Каталог Рефератов - Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

	Информационно-образоательный портал
	Рефераты, курсовые, дипломы, научные работы,



МЕНЮ\|

поиск

Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам

В. Пикулев

Методы компьютерных вычислений и их приложение к физическим задачам
Методическое пособие

Петрозаводск, 2004

1. Всякий специалист стремится достичь

своего уровня некомпетентности.

2. Компьютер - средство многократного

увеличения некомпетентности человека.

3. Если две ошибки не принесли результата

- испробуй третью.

Лоуренс Питер, «Иерархиология».

Введение в предмет

Численные методы - раздел математики, который со времен Ньютона и Эйлера до настоящего времени находит очень широкое применение в прикладной науке. Традиционно физика является основным источником задач построения математических моделей, описывающих явления окружающего мира, она же является основным потребителем алгоритмов и программ, позволяющих эти задачи с определенным успехом решать.

При этом задачей физика является не только правильный выбор программы, которая призвана решать физическую проблему, но и подробный анализ и корректировка используемых алгоритмов, в соответствии с реалиями поставленной задачи и теми математическими правилами, которые либо допускают существование решения с заданной точностью, либо говорят о невозможности такого решения.

Примеры современных физических задач, для решения которых используются численные методы - моделирование астрономических событий (рождение и развитие Вселенной), моделирование процессов в микромире (распад и синтез частиц), моделирование установок и процессов термоядерного синтеза. Более «прикладные» задачи - моделирование физических процессов в твердотельных структурах (широко используется в проектировании и изготовлении интегральных схем), моделирование процессов в газах и плазме. Учитывая большую сложность и дороговизну современных экспериментальных методик, и, с другой стороны, постоянный рост производительности вычислительных систем, нетрудно определить тенденцию к увеличению в настоящее время доли модельных (вычислительных) экспериментов. Большое количество численных методов разработано для решения задач математической физики, к которым, например, относятся задачи тепло- и массопереноса, исследования турбулентного движения.

К инженерным приложениям численных методов можно отнести расчеты магнитных и электростатических линз для заряженных частиц, различного рода радиотехнические расчеты, включая, например, проектирование СВЧ-волноводов. Любопытно, что как в теоретической физике, так и в инженерной практике решаются численными методами различные задачи теоретической механики, например, задачи столкновения (в том числе динамический хаос). Естественно, такое приложение вычислительной техники к физике, как управление экспериментом и сбор данных, в данном курсе не рассматривается.

План построения вычислительного эксперимента:

1) Создание модели, фиксирующей главные исследуемые факторы. Одновременно формулируются рамки применимости модели.

2) Предварительное исследование математической модели: поверка корректности постановки задачи, существования и единственности решения.

3) Разработка метода расчета сформулированной задачи, построение эффективных вычислительных алгоритмов.

4) Создание программы, осуществляющей моделирование физического объекта, включающей в себя реализации используемых численных методов, проверки корректности ввода исходных и вывода результирующих данных

5) Сравнение полученных результатов моделирования с тестовыми примерами и экспериментальными данными; решение вопроса о правильности практического моделирования (иначе повторяются пункты 3 и 4).

6) Решение вопроса о достоверности предложенной математической модели. Если модель не описывает экспериментальные данные, возврат на пункт 1.

Таким образом, численный эксперимент - это не однократное вычисление по некоторому набору формул, а многостадийный процесс программирования, анализа результатов и их погрешностей.

Задача называется корректно поставленной, если для любых входных данных х из некоторого класса решение y существует, единственно и устойчиво по входным данным.

(Класс может представлять собой координатное бесконечномерное пространство, множество непрерывных функций и др.)

Численный алгоритм -- однозначная последовательность действий, которые могут привести к одному решению.

Отсутствие устойчивости обычно означает, что сравнительно небольшой погрешности дx соответствует весьма большое дy, а значит получаемое решение будет далеко от истинного. К такой задаче численные методы применять бессмысленно, ибо погрешности численного расчета будут катастрофически нарастать. Устойчивость задачи определяется (1) математической формулировкой, (2) используемым алгоритмом расчета. Пример неустойчивой задачи в первом случае:

Система имеет решение , однако

Система имеет решение , то есть разница в коэффициенте менее 1% приводит к изменению решения в 300%.

