нумераций и выбора из них одного, лексикографически не старше всех других).

Конечно, не запрещается математику изучать аналитическую теорию алгоритмов без того, чтобы задумываться о реальном мире, хотя это и нельзя одобрить. Точно так же не запрещается, изучая логическую теорию алгоритмов, считать, что слова являются описаниями реальных объектов. Но логическая теория алгоритмов даже не намекает на какой-нибудь способ описания объектов в виде слов, тогда как аналитическая теория такие намеки делает. Например, для описания объектов напрашивается применение приема, называемого структуризацией, который предусматривает расчленение объекта на составные части -- более простые объекты, к которым опять применяется тот же прием, и так до тех пор, пока не будет получена конструкция, построенная с помощью связей из таких простых объектов, какие мы уже умеем представлять в виде символьных конструкций. Точно так же сложные операции конструируются из натуральных путем построения алгоритмов.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5, 6