Алгебраический критерий устойчивости Гурвица находит широкое применение при анализе САУ. Первоначально, из коэффициентов уравнения составляется матрица главного определителя:

По диагонали матрицы от верхнего левого угла записываются по порядку все коэффициенты уравнения, начиная с . Затем каждый столбец матрицы дополняется таким образом, чтобы вверх от диагонали индексы коэффициентов увеличивались, а вниз - уменьшались.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы при все угловые определители (миноры) были также положительными.

Последний определитель Гурвица, как видно из приведенной выше матрицы, равен ?n=an*?n-1. Поэтому его положительность сводится при ?n-1>0 к условию an>0. Для систем первого и второго порядка критерий Гурвица сводится просто к положительности коэффициентов . Если определитель ?n=0, то система находится на границе устойчивости. Из условия ?n-1=0 можно определить параметры, при которых система находится на границе устойчивости, например, критический коэффициент усиления разомкнутой САУ.

Частотный критерий устойчивости Михайлова предполагает построение годографа на комплексной плоскости. Для построения годографа из характеристического уравнения замкнутой системы путем подстановки p=j? получают аналитическое выражение вектора M(j?):
M(j?)=a0(j?)n+a1(j?)n-1+ … +an

Уравнение является комплексным и может быть представлено в виде:

Построение годографа производится по уравнению вектора M(j?) при изменении частоты от 0 до . Оценка устойчивости системы осуществляется по углу поворота годографа при изменении частоты 0<?<.

Тогда для устойчивости линейной системы n-го порядка необходимо и достаточно, чтобы изменение аргумента годографа M(j?) при изменении от 0 до + равнялось n.

Критерий Михайлова формулируется так: система устойчива, если годограф Михайлова M(j?) при изменении от 0 до , начинаясь на положительной части действительной оси, обходил последовательно в положительном направлении (против часовой стрелки) n квадрантов и в n-м квадранте уходил в .

Если годограф начинается в нулевой точке комплексной плоскости или проходит через эту точку при определенной частоте, то система считается нейтральной. В этом случае U(?) = 0 и V(?) = 0.

Из этих уравнений можно определить значения параметров, при которых система находится на границе устойчивости (критические значения). На рис. 4 приведены годографы Михайлова для устойчивых и неустойчивых САУ.

Рис. 4. Годографы Михайлова

Имеется вторая формулировка критерия Михайлова: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы корни уравнений U(?) = 0 и V(?) = 0 перемежались (чередовались), т.е. годограф последовательно пересекал оси комплексной плоскости. Этой формулировкой удобно пользоваться для исследования устойчивости систем до пятого порядка включительно. По уравнению можно определить количество правых корней в неустойчивых системах.

Частотный критерий устойчивости Найквиста, позволяющий по виду амплитудно-фазовой частотной характеристики разомкнутой системы оценить устойчивость работы замкнутой системы. АФЧХ может быть получена экспериментально или аналитически. Аналитическое построение АФЧХ производится обычными методами. Критерий Найквиста формулируется так:

если разомкнутая система устойчивая, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы при изменении частоты от 0 до не охватывала точку с координатами -1, j0. Если АФЧХ разомкнутой системы проходит через точку с координатами -1, j0, то система будет нейтральной. На рис. 5 представлены АФЧХ разомкнутых статических систем. Критерий Найквиста позволяет наглядно проследить влияние изменения параметров передаточной функции на устойчивость системы.

Рис. 5.АФЧХ разомкнутых САУ

Существуют два класса САУ: абсолютно устойчивые и условно устойчивые. В первом классе систем только увеличение коэффициента усиления разомкнутой системы может привести к потере устойчивости, а условно устойчивая система может стать неустойчивой как при увеличении, так и при уменьшении коэффициента усиления.

Для абсолютно устойчивых систем вводится понятие запаса устойчивости по амплитуде (модулю) и запаса устойчивости по фазе. Запасы устойчивости определяют на частоте среза ?ср, на которой A(?ср)=1.
Запас устойчивости по амплитуде задается некоторой величиной, которая показывает, во сколько раз можно увеличить коэффициент усиления разомкнутой системы, чтобы САУ оказалась на границе устойчивости.

Рис. 6.АФЧХ абсолютно устойчивой системы

Точность линейных САУ

Устойчивость САУ является важной, но не полной характеристикой работы системы. Кроме устойчивости система должна обладать требуемой точностью и требуемым качеством переходных процессов. Установившийся режим может быть статичен и динамичен. Статический режим - это режим, при котором входное воздействие после появления остается неизменным. Динамический установившийся режим - это режим, при котором входное воздействие изменяется по какому-то закону.