Пример алгоритмической неустойчивости - вычисление производных численными методами: какой бы метод мы не использовали, приходится вычитать весьма мало различающиеся числа.

В настоящее время развиты методы решения многих некорректных задач, которые основаны на решении вспомогательной корректной задачи, близкой к исходной.

Если выполняется условие для норм (модулей), то задача устойчива. Однако если константа С очень велика, то фактически наблюдается слабая устойчивость. Такую задачу называют плохо обусловленной. Пример - дифференциальное уравнение с начальными условиями . Общее решение дифференциального уравнения есть . Начальные условия приводят к обнулению первого слагаемого, но если из-за погрешности начальных данных это будет не так, то при возрастании x влияние первого слагаемого будет катастрофически нарастать.

1 Точность вычислений, классификация погрешностей
Во всех случаях математическая точность решения должна быть в 2-4 раза выше, чем ожидаемая физическая точность модели. Более высокая математическая точность, как и более низкая, будут неадекватны данной модели.

Существуют четыре источника погрешности результата:

1) погрешность математической модели - связана с ее несоответствием физической реальности, так как абсолютная истина недостижима. Если математическая модель выбрана недостаточно тщательно, то, какие бы методы мы не применяли для расчета, все результаты будут недостаточно надежны, а в некоторых случаях и совершенно неправильны.

2) погрешность исходных данных, принятых для расчета. Это неустранимая погрешность, но это погрешность возможно и необходимо оценить для выбора алгоритма расчета и точности вычислений. Как известно, ошибки эксперимента условно делят на систематические, случайные и грубые, а идентификация таких ошибок возможно при статистическом анализа результатов эксперимента.

3) погрешность метода - основана на дискретном характере любого численного алгоритма. Это значит, что вместо точного решения исходной задачи метод находит решение другой задачи, близкого в каком-то смысле (например по норме банахова пространства) к искомому. Погрешность метода - основная характеристика любого численного алгоритма. Погрешность метода должна быть в 2-5 раз меньше неустранимой погрешности.

4) погрешность округления -- связана с использованием в вычислительных машинах чисел с конечной точностью представления.

Вот иллюстрация этих определений. Пусть имеется реальный маятник, совершающий затухающие колебания, начинающий движение в момент t = t0. Требуется найти угол отклонения ц от вертикали в момент t1. Движение маятника мы можем описать следующим дифференциальным уравнением:

где l - длина маятника, g - ускорение силы тяжести, м - коэффициент трения.

Как только принимается такое описание задачи, решение уже приобретает неустранимую погрешность, в частности потому, что реальное трение зависит от скорости не совсем линейно (погрешность модели). Кроме того, воспроизведя реальный эксперимент, мы зададим l, g (в известной точке планеты), м с некоторой точностью, и получим набор значений с погрешностью, которую можем оценить из анализа статистики некоторого числа однотипных опытов (погрешность исходных данных). Взятое в модели дифференциальное уравнение нельзя решить в явном виде, для его решения требуется применить какой-либо численный метод, имеющий заранее известную погрешность, которая должна быть меньше неустранимой погрешности. После совершения вычислений мы получим значения с погрешностью большей, нежели погрешность метода, так как к ней прибавится погрешность округления.

Рассмотрим правила расчета погрешности округления:

1) Сложение и вычитание приближенных чисел

Введем в рассмотрение два числа a и b, называемых приближенными, то есть это есть оценка точных значений A и B, известных с абсолютными погрешностями ±еa и ±еb. Знаки этих погрешностей нам неизвестны, следовательно для обеспечения достоверности конечного результата мы должны взять наихудший случай, когда погрешности складываются. Таким образом формулируются следующие правила:

1. Абсолютная погрешность суммы приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

2. Абсолютная погрешность разности приближенных чисел равна сумме абсолютных погрешностей слагаемых.

Относительной погрешностью приближенного числа a будет являться величина . По этому же правилу определим относительную погрешность суммы приближенных чисел a и b как . При этом можно показать, что

3. Относительная погрешность суммы слагаемых одного знака заключена между наименьшей и наибольшей относительными погрешностями слагаемых: .

4. Для разности двух приближенных чисел одного знака величина относительной погрешности может быть сколь угодно большой.

