Інтегрування Нютона-Котеса

3

ЗМІСТ

• Вступ
• 1. Теоретична частина
• 1.1 Постановка задачі
• 1.2 Методи розв'язування задачі
• 2. Практична частина
• 2.1 Архітектура програми
• 2.2 Опис програми
• 2.3 Контрольний приклад та аналіз результатів машинного експерименту
• Висновки
• Список використаної літератури
• ДОДАТКИ

Центральним поняттям програмування є, безперечно, поняття алгоритму. З нього починається робота над програмою і від якості алгоритму залежить її успішне створення. Тому вміння програмувати в значній мірі означає розробляти хороші алгоритми і застосовувати вже відомі.

На сьогодні існує велика кількість різноманітних мов програмування, кожна з яких має свої певні переваги та недоліки. В цьому розмаїтті не завжди легко зробити свій вибір на користь якоїсь певної мови програмування.

Для реалізації поставленої задачі вибрано середовище Turbo Pascal. Алгоритмічна мова Паскаль була створена Н.Віртом на початку 70-х років. Завдяки зусиллям розробників ця мова програмування стала потужним інструментом професійних програмістів‚ не втративши простоти і ясності, властивих цій мові від народження.

Розробник системи Turbo Pascal - фірма Borland International виникла в 1984 році і за порівняно короткий час неодноразово дивувала користувачів персональних ЕОМ своїми Turbo системами. Було випущено кілька версій Turbo Pascal: 3.0‚ 4.0‚ 5.0‚ 5.5‚ 6.0‚ 7.0‚ Pascal for Windows, Borland Pascal.

Головні особливості середовища Turbo Pascal:

широкий спектр типів даних‚ можливість обробки рядкових та структурних типів даних;

достатній набір операторів управління розгалуженнями та циклами;

добре розвинутий апарат підпрограм та зручні конструкції роботи з файлами;

великі можливості управління усіма ресурсами ПЕОМ;

різноманітні варіанти стикування з мовою Асемблера;

підтримка ідей об'єктно-орієнтованого програмування (ООП).

Саме з огляду на ці особливості програмна реалізація курсового проекту було здійснено в середовищі Turbo Pascal.

Розробник системи програмування Turbo Pascal - фірма Borland International виникла в 1984 році і за порівняно короткий час неодноразово дивувала користувачів персональних ЕОМ своїми Turbo системами. Було випущено на ринок програмних продуктів декілька версій Turbo Pascal: 3.0, 4.0, 5.0, 5.5, 6.0, 7.0, Pascal for Windows, Borland Pascal.

Курсовий проект складається зі вступу, двох розділів, висновків, списку використаної літератури, графічної частини та додатків. Текст пояснювальної записки набрано та роздруковано з використанням текстового редактора Word. Графічна частина виконана з допомогою графічного редактора Visio.

В задачах‚ пов'язаних з аналізом‚ ідентифікацією‚ оцінкою якості‚ моделюванням різноманітних пристроїв автоматики‚ керування‚ інформаційно-вимірювальної техніки‚ радіоелектроніки‚ часто виникає необхідність обчислення визначених інтегралів.

Якщо функція неперервна на відрізку і відома її первинна функція ‚ то визначений інтеграл від цієї функції в межах від a до b може бути обчисленим за формулою Ньютона-Лейбніца

(1)

Однак у більшості випадків обчислення інтегралу за формулою (1) є практично неможливим через складність аналітичного визначення первісної функції. В поширеній задачі‚ коли підінтегральна функція задається таблично (масивом значень)‚ поняття первісної втрачає смисл‚ і інтеграл може бути обчисленим лише чисельно.

Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні значення визначеного інтегралу на основі ряду значень підінтегральної функції. Графічно інтеграл визначається площею‚ яка обмежена графіком функції .

Найчастіше на використовуються на практиці і є найбільш відомими наступні методи знаходження визначених інтегралів:

методи Ньютона-Котеса‚ Гауса‚ Чебишева‚ що базуються на так званих квадратурних формулах‚ які одержуються шляхом заміни функції інтерполяційними многочленами;

методи Монте-Карло‚ що базуються на використанні статистичних моделей.