С точки зрения точности работы системы они могут быть статическими и астатическими.

Астатические системы могут быть I, II, III и т.д. порядка (определяется количеством интегрирующих звеньев). Что касается установившейся ошибки ?хуст, то в соответствии с принципом суперпозиции равна:

где ?хвх - ошибка входного воздействия,

?хfj - ошибка от возмущающего воздействия,

n - количество возмущающих воздействий.

Составленные ошибки могут определяться по теории о конечном значении функции, по реакции на типовые воздействия и по коэффициенту ошибок.

Оценка точности по коэффициенту ошибок

Для определения ошибки воспользуемся выражением для передаточной функции замкнутой системы по ошибке:

Разложим в ряд по возрастающей степени:

,

где С0, С1,…, Сn - коэффициенты ошибок.

При малых значениях этот ряд сходится. Коэффициенты ошибок могут быть найдены или по формуле Тейлора или путем деления многочлена числителя на знаменатель передаточной функции .

Если использовать формулу Тейлора:

Подставим выражение для в выражение для :

Сделаем обратное преобразование Лапласа:

Таким образом, получим, что статическая ошибка по входному воздействию будет определяться коэффициентом ошибок и характером изменения и величиной входного воздействия. Если хвх = const, то из этой формулы достаточно взять один первый член.

Если входное воздействие медленно изменяющаяся функция, то надо взять несколько первых членов.

Аналогично рассуждая можно показать, что ошибка по возмущающему воздействию xf(t) будет определяться:

Показатели качества САУ

Количественные оценки качества, так называемые прямые показатели качества, определяются по кривой переходного процесса.

Рис. 7. Переходная функция и показатели качества

Используются следующие прямые показатели качества:

величина перерегулирования ,

которая характеризует максимальное отклонение регулируемой величины от ее установившегося значения, которое может быть определено в соответствии с теоремой о конечном значении оригинала

время переходного процесса или время регулирования tp - наименьшее значение времени, после которого имеет место неравенство

где - заданная величина, обычно лежащая в пределах =0.02-0.05;

3) статическая ошибка сm - величина отклонения установившегося значения регулируемой величины x() от требуемого значения N

или где E(s) - изображение ошибки;

4) время установления ty - промежуток времени, по истечении которого регулируемая величина первый раз достигает установившегося значения.

Для определения качества системы могут использоваться и другие показатели, соответствующие решаемой задаче, например, число колебаний регулируемой величины за время регулирования, частота и период колебаний и т.д.

Практическая часть

1. Нахождение АЧХ и ФЧХ для и , построение ЛАЧХ

Найдём АЧХ и ФЧХ для :

, где - оператор дифференцирования (Лапласа)

Заменим на и найдем комплексную АЧХ системы .

Обозначим -действительную часть передаточной функции , а -мнимую часть

,

Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):

Найдем фазо-частотную характеристику (ФЧХ):

Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):

Построим найденные характеристики в математическом пакете MathCAD 2000:

Рис. 8.ЛАЧХ звена

Рис. 9 ЛФЧХ звена

Из графика видно, что звено относится к инерционным звеньям и вносит запаздывание выходной величины от на низких частотах до высоких и имеет наклон .

Выполним теже действия для звена

Так как действительная часть передаточной функции равна 0, то

АЧХ запишется так:

Найдем фазочастотную характеристику (ФЧХ):

Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):

Построим найденные характеристики:

Рис. 10. ЛАЧХ звена

Рис. 14.ЛФЧХ звена

Как видно из графиков звено интегрирующее так как создает запаздывание выходной величины на всех частотах на , а наклон ЛАЧХ равен .

2. Нахождение , ,,

1) Найдем передаточную функцию разомкнутой системы

Рис. 11. Структурная схема передаточной функции разомкнутой системы

2) Найдем передаточную функцию замкнутой системы

Рис. 12. Структурная схема передаточной функции замкнутой системы

3) Найдем передаточную функцию по ошибке

Также её называют передаточной функцией ошибки по задающему воздействию.