2) Умножение и деление приближенных чисел

Очевидно, что приближенное число . Тогда для произведения . Если пренебречь последним малым слагаемым в скобках, то можно сформулировать следующее правило:

1. Относительная погрешность произведения приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей множителей .

Так как деление на число b равнозначно умножению на 1/b, то справедливо утверждение:

2. Относительная погрешность частного приближенных чисел равна сумме относительных погрешностей делимого и делителя.

Следовательно, при умножении и делении приближенных чисел необходимо принимать во внимание количество значащих цифр, характеризующих относительную точность числа, а не количество десятичных знаков, обуславливающих его абсолютную погрешность.

Совершенно очевидно, что при большом количестве действий такого сорта правила нельзя считать удовлетворительными, так как погрешности будут иметь разные знаки и компенсировать друг друга. Статистическая оценка показывает, что при N одинаковых действиях среднее значение суммарной ошибки больше единичной в раз, если нет систематических причин для накопления погрешности. Систематические причины возникают, если, например в алгоритме вычитаются близкие по величине числа.

При любых расчетах надо устанавливать такую точность вычислений, чтобы погрешность округления была существенно меньше всех остальных погрешностей.

2 Краткое введение в используемые программные средства

Традиционные языки высокоуровневого программирования. В большинстве практических случаев моделирование или численный расчет предполагает использование готового алгоритма, который необходимым образом модифицируется для конкретной задачи. В настоящее время существуют обширные фонды алгоритмов и программ, ориентированных на классические языки программирования, такие как Фортран, Си и Паскаль. Наиболее мощные математические библиотеки были разработаны для самого старого языка программирования из вышеперечисленных --- Фортрана. Однако во многих случаях, обладая соответствующей квалификацией, легче написать программу, отталкиваясь от первых принципов, нежели тестировать и исправлять, или переводить на другой язык программирования незнакомый текст.

Другое направление, которое в настоящее время особенно популярно - использование мощных математических пакетов для численных и аналитических расчетов.

Mathcad.

Разрабатывается компанией MathSoft Inc. Является наиболее легкой для освоения системой математических расчетов. Принята концепция «активного документа», то есть все вычисления записываются в традиционной математической нотации (с использованием значков интеграла, суммы и др.), а после введения знака равенства или другого запускающего символа появляется рассчитанное значение. Основной недостаток -- слишком мал набор основных функций и очень низкое быстродействие.

MathLab.

Система MATLAB (MATrix LABoratory) разрабатывается фирмой MathWorks. Эта система создана для работы в среде Windows и представляет собой интерактивную среду для вычислений и моделирования, причем она может работать как в режиме непосредственных вычислений (очень напоминает режим «командной строки»), так и в режиме интерпретации написанных программ. Сильная сторона системы - виртуозная работа с матрицами и векторами. Численное значение или аналитическая формула, а также сообщения системы выводится на экран в виде списка. Помимо обычных алгебраических вычислений система имеет огромный набор встроенных функций, а также имеется возможность создавать пользовательские функции. В системе очень качественно реализовано построение двух и трехмерных изображений, в том числе динамически изменяющихся. Кроме того, имеется библиотека, которая обеспечивает удобное управление исполнением программ. И это только базовый набор, который обычно расширяется многочисленными дополнениями - например языком Simulink моделирования нелинейных динамических систем. Основное назначение - технические расчеты.

Mathematica.

Разрабатывается фирмой Wolfram Research. Одна из наиболее сложных для освоения систем. Предназначена в основном для решения теоретических задач, в связи с чем весьма популярна в научных кругах. Предуставляет широкие возможности в проведении символических (аналитических) преобразований, красотой интерфейса не отличается.

Страницы: 1, 2, 3, 4, 5

© 2003-2013
Рефераты бесплатно, курсовые, рефераты биология, большая бибилиотека рефератов, дипломы, научные работы, рефераты право, рефераты, рефераты скачать, рефераты литература, курсовые работы, реферат, доклады, рефераты медицина, рефераты на тему, сочинения, реферат бесплатно, рефераты авиация, рефераты психология, рефераты математика, рефераты кулинария, рефераты логистика, рефераты анатомия, рефераты маркетинг, рефераты релиния, рефераты социология, рефераты менеджемент.