Формули Ньютона-Котеса. Для виведення формул Ньютона-Котеса інтеграл (1) представляють у вигляді

‚ (2)

де - вузли інтерполяції‚ - коефіцієнти‚ залежні від виду формули‚ - погрішність квадратурної формули.

Здійснивши в (2) заміну підінтегральної функції відповідним інтерполяційним многочленом Лагранжа для рівновіддалених вузлів з кроком ‚ можна отримати наступну формулу для розрахунку коефіцієнтів при довільній кількості вузлів

(3)

де - приведена змінна.

Зазвичай‚ коефіцієнти називають коефіцієнтами Котеса. При цьому формула (3) набуває такого вигляду

. (4)

В таблиці 1 наводяться значення коефіцієнтів Котеса та оцінки погрішностей для значень від 1 до 8. Оскільки коефіцієнти Котеса при великій кількості ординат є доволі складними‚ то на практиці для наближеного обчислення визначених інтегралів розбивають проміжок інтегрування на велику кількість дрібних проміжків і до кожного з них застосовують квадратурну формулу Ньютона-Котеса з малим числом ординат. Таким чином‚ отримуються формули більш простої структури‚ точність яких може бути довільно високою.

Таблиця 1. Коефіцієнти Котеса.

Наприклад‚ отримані таким чином формули прямокутників‚ трапецій і Сімпсона (парабол) мають вигляд

(5)

(6)

.(7)

При обчисленні визначених інтегралів слід враховувати похибку знаходження значень . Якщо ‚ наприклад‚ будуть задані з однаковою похибкою ‚ то сумарна похибка становитиме

.

Якщо використання формул оцінки похибки пов'язано з труднощами‚ обумовленими необхідністю знаходження похідних вищих порядків (четвертого‚ а навіть і п'ятого)‚ то можна використовувати практичний метод екстраполяції Річардсона [1].

Точність квадратурних формул з фіксованим розташуванням рівновіддалених вузлів обмежена можливостями використовуваних методів інтерполяції.

Формула Чебишева. Формула (2) може бути зведена до вигляду

(8)

шляхом заміни змінної

.

При виводі формули Чебишева використовуються наступні умови: коефіцієнти рівні між собою; квадратурна формула (8) є точною для всіх поліномів до степені включно. Враховуючи‚ що і при , отримаємо . Тоді формула (8) матиме вигляд

.(9)

Для знаходження необхідно розв'язати систему нелінійних рівнянь

(10)

Система рівнянь (10) має розв'язок при . Значення абсцис в формулі Чебишева наведено в таблиці 2. Обмежена точність і є принциповим недоліком формули Чебишева.

Таблиця 2. Значення абсцис в формулі Чебишева

Формула Гауса. Формула Гауса називається формулою найвищої алгебраїчної точності. Для формули (8) найвища точність може бути досягнута для поліномів степені ‚які визначаються константами та .

Дійсно‚ вважаючи‚ що може бути апроксимованою поліномами степені

‚

Отримаємо

.

Для знаходження цих сталих отримуємо систему рівнянь

(11)

Ця система є нелінійною і її розв'язування звичайними методами пов'язано зі значними труднощами. Однак‚ якщо використати систему для поліномів виду

‚(12)

де - поліном Лежандра‚ то її можна звести до лінійної системи відносно коефіцієнтів із заданими точками .

Поліномами Лежандра називаються поліноми виду

.

Перші п'ять поліномів Лежандра мають вигляд

Оскільки степені поліномів у співвідношенні (12) не перевищують ‚ то повинна виконуватись система (11) і формула (8):

.

Внаслідок властивості ортогональності ліва частина останньої рівності дорівнює нулю‚ тоді

‚

що завжди забезпечується при довільних значеннях в точках ‚ які відповідають кореням відповідних поліномів Лежандра.

Підставивши ці значення в систему (11) і враховуючи перші n рівнянь‚ можна легко визначити коефіцієнти .

Формула (8)‚ де - нулі поліному Лежандра ‚ а визначаються з системи (11)‚ називається формулою Гауса.

Таблиця 3. Елементи формули Гауса.

Страницы: 1, 2