|
|
| Генерация матриц |
|
i>Определителем порядка n, соответствующим матрице (1.8), назовем число, равное и обозначаемое символом. (1.11)Итак, по определению. (1.12)Формула (1.12) представляет собой правило составления определителя порядка n по элементам первой строки соответствующей ему матрицы и по минорам элементов первой строки, являющимся определителями порядка n_1.Если n=2, то правило (1.12) в точности совпадает с правилом (1.10), ибо в этом случае миноры элементов первой строки имеют вид: , .Естественно возникает вопрос, нельзя ли использовать для получения величины определителя (1.11) элементы и отвечающие им миноры не первой, а произвольной i_й строки матрицы (1.8). Ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.Теорема 1.1. Каков бы ни был номер строки i (i=1,2… n), для определителя n_го порядка (1.11) справедлива формула, (1.13)называемая разложением этого определителя по i_й строке.В этой формуле показатель степени, в которую возводится число (-1), равен сумме номеров строки и столбца, на пересечении которых стоит элемент ai j.Доказательство теоремы 1.1. Формулу (1.13) нужно доказать лишь для номеров i = 2, 3,…, n. При n = 2 (т.е. для определителя второго порядка) эту формулу нужно доказать лишь для номера i = 2, т.е. при n = 2 нужно доказать лишь формулуСправедливость этой последней формулы сразу вытекает из выражений для миноров матрицы (1.9) в силу которых правая часть этой формулы совпадает с правой частью (1.10). Итак, при n = 2 теорема доказана.Доказательство формулы (1.13) для произвольного n > 2 производится по индукции, т.е. для определителя порядка n - 1 справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке, и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости формулы (1.13) для определителя порядка n.При доказательстве понадобится понятие миноров матрицы (1.8) порядка n - 2. Определитель порядка n_2, соответствующий той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания двух строк с номерами и двух столбцов с номерами , называется минором (n_2) - го порядка и обозначается символом .Определитель n_го порядка ? вводится формулой (1.12), причем в этой формуле каждый минор является определителем порядка n_1, для которого по предположению справедлива формула вида (1.13) разложения по любой строке.Фиксировав любой номер i (i=2,3… n), разложим в формуле (1.12) каждый минор по i - й строке основного определителя (1.11) (в самом миноре эта строка будет (i_1) - й).В результате весь определитель ? окажется представленным в виде некоторой линейной комбинации миноров (n_2) - го порядка с несовпадающими номерами j и k, т.е. в виде (1.14)Для вычисления множителей заметим, что минор получается в результате разложения по (i_1) - й строке только следующих двух миноров (n - 1) - го порядка, отвечающих элементам первой строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов первой строки содержат все столбцы минора ).В разложениях миноров и по указанной (i - 1) - й строке выписываются только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент ajk минора стоит на пересечении (i - 1) - й строки и (k - 1) - го столбца этого минора, а элемент aij минора стоит на пересечении (i - 1) - й строки и j_го столбца этого минора, в итоге получается (1.15) (1.16)Вставляя (1.15)_ и (1.16) в правую часть (1.12) и собирая коэффициент при , мы получим, что множитель в равенстве (1.14) имеет вид (1 17)Для завершения доказательства теоремы видно, что и правая часть (1.13) равна сумме, стоящей в правой части (1.14), с теми же самыми значениями (1.17) для .Для этого в правой части (1.13) разложим каждый минор (n_1) - го порядка по первой строке. В результате вся правая часть (1.13) представится в виде линейной комбинации с некоторыми коэффициентами тех же самых миноров (1.18)и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.17).Для этого заметно, что минор получается в результате разложения по первой строке только следующих двух миноров (n - 1) - го порядка, отвечающих элементам i_й строки матрицы (1.8): минора и минора (ибо только эти два минора элементов i_й строки содержат все столбцы минора ).В разложениях миноров и по первой строке выписывается только слагаемые, содержащие минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая при этом, что элемент aik минора стоит на пересечении первой строки и (k_1) - го столбца этого минора, а элемент aij минора стоит на пересечении первой строки и j_го столбца этого минора, получается (1.19) (1.20)Вставляя (1.19) и (1.20) в правую часть (1.13) и собирая коэффициент при , получается, что в сумме (1.18) определяется той же самой формулой (1.17), что и в равенстве (1.14).Теорема 1.1 доказана.Теорема 1.1 установила возможность разложения определителя n_го порядка по любой его строке. Естественно возникает вопрос о возможности разложения определителя n - го порядка по любому его столбцу. Положительный ответ на этот вопрос дает следующая основная теорема.Теорема 1.2. Каков бы ни был номер столбца j (j=1,2,…, n), для определителя n_го порядка (1.11) справедлива формула (1.21)называемая разложением этого определителя по j_му столбцу.Доказательство. Достаточно доказать теорему для j = 1, т.е. установить формулу разложения по первому столбцу, (1.22)иначе если формула (1.22) будет установлена, то для доказательства формулы (1.21) для любого j=2,3,…, n достаточно, поменяв ролями строки и столбцы, дословно повторить схему рассуждений теоремы 1.1.Формула (1.22) устанавливается по индукции.