Рис. 13. Структурная схема передаточной функции по ошибке

4) Найдем передаточную функцию по внешнему воздействию

Рис. 14. Структурная схема передаточной функции внешнему воздействию

3. Нахождение АЧХ и ФЧХ для найденной , а так же построение ЛАЧХ и ФЧХ

Найдем АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ для

Найдем комплексную АЧХ системы , для этого заменим на

Обозначим А= , а В=

Найдем амплитудно-частотную характеристику (АЧХ):

Найдем фазочастотную характеристику (ФЧХ):

Найдем логарифмическую амплитудно-частотную характеристику (ЛАЧХ):

Построим ЛАЧХ и ФЧХ для :

Рис. 15. АФЧХ звена

Рис. 16. ЛФЧХ звена

Исследование на устойчивость по критериям Гурвица, Михайлова и Найквиста

Исследование по критерию Гурвица:

Сложим числитель и знаменатель передаточной функции приравняем полученное уравнение к нулю. Полученное уравнение называется характеристическим уравнением и запишется как

где

Из уравнения видно, что все коэффициенты этого уравнения больше нуля.

Теперь составляем определитель 2-го порядка:

Составляем следующий определитель на ранг меньше предыдущего. Он определяется путем вычеркивания соответствующих строк и столбцов.

Т.к ; и (все определители больше нуля), то данная система устойчива.

2) Исследование на устойчивость по критерию Михайлова

Представим характеристическое уравнение 2-го порядка для данной передаточной функции в виде характеристического вектора . Данный вектор получается заменой оператора на . Уравнение данного вектора будет иметь вид:

где

Пусть - действительная составляющая

- мнимая составляющая

Тогда

где

Для нашего уравнения получаем:

Таблица 1

Рис. 17. Изображение характеристического вектора

Из графика видно, что зависимость уходит в во 2-м квадранте. Полученный график подтвердил устойчивость системы по критерию Михайлова.

Исследование на устойчивость по критерию Найквиста

Критерий Найквиста мы реализуем на комплексной плоскости. Если АЧХ разомкнутой системы не охватывает на комплексной плоскости точку с координатами (-1; j0), то система является устойчивой. Если АЧХ охватывает эту точку, то система - неустойчивая. Если проходит через эту точку, то система находится на границе устойчивости.

Таблица 2

По полученным данным построим диаграмму Найквиста

Рис. 18. диаграмма Найквиста

Как видно из построенного графика АЧХ разомкнутой системы на комплексной плоскости не охватывает точку с координатами (-1; j0). Следовательно можно сделать вывод, что система устойчивая. А расстояние от этой кривой до точки (-1; j0) есть запас устойчивости.

Вывод: Сравнив все три метода критерия устойчивости, можно судить о том, что данная система устойчива, так как все три метода показали одинаковый результат.

Определение точности работы структурной схемы и нахождение общей ошибки

Запишем выражение передаточной функции по ошибке:

Делим числитель на знаменатель, при это выражения должны располагаться по возрастанию.

Следовательно, получаем: ,

Найдем первую и вторую производную .

Найдем статическую ошибку по задающему воздействию:

Запишем выражение передаточной функции по внешнему воздействию:

Делим числитель на знаменатель, при этом выражения должны располагаться по возрастанию.

Следовательно, получаем: ,

Найдем первую и вторую производную .

Найдем ошибку по возмущающему воздействию:

Складывая ошибки по задающему и возмущающему воздействию, получаем общую ошибку:

Следовательно, общая ошибка равна

Расчет для переходной характеристики

Применим аналитический метод построения переходной характеристики .

Делим передаточную функцию замкнутой системы на p.

Получаем:

,

где

Приравняем знаменатель к нулю.

Найдем корни этого уравнения 3-го порядка:

Так как дискриминант этого уравнения меньше нуля то корни будут комплексными.

Найдем корни данного уравнения:

Найдем производную знаменателя :

Найдем коэффициенты , , :

Находим соответствующую переходную характеристику:

Построим график переходной характеристики в Mathcad 2000:

Рис. 19. Переходная характеристика замкнутой системы

Из графика видно, что время регулирования

Время перерегулирования

Число полных колебаний совершенных выходной величиной за время регулирования

Заключение

В результате выполнения данной курсовой работы было проведено исследование линейной САУ и были получены следующие результаты:

1) Нашли АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ, а так же построили ЛАЧХ и ЛФЧХ для передаточных функций и

2) Нашли и построили структурные схемы для различных систем , ,,

3) Нашли АЧХ, ФЧХ и ЛАЧХ, а так же построили ЛАЧХ и ЛФЧХ для передаточной функции

4) Исследовали на устойчивость разными методами. Все три метода показали, что система устойчива

5) Нашли общую ошибку системы

6) Нашли и построили переходную характеристику

7) Определили основные показатели качества системы по переходной характеристике

Список использованной литературы

1) Артамонов Д.В. Курс лекций по ТАУ

2) Егоров К.В. Основы теории автоматического регулирования, изд-во Энергия 1967

3) Клиначев Н.В. Теория систем автоматического регулирования, литература в электронном виде

Страницы: 1, 2