При n = 2 эта формула проверяется элементарно (так как при n = 2 миноры элементов первого столбца имеют вид то при n = 2 правая часть (1.22) совпадает с правой частью (1.10)).Предположим, что формула разложения по первому столбцу (1.22) верна для определителя порядка n - 1 и, опираясь на это, можно убедиться в справедливости этой формулы для определителя порядка n.С этой целью выделим в правой части формулы (1.12) для определителя n - го порядка ? первое слагаемое , а в каждом из остальных слагаемых разложим минор (n_1) - го порядка по первому столбцу.В результате формула (1.12) будет иметь вид, (1.23)где - некоторые подлежащие определению коэффициенты. Для вычисления минор получается при разложении по первому столбцу только одного из миноров (n_1) - го порядка, отвечающих первой строке, - минора . В разложении минора (при ) по первому столбцу записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент ai1 минора (при ) стоит на пересечении (i_1) - й строки и первого столбца этого минора, получается, что при (1.24)Вставляя (1.24) в правую часть (1.12) (из которой исключено первое слагаемое) и собирая коэффициент при , видно,что коэффициент в формуле (1.23) имеет вид (1.25)Остается доказать, что и правая часть (1.22) равна сумме, стоящей в правой части (1.23) с теми же самыми значениями (1.25) для .Для этого в правой части (1.22) выделяется первое слагаемое , а в каждом из остальных слагаемых раскладывается минор (n_1) - го порядка по первой строке.В результате правая часть (1.22) представится в виде суммы первого слагаемого и линейной комбинацией с некоторыми коэффициентами миноров (n_2) - го порядка , т.е. в виде, (1.26)и остается вычислить множители и убедиться в справедливости для них формулы (1.25).Для этого можно заметить, что минор получается в результате разложения по первой строке только одного из миноров n - 1_го порядка, отвечающих первому столбцу, - минора . В разложении минора (при ) по первой строке записывается только то слагаемое, которое содержит минор (остальные слагаемые обозначаются многоточием). Учитывая, что элемент минора стоит на пересечении первой строки и (j_1) - го столбца этого минора, получается, что при (1.27)Вставляя (1.24) в правую часть (1.22), из которой исключено первое слагаемое, и собирая коэффициент при , следует, что в сумме (1.26) определяется той же самой формулой (1.25), что и в равенстве (1.23). Теорема 1.2 доказана.Выражение определителя непосредственно через его элементы. Установим формулу, выражающую определитель n_го порядка непосредственно через его элементы (минуя миноры).Пусть каждое из чисел принимает одно из значений 1, 2, …, n, причем среди этих чисел нет совпадающих (в таком случае говорят, что числа являются некоторой перестановкой чисел 1, 2, …, n). Образуем из чисел все возможные пары и можно говорить, что пара образует беспорядок, если при i<j. Общее число беспорядков, образованных всеми парами, которые можно составить из чисел , обозначим символом .С помощью метода индукции установим для определителя n_го порядка (1.11) следующую формулу: (1.28)(суммирование в этой формуле идет по всем возможным перестановкам чисел 1, 2, …, n; число этих перестановок, очевидно, равно n!).В случае n =2 формула (1.28) элементарно проверяется (в этом случае возможны только две перестановки 1, 2 и 2, 1, и, поскольку N (1, 2)=0, N (2, 1) = 1, формула (1.28) переходит в равенство (1.10)).С целью проведения индукции предположим, что формула (1.28) при n>2 справедлива для определителя порядка (n_1).Тогда, записав разложение определителя п-го порядка (1.11) по первому столбцу:, (1.29)можно, в силу предположения индукции, представить каждый минор (n_1) - го порядка в виде (1.30)(суммирование идет по всем возможным перестановкам (n - 1) чисел, в качестве которых берутся все натуральные числа от 1 до n, за исключением числа ).Так как из чисел , кроме пар, образованных из чисел , можно образовать еще только следующие пары , и поскольку среди чисел , найдется ровно (-1) чисел, меньших числа , то =+-1.Отсюда вытекает, что и, вставляя (1.30) в (1.29), получается формула (1.28). Тем самым вывод формулы (1.28) завершен.Теорема Лапласа. В этом пункте устанавливается формула, обобщающая формулу разложения определителя n_го порядка по какой-либо его строке.С этой целью вводится в рассмотрение миноры матрицы n - го порядка (1.8) двух типов.Пусть k - любой номер, меньший n, a и - произвольные номера, удовлетворяющие условиям , .Миноры первого типа являются определителями порядка k, соответствующими той матрице, которую образуют элементы матрицы (1.8), стоящие на пересечении k строк с номерами и k столбцов с номерами .Миноры второго типа являются определителями порядка n-k, соответствующими той матрице, которая получается из матрицы (1.8) в результате вычеркивания k строк с номерами и k столбцов с номерами .Миноры второго типа естественно назвать дополнительными по отношению к минорам первого типа.Теорема 1.3 (теорема Лапласа). При любом номере k, меньшем n, и при любых фиксированных номерах строк таких, что , для определителя n_го порядка (1.11) справедлива формула, (1.31)называемая разложением этого определителя по k строкам . Суммирование в этой формуле идет по всем возможным значениям индексов , удовлетворяющим условиям .Доказательство. Прежде всего формула (1.31) является обобщением уже доказанной формулы разложения определителя n_го порядка по одной его строке с номером i1, в которую она переходит при k = 1 (при этом минор совпадает с элементом , а минор - это введенный выше минор элемента ).
Страницы: 1, 2, 3, 4
|
|
|
|
© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент. |
|
|
